Динамика вращательного движения

1. Омский государственный технический университет Кафедра физики

Калистратова Л.Ф.
Электронные лекции по разделам классической и
релятивистской механики
6 лекций
(12 аудиторных часов)

2. Тема 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

План лекции
3.1. Момент инерции.
3.2. Момент силы.
3.3. Момент импульса.
3.4. Основной закон динамики вращательного
движения.

3. 3.1. Момент инерции

Момент инерции тела
- характеризует инертные свойства тела (или
материальной точки) при вращательном движении;
- скалярная величина;
- измеряется в кгм2;
- зависит от его формы, размеров, плотности,
расположения оси вращения;
- не зависит от характера движения тела.

4.

Любое твёрдое тело состоит из множества
материальных точек.
При вращении материальные точки движутся по
окружностям разного радиуса.
Момент инерции материальной точки
относительно заданной оси вращения –
величина, равная произведению массы этой
точки на квадрат расстояния её от оси вращения.
r
m
J mr
2

5.

Каждая материальная точка твёрдого тела имеет свой
момент инерции:
J i m i ri
2
r2
m2
r1
m1

6.

Момент инерции твёрдого тела относительно
заданной оси вращения равен скалярной сумме
моментов инерций всех его материальных точек
относительно этой оси:
n
J Ji
i 1
n
J m i ri
2
i 1
Для нахождения момента инерции тела неправильной
(произвольной) геометрической формы массу тела
разбивают на элементарные массы Δm .
i

7.

Момент инерции i-той элементарной массы
запишется как
J i mi r
2
ri - расстояние от элементарной массы Δmi до оси
вращения.
Момент инерции твёрдого тела произвольной формы
при этом вычисляется как сумма моментов инерции
его элементарных масс.
n
J Δm i ri
i 1
2

8.

Значение момента инерции будут тем точнее, чем
меньшие объёмы будут иметь элементарные
массы Δm i , которые будут обозначаться далее как
dm.
Соответственно момент инерции элементарной массы
запишется как
dJ dm r
2
Тогда для твёрдых тел правильной геометрической
формы вычисление момента инерции тела
сводится к вычислению интеграла:
J dm r
2

9.

В качестве примера вычислим момент инерции
однородного цилиндра относительно оси,
совпадающей с осью его симметрии.
m – масса, R - радиус, h – высота цилиндра
dr
h

10.

Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические
слои массой dm, расположенные в элементарных
объёмах dV.
r
dr
Объём элементарного слоя равен:
dV h 2πr dr

11.

Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
ρ const .
R
J dm r ρdV r ρr h2πrdr
2
2
2
0
R – радиус цилиндра.
Вынесем за знак интеграла постоянные величины:
R
4
R
J 2 h r dr 2π h
4
0
3

12.

Учтем, что масса цилиндра
m ρ V ρ πR h
2
В итоге: момент инерции сплошного цилиндра
относительно оси, проходящей через его центр
тяжести запишется в виде:
R
mR
J
2
2
m

13.

Моменты инерции тел правильной формы
Аналогично рассчитываются моменты инерции любых
тел правильной формы.
Дальше приведены формулы моментов инерции
некоторых тел правильной геометрической формы.
Тонкий цилиндр и обруч
R
J mR
2

14.

Толстостенный цилиндр
1
R2
1
2
2
J m R1 R 2
2

15.

Шар
2
2
J mR
5
R
Тонкий стержень
1
2
J
ml .
12
l

16.

17.

Теорема Штейнера
Моменты инерции тел относительно произвольных
осей вычисляются по теореме Штейнера: момент
инерции тела относительно произвольной оси (J)
равен сумме момента инерции относительно
оси, проходящей через центр масс тела
параллельно данной оси (JO), и произведения
массы тела на квадрат расстояния между осями
(d).
o'
a
d
o
c
J J 0 md
2

18.

Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
J AB J CD md
2
D
B
d
C
A
2
2
2
mR mR
5
7
2
mR
5

19. 3.2. Момент силы

Тела вращаются под действием сил. Вращательное
действие силы зависит от модуля, направления
силы, и от того, к какой точке тела она приложена.
Величиной, которая учитывает все эти факторы,
является момент силы - М.
Момент силы:
- величина векторная;
- измеряется в Нм (ньютон - метрах).
Различают момент силы относительно точки вращения
и относительно оси вращения.

20.

Моментом силы относительно точки называется
величина, равная векторному произведению
радиус-вектора, проведенного из этой точки в
точку приложения силы, на вектор силы.
M
F
r
0
M r F

21.

Рисунок показывает взаимное расположение
векторов, если смотреть вдоль вектора момента
силы.
l
F
r
O

22.

Здесь и на последующих рисунках значком
обозначено направление вектора, направленного
«от нас».
Модуль момента силы равен произведению
величины силы на её плечо.
Плечо силы равно длине перпендикуляра,
опущенного из точки вращения на линию
действия силы.
M r F sin α F l
l – плечо силы F

23.

На рисунке показаны плечи d1 и d2 сил F1 и F2
соответственно.

24.

Моментом силы относительно некоторой оси Z
называется проекция момента силы
относительно любой точки, взятой на данной
оси, на эту ось Z.
M
0
F
Mz
r

25.

M Z ( r F) Z
Момент силы относительно оси – величина
скалярная, не имеющая направления.
Модуль момента силы относительно оси может быть
положительным или отрицательным в зависимости
от величины угла α.

26.

Рассмотрим случай, когда ось вращения закреплена.
F
F
0' R
F
M
r
F

27.

Силу
следует представить в виде суммы трёх
F
векторов:
F║ - направленного вдоль оси вращения,
F┴ - перпендикулярного оси вращения,
Fτ - направленного по касательной к окружности,
вдоль которой движется точка приложения силы.
F F F F

28.

Заметим, что
F F F F
Выражение не изменится, если все слагаемые
уравнения векторно умножить на радиус-вектор:
r F r F r F r F
Получим равносильное равенство:
M M M M

29.

Не равен нулю только момент составляющей силы
Тогда
M r F M
.
F
Модуль момента силы относительно закреплённой оси
Z будет равен:
M z M τ z M τ cos α
r Fτ cos α R Fτ
Здесь Fτ – проекция силы Fτ на направление
перемещения точки приложения силы.

30.

На рисунке показано вращение материальной точки
(элементарной массы) в плоскости.

31. 3.3. Момент импульса

Различают момент импульса материальной точки
относительно точки и относительно оси.
Моментом импульса материальной точки
относительно некоторой точки называется
величина, равная векторному произведению
радиус–вектора, проведённого из точки
вращения к данной материальной точке, на
вектор импульса этой материальной точки.
L r p

32.

L
0
l
r
m L r p

33.

Рассмотрим два часто встречающихся на практике
случая движения материальной точки.
1. Движение материальной точки по
прямолинейной траектории.
m
r
P
l
L
Вектор момента импульса направлен от нас, а его
модуль равен
L m Vr sin α m Vl
Расстояние l называется прицельным параметром.

34.

2. Движение материальной точки по окружности.
В этом случае угол между радиус-вектором r
материальной точки и импульсом P этой точки
равен 900 , поэтому модуль момента импульса равен
L m Vr
r – радиус окружности, по которой происходит
движение.
r
0
L
m
P

35.

Моментом импульса материальной точки
относительно произвольной оси Z называется
проекция вектора момента импульса этой
материальной точки относительно любой точки
О, выбранной на оси Z, на данную ось.
LZ (r p) Z
P
Lz
L
0
m
r

36.

Модуль момента импульса относительно оси Z
можно записать как
LZ p R
где p – проекция импульса на направление вектора,
направленного по касательной к окружности
радиусом R, проведенной через материальную точку
перпендикулярно оси вращения.
Направление вектора
образует с осью Z
правовинтовую систему.

37.

Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг
закреплённой оси.
Разобьем тело на материальные точки массой
Δ mi
Выберем на оси Z произвольную точку О.
На рисунке показана одна из таких точек, имеющая
массу
Δ m i , движущаяся от нас со скоростью
vi
.

38.

z
Li
i
Ri
i
mi
Vi
ri
0
ò åëî

39.

Момент импульса материальной точки
относительно точки О равен:
L i ri pi Δ m i (ri Vi )
mi (ri (ri ))
2
mi ri J i
Δ mi

40.

Момент импульса всего тела относительно точки О
равен векторной сумме моментов импульсов
всех его материальных точек:
L Li J i J
Момент импульса твёрдого тела относительно
закреплённой оси равен произведению момента
инерции этого тела относительно данной оси на
угловую скорость вращения.
Lz J ω

41. 3.4. Основной закон динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой
оси под действием внутренних и внешних сил.
Разобьём тело на материальные точки.
Момент импульса материальной точки
относительно оси вращения определяется
выражением:
LZ (r p) Z

42.

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса
материальной точки.
dL d
d
( r p ) m( r V )
dt dt
dt
dV
dr
m( V ) m( r
)
dt
dt
m(V V ) m(r a ) 0 (r F ) M

43.

dL
M
dt
и
dL z
Mz
dt
Формулировка основного закона вращательного
движения: скорость изменения момента
импульса материальной точки равна моменту
сил, действующих на эту точку.
Другая формулировка: изменение момента импульса
материальной точки равно импульсу момента
приложенной силы.
dL M dt

44.

Запишем такие же выражения для каждой точки
вращающегося тела, а затем просуммируем по всем
точкам тела:
dL zi
M zi
dt
n
d n
L zi M zi
dt i 1
i 1
Между точками твёрдого тела могут действовать как
внутренние силы, так и внешние силы.
n
n
dL z
M zi внутр. M zi внеш.
dt i 1
i 1

45.

Сумма моментов внутренних сил равна нулю, так
как они подчиняются третьему закону Ньютона.
n
M
i 1
zi внутр.
0
Сумма моментов внешних сил отлична от нуля.
n
M
i 1
zi внеш.
M Zi ,ВНЕШ
Тогда для всего тела в целом имеем равенство:
dL z
M z внеш.
dt

46.

dL z
M z внеш.
dt
dL
M âíåø.
dt
Полученное равенство выражает наиболее общую
запись основного закона динамики
вращательного движения: скорость изменения
момента импульса твёрдого тела относительно
оси вращения равна результирующему моменту
внешних сил, действующих на это тело
относительно этой же оси.

47.

Учтем, что
L Jω
d
J ω M âíåø.
dt
Но
dω
J
M âíåø.
dt
dω
ε
dt
ε –вектор углового ускорения.
Окончательно получим:
J ε M âíåø.

48.

M внеш.
ε
J
M внеш.
ε
J
Другая формулировка основного закона динамики
вращательного движения закона:
угловое ускорение твёрдого тела при его вращении
вокруг закреплённой оси прямо пропорционально
результирующему моменту внешних сил
относительно этой же оси и обратно
пропорционально моменту инерции тела.

49. Графическая интерпретация

ε
ε
М
M внеш.
ε
J
Угловое ускорение
прямо пропорционально
моменту силы
J
Угловое ускорение
обратно пропорционально
моменту инерции

50.

Из законов динамики поступательного и вращательного
движений следуют условия равновесия тел.
Тело находится в покое (не движется поступательно и
не вращается), если:
- результирующая внешних сил равна нулю
(первое условие равновесия);
- результирующий момент внешних сил равен
нулю (второе условие равновесия).
Fi 0,
N
i 1
M i 0.
N
i 1

51.

Равновесие может быть:
- устойчивым (3),
- неустойчивым (метастабильным) (2),
- безразличным (1).

52.

1) - устойчивое положение равновесия.
В этом случае точки приложения сил находятся на
прямой, проходящей через центр тяжести.
2) - неустойчивое положение равновесия.
В этом случае точки приложения сил находятся в
разных точках.