Системы случайных величин

1.

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Определение 1. Если каждое возможное
значение СВ определяется одним числом, то СВ
называется одномерной.
Например, положение точки на числовой прямой
определяется одним числом – координатой х.
Текущая успеваемость (месячный рейтинг) студента по одному предмету – одномерная СВ. А текущая
успеваемость студента по всем дисциплинам –
n–мерная СВ, где n – число дисциплин.
Определение 2. Если каждое возможное значение
СВ определяется n числами, то СВ называется

2.

n–мерной СВ или системой n случайных
величин.
Например, положение точки на плоскости
определяется двумя числами – х и y.
Двумерная СВ обозначается (X, Y), a n- мерная
СВ обозначается (X1, X2,…, Xn).
Рассмотрим систему двух дискретных СВ (X, Y).
Пусть СВ Х принимает n значений х1, х2,…, хn,
а СВ Y принимает m значений y1, y2,…, ym.
Через pij обозначим вероятность того, что
СВ Х примет значение xi, а СВ Y примет значение yj. (i = 1,n; j = 1,m).

3.

Тогда закон распределения системы двух
случайных величин (X, Y) задается матрицей
распределения, представленной в виде таблицы:
y1
y2
…
yj
…
ym
p12
p22
…
…
p 1j
p 2j
…
x2
p11
p21
…
p1m
p2m
…
…
…
…
…
…
xi
pi1
pi2
…
pij
…
pim
…
…
…
…
…
…
…
xn
pn1
pn2
…
pnj
…
pnm
Y
X
x1
…

4.

Здесь pij = P(X = xi, Y = yj).
Так как все возможные комбинации { X = xi, Y = yj},
(i = 1,n; j = 1,m) образуют полную группу событий, то
n m
Σ Σ pij = 1 .
i=1 j=1
Зная матрицу распределения системы двух СВ,
можно найти ЗР каждой из них в отдельности.
События { X = xi, Y = yj} являются несовместными, поэтому

5.

m
P(X = xi) = pi1+ pi2+ …+ pij + …+ pim = Σ pij –
j=1
суммирование по i-й строке .
n
P(Y = yj) = p1j+ p2j+ …+ pij + …+ pnj = Σ pij –
i=1
суммирование по j-му столбцу.
Пример. Имеется портфель акций, состоящий
из двух типов акций, отличающихся по ожидаемым
нормам прибыли. Матрица распределения норм
прибыли имеет вид:

6.

Y
X
Глубокий
спад
Рост
Мощный
подъем
0
0,2
0,5
Глубокий
спад
0,1
0,1
0
0,2
Рост
0,2
0
0,3
0
Мощный
подъем
0,4
0,1
0,3
0

7.

Найти ЗР каждой СВ.
х1=0,1: Px1 p11 p12 p13 0,1 0 0,2 0,3;
x 2 0,2 : Px 2 p21 p22 p23 0 0,3 0 0,3;
x3 0,4 : Px3 p31 p32 p33 0,1 0,3 0 0,4
ЗР СВ Х:
Х
0,1
0,2
0,4
Р
0,3
0,3
0,4
y1 0: Py1 p11 p21 p31 0,1 0 0,1 0,2;
y 2 0,2: Py 2 p12 p22 p32 0 0,3 0,3 0,6;
y3 0,5: Py 3 p13 p23 p33 0,2 0 0 0,2
ЗР СВ Y:

8.

Y
0
0,2
0,5
P
0,2
0,6
0,2
Числовые характеристики системы двух СВ
Числовыми характеристиками системы двух СВ
являются начальные и центральные моменты
различных порядков.
Определение 1. Начальным моментом порядка
k + s называется математическое ожидание произведения X k Y s
n
m
k , s M ( X k Y s ) xik y sj pij
i 1 j 1

9.

Определение 2. Центральным моментом порядка
k + s называется
k ,s M (( X M ( X )) (Y M (Y )) )
k
n
s
m
k
s
(
x
M
(
X
))
(
y
M
(
Y
))
pij
= i
j
i 1 j 1
Рассмотрим начальные и центральные моменты
первого и второго порядков, где порядок – это k + s .
10 M ( X 1Y 0 ) M ( X )
0 1
01 M ( X Y ) M (Y )
10 M ( X M ( X )) 0

10.

01 M (Y M (Y )) 0
2
20 M ( X M ( X )) D( X )
02 M (Y M (Y )) D(Y )
2
11 M (( X M ( X ))(Y M (Y )))
Определение 3. Центральный момент 1 1
называется ковариацией или корреляционным
моментом и вычисляется по формуле:
n
m
cov( X , Y ) ( xi M ( X ))( y j M (Y )) pij
i 1 j 1

11.

Свойства ковариации
1) cov (X, X) = M((X – M(X))(X – M(X))) =
2
= M(X – M(X)) = D(X);
2) можно представить:
cov (X, Y) = M(XY) – M(X)M(Y);
3) Если X и Y – не зависимы, то cov (X, Y) = 0.
Определение 4. Коэффициентом корреляции
называется отношение
rxy
cov( X , Y )
x y

12.

Если
rxy 0 то СВ X и Y коррелированны,
т. е. связаны корреляционной зависимостью.
Если же rxy 0, то СВ X и Y не коррелированны.
Из условия, что СВ X и Y коррелированны,
следует, что они зависимы, но из зависимости X и Y
не следует, что они коррелированны,так как кроме
корреляционной существуют еще и другие виды
зависимости.
Если rxy 1, то связь между X и Y – тесная,
а если rxy 1, т. е. rxy близок к 0, то связь
между X и Y – слабая.

13.

Вернемся к примеру о портфеле акций и дадим
экономический смысл начальным и центральным
моментам первого и второго порядков.
М(Х) и М(Y) – ожидаемые нормы прибыли
по двум типам акций.

14.

D(X) или ( X ) D( X ) – степень разброса норм
прибыли первого типа акций, следовательно, степень
риска инвестиционного проекта Х.
D(Y) или (Y ) D(Y ) показывает степень риска
инвестиционного проекта Y.
cov (X, Y) показывает:
1) вариацию норм прибыли по двум типам акций;
2) тенденцию движения двух типов акций
вверх и вниз.
Если cov (X, Y) > 0 и достаточно большая, то обе
группы акций двигаются одинаково: обе вверх или обе
вниз, следовательно, при покупке этих акций есть

15.

риск разориться.
Если cov (X, Y) < 0 и достаточно большая, то
одни акции идут вверх, а другие вниз, или, наоборот,
следовательно, такой портфель акций достаточно
стабилен.
Пример (продолжение). Вычислим начальные и
центральные моменты:
1 0
10 M ( X Y ) M ( X ),
0 1
01 M ( X Y ) M (Y ),
20 M ( X M ( X )) D( X ) ,
02 M (Y M (Y )) 2 D(Y ) ,
11 M (( X M ( X ))(Y M (Y ))) = cov (X, Y) ,
2

16.

коэффициент корреляции
rxy .
1 0 М(Х) = 0,1*0,3 + 0,2*0,3 + 0,4*0,4 = 0,25;
0 1 M(Y) = 0*0,2 + 0,2*0,6 + 0,5*0,2 = 0,22;
2 0 D(X) = 0,12 * 0,3 0,2 2 * 0,3 0,4 2 * 0,4 (0,25) 2
= 0,0165;
( X ) D( X ) 0,0165 0,12845;
02 D(Y ) 0 * 0,2 0,2 * 0,6 0,5 * 0,2 (0.22)
2
2
= 0,0256;
(Y ) D(Y ) 0,0256 0,16;
2
2

17.

3
3
11 cov( X , Y ) xi y j pij M ( X ) M (Y )
i 1 j 1
= 0.1*0*0.1+ 0.1*0.2*0 + 0.1*0.5*0.2 + 0.2*0*0 +
+ 0.2*0.2*0.3 + 0.2*0.5*0 + 0.4*0*0.1 + 0.4*0.2*0.3 +
+ 0.4*0.5*0 – 0.25*0.22 = – 0.009;
rxy
cov( X , Y )
0,009
0,438.
0,12845* 0,16
x y
Так как cov (X, Y) < 0, то одни акции идут вверх,
а другие вниз, но cov (X, Y) мала, кроме того rxy 1,
поэтому СВ X и Y коррелированны, но связь между
ними слабая. Такой портфель акций не слишком
стабилен.

18.

Определение. Условным законом распределения
одной из СВ, входящих в систему (X,Y), называ-
X xi
или ЗР СВ Х при условии, что Y y j .
ется ЗР СВ Y при условии, что
По теореме умножения вероятностей зависимых
событий
P(AB) = P(A)*P(B/A).
Отсюда
P ( AB )
P ( B / A)
Аналогично:
P ( A)
P(Y y j / X xi )
P ( X xi , Y y j )
P ( X xi )
,

19.

P ( X xi / Y y j )
Например,
P ( X xi , Y y j )
P(Y y j )
.
P12
0
P(Y y 2 / X x1 )
0,
Px1 0,3
P3 2 0,3
P ( X x3 / Y y 2 )
0,5.
Py 2 0,6
Найдем условные законы распределения и условные
математические ожидания.

20.

При Х = x1 0,1
P(Y y j / X x1 )
P1 j
Px1
P1 j
0,3
.
Тогда условный закон распределения СВ Y при
x1 0,1 будет:
Y
0
0,2
0,5
P(Y y j / X x1 )
0,1
0,3
0
0,3
0, 2
0,3
Математическое ожидание:
1
2 1
M (Y / X x1 ) 0 * 0,2 * 0 0,5 *
3
3 3

21.

При X x 2 0,2
P(Y y j / X x 2 )
P2 j
Px 2
P2 j
0,3
Y
0
0,2
0,5
P(Y y j / X x2 )
0
0,3
0,3
0,3
0
0,3
M (Y / X 0,2) 0 * 0 0,2 *1 0,5 * 0 0,2.

22.

При X x3 0,4
P(Y y j / X x3 )
P3 j
Px 3
P3 j
0,4
.
Y
0
0,2
0,5
P(Y y j / X x3 )
0,1
0, 4
0,3
0, 4
0
0, 4
1
3
M (Y / X 0,4) 0 * 0,2 * 0,5 * 0 0,15.
4
4

23.

При Y y1 0
Pi1
Pi1
P( X xi / Y y1 )
.
Py1 0,2
X
P( X xi / Y y1 )
0,1
0,1
0, 2
0,2
0,4
0
0, 2
0,1
0, 2
1
1
M(X/Y=0) = 0,1 * 0,2 * 0 0,4 * 0,25.
2
2
и т. д.

24.

Определение. Случайные величины Х и Y,
образующие систему, называются независимыми,
если З.Р. одной из них не зависит от того, какое
значение приняла другая С. В.
Необходимым и достаточным условием
независимости дискретных С.В. Х и Y является
равенство:
Pij Pxi * Pyj
(i = 1, … , n; j = 1, … , m).
В нашем примере P11 0,1, Px1 0,3, Py1 0,2.
Проверим, выполняется ли условие независимости
для С. В. Х и Y.

25.

Px1 * Py1 0,3 * 0,2 0,06 P11.
Следовательно, С. В. Х и Y зависимы.