Алгебра матриц

1. Курс высшей математики

Часть 1
УГТУ-УПИ
2004г.

2.

Лекция 2
Алгебра матриц
I. Операции над матрицами.
2. Обратная матрица.
3. Решение матричных уравнений.
4. Невырожденные системы n линейных
уравнений с n неизвестными.
5. Ранг матрицы и его вычисление методом
элементарных преобразований.

3.

1.
Операции над матрицами.
Определим несколько операций над матрицами.
Пусть aij , bij - матрицы размера m n .
I. Равенство матриц .
aij bij , i 1,.., m; j 1,..., n
II. Сложение матриц .
Результатом сложения матриц А и В называется
матрица С, элементы которой являются суммой
соответствующих элементов исходных матриц :
C
cij aij bij

4.

III. Умножение матрицы на число.
C k
cij k aij
IV. Умножение матриц.
C
Здесь:
p
cij aik bkj
k 1
m n
aij , bij ,
m p p n
C cij ,

5.

6.

Правило умножения матриц :
1. Перемножать можно лишь матрицы определённых
размеров (число столбцов матрицы левой равно числу
строк матрицы правой ).
2. Размер матрицы С равен произведению числа
строк матрицы А на число столбцов матрицы В, т.е.
(m x n).
3. Чтобы получить элемент матрицы произведения cij ,
расположенный на пересечении i-ой строки и j–го столбца
следует перемножить соответствующие элементы i-ой
строки матрицы A и j –го столбца матрицы B и найти
сумму полученных произведений.

7.

Пример.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
6
10
2
6
8
0 0 2
2 4 2 0
6 0 0
4
6
9
0 0 1
2 1 0
3 0 0

8.

1 2 3
4 5 6
7 8 9
C ,
0 0 1
2 1 0
3 0 0
C (3 3)
c11 1 0 2 2 3 3 13
c12 1 0 2 1 3 0 2
c13 ...
13 2 1
C 28 5 4
43 8 7

9.

Свойства операции сложения:
Рассмотрим матрицы размера (m x n) :
aij ,
C cij
bij ,
1.
2.
C C
Свойства операций умножения на число и
умножения матриц:
1. (В общем случае сомножители менять
местами нельзя).
, матрицы А и В называются
Если
перестановочными.

10.

2.
C C
3. C C
4. k k k
5. k k k
6.
(AB)T = BT AT
7. det(AB) = det(A) det(B)

11.

2. Обратная матрица.
Матрица
1
называется обратной матрице А, если
AA-1 = A-1A =E
1
,
квадратные матрицы, Е – единичная
(
матрица).
Если
det 0
матрица А называется
невырожденной.

12.

Теорема существования и единственности
обратной матрицы.
Для всякой невырожденной матрицы существует
единственная обратная матрица, вычисляемая по
формуле :
1
1
det
,
П
где присоединенная матрица – матрица
состоящая из алгебраических дополнений элементов
матрицы А.
Доказательство
П
а) Существование.
По условию
1
det 0
det A

13.

Убедимся, что по указанной формуле находится именно
обратная матрица.
Вычислим произведение
1
1
П
П
det
det
11
1 12
...
det
1n
21
... n1 a11 a12
... n 2 a21 a22
... ...
...
...
... nn an1 an 2
22
...
2n
n
k 1ak 1 det A;
k 1
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

14.

det 0 ... 0
... 0
1 0
det
...
... ... ...
0 ...
0
1 0 ... 0
0 1 ... 0 E
... ... ... ...
0 0 ... 1
Точно также можно показать, что
1
П
det
E
Таким образом, действительно
1
П
1
det

15.

б)Единственность (показать самостоятельно).
Пример.
1 2
, 1 ?
3 4
Решение.
1. det ?
det 2
2.
?
3.
П
П T
1
4 3
2 1
П
?
1 ?
4.
П
4 2
3 1
1 4 2
2 3 1
1

16.

3. Решение матричных уравнений.
Пусть А– известная квадратная матрица порядка n ,
В– известная матрица размера (n x m) ,
X– неизвестная матрица размера (n x m) .
AX=B – матричное уравнение.
Если А– невырожденная матрица,
Умножим уравнение слева на
A 1 A 1
X решение.
1 :
E A 1
A 1

17.

Точно также решаются и другие типы уравнений :
C
4.
1
1C 1
Невырожденные системы n линейных
уравнений с n неизвестными .
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
..............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn .
(*)

18.

Обозначим
x1
x2
(n 1) - матрица столбец из неизвестных,
...
xn
a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2n
n n – матрица из коэффициентов
...
... ... ...
перед неизвестными,
an1 an 2 ... ann
b1
b2
(n 1) – матрица столбец из свободных членов.
...
bn

19.

Систему (*) тогда можно записать в виде:
a11 a12
a21 a22
... ...
a a
n1 n 2
... a1n x1 b1
... a2 n x2 b2
... ... ... ...
... ann xn bn
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
..............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn .

20.

Если А– невырожденная матрица, то существует
единственное решение этого матричного уравнения
(1)
1
A
или, в поэлементной записи
(2)
i
xi

21.

det A
Здесь
- определитель системы,
i -определитель, полученный из определителя
системы заменой i-столбца на столбец
свободных членов.
Формулы (2) называются формулами Крамера.
Подробнее:
a11 a12
a 21 a 22
...
...
an1 an 2
... a1n
... a 2n
, 1
... ...
... ann
b1
b2
...
bn
a12
a 22
...
an 2
... a1n
... a 2n
, ...
... ...
... ann

22.

Вывод:
Если определитель системы n линейных уравнений
с n неизвестными отличен от нуля, то существует
единственное решение такой системы.
Оно может быть найдено одним из трёх способов:
1. матричным способом.
2. по формулам Крамера.
3. методом Гаусса (приведение системы к
треугольному виду).

23.

5.
Ранг матрицы и его вычисление методом
элементарных преобразований.
Выделим в матрице размера (m x n) произвольные
k – строк и k - столбцов.
Элементы матрицы, стоящие на их пересечении,
образуют определитель порядка k.
Такой определитель называется минором k- порядка,
этой матрицы.
Рангом матрицы А называется такое целое число r,
что среди миноров порядка r матрицы А есть хотя бы
один отличный от нуля, а все миноры более высокого
порядка равны нулю.
(Ранг матрицы – это наибольший порядок отличного
от нуля её минора).

24.

25.

26.

27.

Найдите ранг матрицы:
M1 1
M
3
2
M
2
1
2
2
1 1
1
1 1
2 2
2 2 0
2 2 4 0
1
1
M 3 2 2 2 0 r ( A) 2
1 1 1
1 1 1
A 2 2 2
1 1 1
1 1
M
2 2 0
2 2
2
2

28.

Найдите ранг матрицы
1 1
3 3
1 1
1 1
1
6 6 9
4 4
9
8 8 27
1
1

29.

МИКРОТЕСТ 2
1. Квадратную матрицу A 4-го порядка (n-го)
умножили на число k 0. Во сколько раз
увеличился определитель матрицы A?
2. Размерность матрицы А - 4х1, B - 1х4. Могут
ли матрицы A и B быть перестановочными?
3. Выделите два требования к матрице А для того
чтобы у неё существовала обратная матрица.
4. Дана система из 11 линейных уравнений с 11
неизвестными. Сколько определителей нужно
будет вычислить при решении этой системы
методом Крамера?

30.

5.
1) Написать решение уравнения ХA=B.
2) Можно ли использовать предложенный способ
для решения матричного уравнения A4.x2*X2x4=B4x4
(пояснить)?
3) Какой размерности должна быть матрица A для
того, чтобы существовало решение уравнения
A*X2x4=B2x4?