Решение неравенств. Заключительные уроки повторения в 11 классе

1.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №8
(Заключительные уроки повторения в 11 классе)
Разработала Желтова А.В.,
учитель математики
г.Кулебаки, 2011

2.

Виды неравенств
- Линейные
kx b, k 0
b
x
k
b
x
k
если k 0
если k 0
- Квадратные ax 2 bx c 0 (a 0, a 0)
_
+
x1
+
x2
x

3.

Виды неравенств
A( x)
0
B( x)
- Рациональные
_
_
+
x1
x2
+
x3 x

4.

Виды неравенств
- Содержащие чётную степень
x b
2n
x 2 n b , x 2 n b , если b 0
x 0, x 0, если b 0
x R, если b 0
- Содержащие нечётную степень
x
2 n 1
b
x
2 n 1
b

5.

Виды неравенств
- Иррациональные (корень чётной степени)
2n
x
b
если b 0
2n
x b
x 0 если b 0
x 0 если b 0
- Иррациональные (корень нечётной степени)
2 n 1
x b
x b 2n 1

6.

Виды неравенств
- Показательные
a x b если a 1
x log a b если b 0
x R если b 0
a b если 0 a 1
x
x log a b если b 0
x R если b 0

7.

Виды неравенств
- Логарифмические
log a x b если a 1
log a x b если 0 a 1
x a
b
0 x a
b
- Тригонометрические
Решаем неравенства, используя
тригонометрическую окружность, либо с
помощью графика соответствующей
функции

8.

Равносильность неравенств
1.Перенос члена неравенства (с противоположным
знаком) из одной части неравенства в другую;
2. Умножение (деление) обеих частей неравенства
на положительное число;
3. Применение правил умножения многочленов и
формул сокращённого умножения;
4. Приведение подобных членов многочлена;
5. Возведение неравенства в нечётную степень;
6. Логарифмирование неравенства a
a
т.е замена этого неравенства неравенством
f ( x)
g ( x)
f ( x) g ( x) при a 1 или f ( x) g ( x) при 0 a 1

9.

Равносильность неравенств
на некотором множестве чисел
1.Возведение неравенства в чётную
степень;
2.Потенцирование неравенства;
3. Умножение обеих частей неравенства
на функцию;
4. Применение некоторых формул
(логарифмических,
тригонометрических и др.)

10.

Равносильны ли неравенства?
x 9
2
( x 3)( x 3) 0
x x
2
log 3 (2 x) log 3 x
x 1
0
x 1
2
x 1
2 x x
x 1

11.

Методы решения неравенств
алгебраический
функциональный
графический
геометрический

12.

Алгебраические методы
решения неравенств
Сведение неравенства к равносильной
системе или совокупности систем
Метод замены
Разбиение области определения
неравенства на подмножества

13.

Сведение неравенства к равносильной
совокупности систем неравенств
log ( x ) f ( x) log ( x ) g ( x)
f ( x) g ( x) 0
(
x
)
1
g ( x) f ( x) 0
0 ( x) 1

14.

Решите неравенство
log 3 x (42 x 13x 1) 0
2
3x
Решение
1
2
2
log 3 x (42
x
13
1) x0 1 0
42 x x 13
3 x 1
0 3x 1
2
42 x 13 x 1 1 2
2
42 x 13 x 1 0
42 x 2 13 x 1 1
42 x 13 x 1 0
42 x 2 13 x 1 1
0
4
4

15.

1
x
3
1
1
42
(
x
)
(
x
) 0
6
7
13
42
x
(
x
) 0
42
1
x
3
1
1
x , x
7
6
13
x 0, x 42
1
x
3
1
0
x
3
1
1
42
(
x
)
(
x
) 0
6
7
13
42
x
(
x
) 0
42
1
0
x
3
1
1
x , x
7
6
13
0 x 42
1
0 x ;
7
1
13
x
6
42

16.

Квант №10 1990 г.
“Некоторые полезные логарифмические
соотношения”
Если
Аналогично можно доказать , что если

17.

log 3 x (42 x 13 x 1) 0
2
2
2
log
(
42
x
(
42
x
13
x13
1x) 10) 0
3x
3x
3x 1
x 30
x 42
0 x 2 13 x 1 0
x 31x 1
42 x 2 13 x 1 1
2 x42
x13 x13
1x 01 0
2
2
2
2
42
x
(
42
x
13
x13
) (x3)x ( 31x) 10) 0
0
x
x 0x 0
1 1
2
42 x
x x
3 3
1 42
1 x2
1 1
; x; x
x x
7 7
6 6
0 0x x13 ;13x; x1 1
42 42
3 3
Ответ
1
x
3
1
0 x ;
7
1
13
x
6
42

18.

Заменяемое выражение
Используемое выражение
log a f ( x)
(a 1)( f ( x) 1)
log a f ( x) 1
(a 1)( f ( x) a)
log a f ( x) log a g ( x)
log h ( x ) f ( x)
(a 1)( f ( x) g ( x))
log h ( x ) f ( x) 1
(h( x) 1)( f ( x) h( x))
log h ( x ) f ( x) log h ( x ) g ( x)
(h( x) 1)( f ( x) g ( x))
(h( x) 1)( f ( x) 1)
log 2 x 3 x 1
2
Решите неравенство
log 2 x 3 x 1 0
2

19.

Решите неравенство
log 2 x 3 x 1
2
Решение.
log 2 x 3 x 1 0
2
(2 x 3 1)( x 2 x 3) 0
2 x 3 0
2
x
3
1
x2 0
2

20.

(2 x 2)( x 2 2 x 3) 0
2 x 3 0
x 0
( x 1)( x 1)( x 3) 0
x 1,5
x 0
Ответ : 1,5; 1 ( 1;0) (0;3)

21.

Домашнее задание
- обязательное задание
1. Решите неравенство:
log 2 x ( x 2) log x 3 (3 x) 0
2. Повторите способы решения тригонометрических
неравенств
- по желанию
Решите неравенство:
log x 2 (4 7 x 2 x ) 2
2

22.

Литература
Затакавай В. Некоторые полезные показательные и
логарифмические соотношения. Журнал Квант, 1990 №10
Математика: ЕГЭ: Учебно-справочные материалы. Ю.М. Нейман,
Т.М. Королёва, Е.Г. Маркарян .- М.: СПб.: Просвещение. 2011
Сергеев И.Н. , Парфёнов В.С. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С3/
Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко.- М.: МЦНМО, 2010
Ященко И.В., Шестаков С.А.. Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ
По математике в 2011 году. Методические указания._ М.: МЦНМО,
2011
www.alexlarin.narod.ru