Лекция 10 Основы аналитической геометрии (I)
Аналитическая геометрия (Analytic geometry)
Прямая (straight line) на плоскости
Исследование общего уравнения прямой
Взаимное расположение прямых на плоскости
Расстояние от точки до прямой
561.50K
Категория: МатематикаМатематика

ВМ_1семестр_Л10

1. Лекция 10 Основы аналитической геометрии (I)

2. Аналитическая геометрия (Analytic geometry)

Аналитическая геометрия - раздел геометрии, в
котором геометрические фигуры и их свойства
исследуются средствами алгебры.
Опр. Линией на плоскости (line in the plane) в
выбранной CК называют геометрическое место
точек
M(x;y),
координаты
которых
удовлетворяют уравнению
F(x,y) = 0,
где F(x,y) – некая функция.
Если F(x,y) – многочлен степени n, то линия
называется алгебраической.

3.

Поверхностью (surface) в выбранной СК
называют геометрическое место точек M(x;y;z),
координаты которых удовлетворяют уравнению
F(x,y,z) = 0.
П. Уравнение x2+y2-1=0 определяет на плоскости
окружность радиуса R=1 с центром в точке
O(0,0).

4. Прямая (straight line) на плоскости

Задача. Записать уравнение прямой, проходящей
через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору
N A, B
N
M0
M M , N 0
0
r r0 , N 0
Векторное уравнение
прямой на плоскости
r0
O
r
M

5.

r r , N 0
0
A( x x0 ) B( y y0 ) 0;
Ax By Ax0 By0 0;
Ax By C 0
где
A B 0,
2
2
называется общим уравнением (general equation)
прямой на плоскости.

6. Исследование общего уравнения прямой

Т. В общей ДСК на плоскости каждая прямая
может быть задана линейным уравнением.
Обратно, каждое линейное уравнение в общей
ДСК на плоскости определяет прямую.
Исследование общего уравнения прямой
1. Рассмотрим полное уравнение
Ax By C 0
A 0, B 0, C 0
A
B
x
y 1
Ax By C
C
C

7.

x
y
1
C / A C / B
называют уравнением
(intercept form).
x y
1,
a b
прямой
в
отрезках
y
B(0; b)
A(a; 0)
x

8.

Частные случаи
2.
Ax By C 0
Ax By 0
A 0 B 0
A 0 B 0 C 0
y
O(0; 0)
3.
x
C
Ax By C 0
x a 0;
A
A 0 B 0 C 0

9.

Ax By C 0
A 0 B 0 C 0
C
y b 0;
B
y
y
B(0; b)
A(a; 0)
x
x
4. Ax By C 0
A 0 B 0 C 0
y 0 (ось ОХ );
Ax By C 0
x 0 (ось ОY ).
A 0 B 0 C 0

10.

2. Параметрическое (parametric) уравнение
прямой
Задача. Записать уравнение прямой, проходящей
через
точку
M0(x0;y0),
параллельно
направляющему вектору (direction vector)
lx , l y
M0
r0
O
r
M

11.

r r0 tl , t
r r0 tl , t
x x0 lx
t
y y0 l y
x x0 tlx
, t .
y
y
tl
0
y

12.

3. Каноническое (standard) уравнение прямой на
плоскости
x x0 y y0
ly
lx
4. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
M1(x1,y1) и M2(x2,y2) (two point form)
l lx , l y x2 x1 , y2 y1
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1
M1
M2

13.

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(slope-intercept form)
M1 x1 , y1 ;
M 2 x2 , y2 ;
y2 y1
;
k tg
x2 x1

14.

y2 y1
y
y
x
x
1
1
x2 x1
k tg y2 y1
x2 x1
y y1 k x x1
y kx y1 kx1
y kx b

15.

6. Уравнение пучка прямых
y y1 k x x1 ,
k

16. Взаимное расположение прямых на плоскости

На плоскости две прямые могут:
а) совпадать,
б) быть параллельными,
в) пересекаться.
l1: A1x + B1y + C1 = 0 или y = k1x + b1
l2: A2x + B2y + C2 = 0 или y = k2x + b2
A1 B1 C1
l1 совпадает с l2 .
A
B
C
2
2
2

17.

N1
N2
1
1
2
2
x
1
2
Утв. Критерий параллельности прямых
A1 B1 C1
l1 || l2 ;
A
B
C
2
2
2
l1 || l2 k1 k2 .

18.

Пусть прямые пересекаются
N2
1
1
2
cos 1,2
(N1 , N 2 )
N1 N 2
1
N1
1
2
A1 A2 B1 B 2
A B A2 B 2
2
1
2
1
2
2
.

19.

2
1
1
1
l1 : y k1 x b1
l2 : y k 2 x b2
2
x
1 1 ( 2 ) 1 2 1
tg 2 tg 1
tg 1 tg ( 2 1 )
1 tg 1tg 2
tg 1,2
k 2 k1
1 k 2 k1

20. Расстояние от точки до прямой

Утв. Критерий перпендикулярности прямых
l1 l2 ( N1 , N 2 ) A1 A2 B1 B 2 0 ;
l1 l2 k1 k2 1 .
Расстояние от точки до прямой
Задача. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By + C = 0 , M0(x0;y0) – точка, не
принадлежащая прямой ℓ.
Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ.

21.

Ax1 By1 C 0
M0
N
N A, B
d
M1
d PrN M 0 M1
( N , M 1M 0 )
N
A x1 x0 B( y1 y0 )
A B
2
2

22.

Ax1 By1 Ax0 By0
A B
2
2
C Ax0 By0
A B
2
d
2
Ax0 By0 C
A B
2
2
.
English     Русский Правила