Основные уравнения теории оболочек, безмоментная теория оболочек вращения

1. Основные уравнения теории оболочек, безмоментная теория оболочек вращения

Доцент кафедры
самолетостроения
к.т.н. Мухин Д.В.

2.

1. Основные определения
В предыдущих лекциях были рассмотрены
пластины, т. е. тонкостенные элементы,
ограниченные двумя плоскостями. Оболочка
является более сложным объектом — она
представляет собой тело, ограниченное двумя
криволинейными поверхностями, расстояние
между которыми h (толщина оболочки) мало по
сравнению с другими характерными размерами.
Оболочки разнообразных форм являются
распространенными элементами летательных
аппаратов различного назначения. Расчетная
схема оболочки используется для анализа
герметических кабин самолетов, корпусов и
баков ракет, баллонов давления и других
элементов.
По аналогии с пластинами поверхность, разделяющую толщину оболочки пополам,
назовем срединной поверхностью, а отрезок нормали к срединной поверхности
mn — нормальным элементом. Геометрия оболочки полностью определяется
формой ее срединной поверхности и толщиной.

3.

Отнесем оболочку к системе координат α, β, γ, причем
ось γ является прямолинейной и направлена по
нормали к срединной поверхности, а оси α и β являются
криволинейными и лежат в срединной поверхности.
Проведем через ось γ семейство плоскостей,
нормальных к срединной поверхности. Тогда в
результате пересечения этих плоскостей со срединной
поверхностью оболочки в точке O образуется семейство
кривых, среди которых существуют две такие, у которых
радиусы кривизны являются максимальным и
минимальным в данной точке.
Касательные к этим кривым называются главными направлениями поверхности
и, как доказывается в теории поверхностей, являются ортогональными.
Кривые, касающиеся в каждой точке главных направлений, называются линиями
главной кривизны и в теории оболочек обычно используются в качестве
координатных линий α и β. Введенная таким образом система координат α, β, γ
является ортогональной.
Длины элементов координатных линий α и β запишем в виде:
ds A d ; ds B d
где А и В — некоторые масштабные коэффициенты, определяющие, скольким
единицам длины соответствуют единичные приращения переменных α и β.

4.

Тогда квадрат длины дуги произвольного элемента, лежащего в срединной
поверхности, равен:
ds 2 ds 2 ds 2 A2 d 2 B 2 d 2
Полученное соотношение называется первой квадратичной формой поверхности,
а параметры А и В — коэффициентами первой квадратичной формы.
Для плоскости, отнесенной к декартовым координатам х,y получим
ds 2 dx 2 dy 2
т. е. А=В=1,
Для плоскости, отнесенной к полярным координатам r, θ
ds 2 dr 2 r d 2
т. е. А=1 В=r
Геометрия срединной поверхности оболочки полностью определяется
коэффициентами А, В и главными радиусами кривизны R1, R2, которые в общем
случае являются функциями переменных α и β.
Для элемента длины дуги произвольной линии, заключенной между поверхностями
на расстоянии γ от срединной поверхности можно записать следующую формулу:
2
2
2
2
ds A 1 d B 1 d 2 d 2
R1
R2
2
2

5.

Однако для оболочек небольшой кривизны, у которых радиусы кривизны
существенно больше толщины оболочки дроби в скобках оказываются
существенно меньше единицы и ими можно пренебречь, формула упрощается:
ds 2 A2 d 2 B 2 d 2 d 2

6.

2. Исходные соотношения в криволинейных координатах
В предыдущих лекциях уравнения теории пластин выводились из уравнений
теории упругости в декартовых координатах. Для аналогичного вывода уравнений
теории оболочек необходимы соответствующие уравнения в криволинейных
координатах. При этом толщина оболочки считается малой, т. е. вводятся
упрощения, позволяющие заменить длину элемента приближенной формулой .
Уравнения равновесия элемента оболочки, показанного на рисунке, аналогичные
уравнениям теории тонких пластинок, имеют вид
B A A B
B
A
A B
0,
R1
A B A B
A
B
A B
0,
R2
A B B A
A B
A B
0
R1
R2
Рассмотрим, например, первое уравнение . Его более
сложная по сравнению с уравнением теории пластин
х ух zх
0
x
у
z
в декартовых координатах структура связана с тем, что в
криволинейных координатах А и В являются функциями α,
β и срединная поверхность искривлена.

7.

В результате, если bd A d , ab B d
то в силу искривления поверхности
A
B
d , cd ab
d
и за счет углов dθ1, dθ2 и dθ3 усилия определяемые
напряжениями σβ, ταβ и ταγ дают проекции на
направление α.
ac bd
Более сложными, чем соотношения в теории пластин,
являются и геометрические соотношения:
u A u
u 1 u u
1 u
,
,
A A B R1
A R1
u 1 u u
u B u
1 u
,
,
B A B R2
B R2
u
,
u
1 u 1 u
A u B
B A A B A B
Здесь — uα, uβ, uγ перемещения по направлениям α, β, γ.

8.

Физические соотношения выражают закон Гука и с точностью до обозначений
совпадают с аналогичными уравнениями теории пластин
1
, 2 1 ,
E
E
1
2 1
,
,
E
E
1
2 1
,
.
E
E
Здесь учтено, что G
2 1
E

9.

3. Основные соотношения общей теории оболочек
Теория оболочек, так же как и теория пластин,
базируется на гипотезах Кирхгофа для нормального
элемента mn. Согласно этим гипотезам следует
принять
0
и из геометрических соотношений при γ<<R1,2
получим
uγ=w(α,β) и линейное распределение
перемещений uα и uβ по толщине оболочки,
аналогичное теории пластинок
u u , u v
где
u(α,β), v(α,β), w(α,β) — перемещения срединной поверхности в направлениях α, β
и прогиб оболочки,
u 1 w
v 1 w
,
R1 A
R2 B
- углы поворота
поверхности.
нормали
к
срединной

10.

Определение линейных и угловых деформаций
Подставляя полученные выражения для перемещений в геометрические
соотношения, получим выражения для деформаций
0
0 , 0 ,
где
0
1 u
v A w
,
A A B R1
1 v
u B w
,
B A B R2
0
0
-деформации удлинения
и сдвига срединной
поверхности;
1 u 1 v
u A
v B
B A A B A B
1
1 A
,
A A B
- изменения кривизны и кручение
срединной
поверхности
1
1 B
,
B
A B
A B
1 1
B A A B A B

11.

Определение напряжений
В соответствии с гипотезами Кирхгофа в
законе
Гука
следует
пренебречь
напряжениями σγ по сравнению с σα и σβ.
Выражая из закона Гука напряжения и
подставляя
в
полученные
равенства
выражения для деформаций, получаем:
E 0 0 , E 0 0 ,
0
E 1
1
2
где
E
E
1 2
Так же, как и в теории пластин, напряжения линейно изменяются по толщине
оболочки.

12.

Погонные усилия и моменты
По аналогии с теорией пластин вводим
понятие погонных усилий и моментов.
Учитывая связь погонных усилий и
моментов с действующими напряжениями,
рассмотренную в теме пластин и заменяя
обозначения осей получаем:
h
2
N d ,
h
2
h
2
Q d ,
h
2
h
2
M d ,
h
2
h
2
N d ,
h
2
h
2
N d ,
h
2
h
2
Q d
h
2
h
2
M d ,
h
2
h
2
M d ,
h
2

13.

Таким образом, в качестве основного
элемента оболочки можно рассматривать
элемент
срединной
поверхности,
нагруженный усилиями и моментами,
показанными на рисунке. Подставляя
напряжения в соотношения для погонных
усилий, получим
h
0
E 1
,
2
D
1
2
N E h 0 0 ,
N E h 0 0 ,
N
M D ,
M D ,
M
где
E h3
D
12 1 2
- изгибная или цилиндрическая жесткость оболочки
Усилия и моменты должны быть связаны уравнениями равновесия, которые
могут быть получены непосредственно из рассмотрения равновесия элемента,
показанного на рисунке

14.

Поставляя усилия в уравнения равновесия получим:
B N A N
B
A A B
N
N
Q A B q 0,
R
1
A N B N
A
B A B
N
N
Q A B q 0,
R2
B Q A Q
A B
A B
N
N
A B q 0,
R1
R2
B M A M
B
A
M
M
A B Q 0,
A M B M
A
B
M
M
A B Q 0.
Уравнения
сил
Уравнения
моментов
где qα, qβ, qγ - поверхностные нагрузки, отнесенные к срединной поверхности
оболочки
Полученные соотношения представляют собой исходную систему 19-ти
уравнений общей теории оболочек, которые включают девятнадцать неизвестных
функций переменных α, β: восемь усилий и моментов Nα, Nβ, Nαβ, Qα, Qβ, восемь
0
0
0
компонентов деформаций — , , , , , , , и три перемещения u, v, w.
При А=B=1 и α=х, β=y полученные уравнения преобразуются в уравнения теории
пластин, рассмотренные ранее.

15.

Согласно общей схеме решения задачи в перемещениях, система уравнений
теории оболочек может быть сведена к трем уравнениям относительно
перемещений и, и, w. Для этого необходимо из двух уравнений моментов выразить
перерезывающие силы
1 B M A M
B
A
M
M ,
A B
1 A M B M
A
B
Q
M
M
.
A B
Q
и подставить их в три уравнения сил. Выражая далее в полученных таким образом
трех уравнениях усилия и моменты через перемещения, можно записать
следующую систему:
L1u u L1v v L1w w q ,
L2u u L2 v v L2 w w q ,
L u L v L w q .
3v
3w
3u
Дифференциальные операторы Lij в общем случае имеют восьмой порядок
дифференцирования и весьма громоздкую форму и здесь не приводятся.

16.

Если
в
результате решения данной системы найдены перемещения
u(α,β), v(α,β), w(α,β), то далее по формулам основных соотношений общей теории
оболочек можно определить компоненты деформации, и с помощью соотношений
связывающих деформации и погонные усилия и моменты — усилия и моменты.
Напряжения в оболочке определяются равенствами, аналогичными теории
пластин
N 12 M
N 12 M
N
12 M
,
,
,
3
3
3
h
h
h
h
h
h
6 Q 2 h 2
6 Q 2 h 2
3 ,
3 ;
h
4
h
4
Данные формулы соответствуют наиболее распространенному случаю, когда на
поверхностях оболочки отсутствуют касательные составляющие внешней нагрузки.

17.

4.Граничные условия
Разрешающие уравнения общей теории оболочек имеют в совокупности восьмой
порядок по переменным α и β. В каждой точке края оболочки необходимо записать
четыре граничных условия. Так, на крае оболочки α=const в общем случае должны
быть заданы четыре граничных условия:
u или Nα, v или Nαβ, w или Q*α, ϑα или Mα
В более общем случае (упругое закрепление) может быть задана линейная
комбинация двух функций:
u k1 N , v k2 N , w k3 Q * , k4 M
На защемленном крае к условиям отсутствия прогиба и угла поворота
необходимо добавить условия отсутствия тангенциальных перемещений
срединной поверхности, т. е.
const u v w 0
при const u v w 0
при
Здесь углы поворота нормали к срединной поверхности ϑA и ϑВ определяются
ранее полученными равенствами
u 1 w
v 1 w
,
R1 A
R2 B

18.

Распространенным является так называемое скользящее шарнирное опирание
(свободное опирание) края. Граничные условия при этом имеют вид:
const
v w 0, M N 0,
при const
u w 0, M N 0.
при
Согласно данным зависимостям, например, край α=const может свободно
перемещаться в направлении α (Nα=0) и закреплен от перемещений в
направлении β (v=0). Если отсутствуют все тангенциальные перемещения, то
условия Να=0 и Νβ=0 следует заменить соответственно на и=0 и v=0. Если же
край свободен в отношении тангенциальных перемещений, условия v=0 и и=0
заменяются на Nαβ=0 при α=const и β=const.
К условиям на свободном крае пластины необходимо добавить условия
отсутствия тангенциальных усилий, т. е.:
const
N N M Q * 0,
при const
N N M Q * 0.
при
*
*
Здесь Q и Q — обобщенные перерезывающие силы, которые определяются
равенствами, аналогичными теории пластин, т. е.
1 M
Q Q
,
B
*
1 M
Q Q
A
*
Qα и Qβ выражаются через моменты ранее полученными соотношениями.

19.

5. Полная энергия оболочки
Потенциальная энергия тонкой
аналогичный теории пластин:
оболочки небольшой кривизны, имеет вид,
h2
1
U d A B d d
2 h
2
Подставляя деформации с помощью полученных ранее равенств и учитывая
выражения для усилий и моментов, получим:
U
1
0
0
0
N
N
N
M M M A B d d
2
Вариация работы внешних сил имеет вид
A q u q v q w A B d d
Полная энергия оболочки определяется общей формулой Э=U - А.
Согласно принципу Лагранжа
Э U A

20.

6. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки
Рассмотрим достаточно простой и тем не менее важный для приложений пример
— на задачу об осесимметричном изгибе цилиндрической оболочки. Полученные
результаты позволят также сделать некоторые важные выводы, которые будут
использованы в дальнейшем.
Пусть тонкая круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины h
нагружается нормальной нагрузкой (давлением qγ=p(α)) и касательной нагрузкой
qα=q(α). Если действующие на торцах оболочки силы также не зависят от окружной
координаты β, то как нагружение, так и напряженно-деформированное состояние
оболочки будут осесимметричными. При этом v=0, а перемещения u, w и все
усилия и моменты будут завиcеть только от осевой координаты α.
Согласно
рисунку
цилиндрической СК
в
принятой
ds 2 d 2 R d 2
т. е. А=1, В=R.
Кроме того, очевидно, что R1=∞ и R2=R.

21.

Геометрические соотношения типа в цилиндрических
осесимметричной задачи преобразуются к виду:
координатах
для
u A u 1 u u 1 u
u
1 u
,
A A B R1 1 1 R
u B u
1 u
1 u u R u u
,
B A B R2 R 1 R R R
u
,
u 1 u u u 1 u u u u
,
A R1 1
1 u u
0,
B R2
u
u
1 u 1 u
A u B
0
B A A B A B
Две последних
деформации равны
нулю по условию
симметричности
То есть, подводя итоги:
u
u
u
u u
, ,
,
,
R
Совпадает с зависимостями
Сопротивления материалов

22.

На основании гипотез Кирхгофа получим частную форму выражений для
перемещений для рассматриваемого случая
u w , u u , w
где w(α) и и(α) — функция прогиба и осевое перемещение точек срединной
поверхности, а ( )' обозначает производную по α.
Подставляя данные выражения в геометрические соотношения имеем
u
u ( ) 0 ,
u
w
0 ,
R R
где
0 u ( ), w , 0
w
.
R
Закон Гука (относительно напряжений) принимает вид:
E 0 0 ,
E 0 0 .
где E
E
1 2
Подставляем в закон Гука выражения для 0 , 0 , и находим усилия и моменты,
выражая их через напряжения

23.

h2
N
w
R
d E u ,
h 2
h2
w
N d E u ,
R
h 2
h2
M
d D w ,
h 2
h2
M
d D w ,
h 2
здесь, как и ранее: E E 1 2 , D E h 3 12

24.

Выведем теперь уравнения равновесия.
Выделим из оболочки элемент, показанный
на рисунке. б и приравняем нулю сумму
всех
сил,
действующих
в
осевом
направлении α, сумму проекций сил на
нормаль к поверхности и сумму моментов
относительно
элемента
параллели
(остальные
уравнения
равновесия
удовлетворяются тождественно). Получим:
N q 0,
Q
N
R
p 0,
M Q 0
Полученные соотношения представляют собой систему основных уравнений для
осесимметрично нагруженной цилиндрической оболочки. Семь полученных
уравнений включают столько же неизвестных — два перемещения и, w и пять
усилий и моментов Nα, Nβ, Qα, Mα, Mβ. Как отмечалось ранее, эту систему можно
свести к уравнениям, включающим в качестве неизвестных перемещения.
Из последнего уравнения и выражений для погонных нагрузок получаем:
Q M D w
Подставляем в первые два уравнения из последней группы выражения погоных
нагрузок
q
1
w h 2 IV
p
u w
,
u w
R
E h
R
R 12
E h

25.

Во многих случаях задача является статически определимой относительно
усилий Να — они могут быть получены путем интегрирования уравнения,
N q 0
причем произвольная постоянная определяется по известному значению Να = N
на каком-либо торце оболочки. В этих случаях вместо двух уравнений можно
получить одно уравнение относительно прогиба w.
Пусть на оболочку действует только
внутреннее давление р. При q=0 из
первого уравнения получим Nα=N (если
р=const, то N 0,5 p R
). Исключая из
формул и’ найдем
E h
N
w N
R
В этом случае второе уравнение после подстановки выражений для Qα и Νβ
E h
N
примет вид:
D w IV 2 w p
R
R
1
N
или w IV 4 k 4 w p
D
R
E h
3 1 2
4
k
где
4 R2 D
R2 h2

26.

Краевой эффект и безмоментное состояние
Общее решение дифференциального уравнения запишем в виде:
w e k C1 cos k C2 sin k e k C3 cos k C4 sin k w0
где w0(α) — частное решение неоднородного уравнения, зависящее от вида
правой части. Четыре произвольных постоянных C1,С2,С3,С4 определяются из
четырех граничных условий при α=0 и α=l.
Если оболочка рассматривается как полубесконечная (l→∞), то из условия
ограниченности решения при α→∞ следует положить С2 = С3 = 0. Тогда
w e k C1 cos k C2 sin k w0
Здесь константы С1 и С2 определяются из граничных условий на краю α=0; они
характеризуют быстро затухающее решение типа краевого эффекта,
описывающее местный изгиб оболочки вблизи края α=0. Так как eπ≈0,043, то
влиянием краевого эффекта практически можно пренебречь при α≥π·k или, если
положить μ≈0,3, при 2,5 R h . Например при R/h =100 и R/h =400 ширина
зоны краевого эффекта равна 0,25R и 0,125R соответственно.
Если длинa оболочки превышает ширину зоны краевого эффекта ( l 2,5 R h ), то
такую оболочку можно считать длинной и изгиб вблизи каждого из двух краев и
можно рассматривать независимо друг от друга, используя решение для
полубесконечной оболочки (при этом в каждом случае координата α
отсчитывается от рассматриваемого края в направлении другого края).

27.

,
Если правая часть дифференциального уравнения представлена в виде полинома
по степеням α с показателями, не превышающими трех, то частное решение имеет
вид:
2
w0
R
N
p
E h
R
В более общем случае, если правая часть ДУ меняется достаточно плавно, данное
выражение может быть использовано как приближенное частное решение.
Полученное частное может быть также получено как решение ДУ при D=0.
Из равенств и соотношений, определяющих распределение напряжений по
толщине оболочки, следует, что при D=0, Mα=Mβ=Qα=0 и σα=Nα/h, σβ=Nβ/h
т. е. напряжения равномерно распределены по толщине. Такое напряженное
состояние оболочки называется безмоментным и соответственно частное
решение называется безмоментным решением.
Таким образом, можно считать, что общее решение задачи при осесимметричной
деформации тонкой достаточно длинной цилиндрической оболочки складывается
из безмоментного решения w0 и решения краевого эффекта wk.

28.

Краевой эффект возникает в том случае, когда на краю оболочка нагружается
моментным образом (поперечными силами, моментами), соединяется с другой
оболочкой шпангоутом и т. п. или закрепляется в отношении поперечного
перемещения w и угла поворота θα. Угол поворота нормали, изгибающие моменты
и перерезывающая сила согласно формулам имеют вид:
w k e k C1 cos k sin k C2 cos k sin k ,
M D w 2 D k 2 e k C1 sin k C2 cos k ,
M M ,
Q D w 2 D k 3 e k C1 cos k sin k C2 cos k sin k
Определим постоянные С1 и С2
для различных типов граничных
условий.
Для защемленного края (см.
рис. б) при α=0 следует принять:
w 0
при этом С1=С2=-w0
w w0 1 e k cos k sin k

29.

Если на торце оболочка закреплена
шарнирно (рис. в), то
0 w M 0
получаем
C1 w0 , C2 0
решение имеет вид:
w w0 1 e k cos k .
Из полученных равенств следует, что при увеличении α прогиб приближается к
безмоментной составляющей, т. е. на достаточном удалении от края w=w0
Если оболочка не закреплена в отношении радиального перемещения w и угла
поворота ϑα, то при α=0 Mα=Qα=0 и следовательно С1=С2=0 и w=-w0 т. е. при
таком закреплении краевой эффект отсутствует и прогиб полностью определяется
безмоментным решением.
Таким образом, достаточно длинная цилиндрическая оболочка почти всюду (за
исключением быть может узких участков вблизи краев) находится в безмоментном
состоянии, а в окрестности краев при соответствующих граничных условиях
реализуется локальное изгибное состояние — краевой эффект. Эта особенность
напряженного состояния характерна не только для цилиндрической, но и для
более широкого класса оболочек и позволяет в ряде случаев значительно
упростить расчет.