Дискретные сигналы в инфотелекоммуникации (Общая теория связи, Лекция № 5)

1.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Факультет фундаментальной подготовки
Кафедра теории электрических цепей и связи
(ТЭЦ и С)
Дисциплина
Общая теория связи
Лектор:
Заведующий кафедрой
Шумаков Павел Петрович
ОТС
Лекция #4
1

2.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Лекция № 5
Дискретные сигналы в инфотелекоммуникации.
Учебные вопросы:
1. Дискретизация аналогового сигнала.
2. Теорема Котельникова.
3. Дискретное преобразование Фурье.
ОТС
Лекция #4
2

3.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Литература:
Стр.
55..60; 60..63;
Используя MathCAD рассчитать ДПФ и
построить энергетические спектры
для импульсных сигналов из таблицы
2.1 на стр 45.
Четные номера : треугольный (2) и
косинусоидальный (3).
Нечетные номера : Прямоугольный
(1) и SINC-образный (5).
Если интервал дискретизации для
четных номеров τ/Мр*12, а для
нечетных
τ/Мр*14
ОТС
Лекция #4
3

4.

Дискретное преобразование Фурье
ОТС
Лекция #4
4

5. Устройство цифровой обработки сигналов

Sa(t)
Xa(t)
ФФ
Xц(t)
АЦП
Yц(t)
ЦСП
Yд(t)
ЦАП
Yа(t)
ВФ
Импульсы дискретизации tд
ОТС
Лекция #4
5

6.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Этапы цифрового преобразования аналогового сигнала
ОТС
Лекция #4
6

7. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теоретических основ связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Вопрос №1. Дискретизация аналогового сигнала
least significant bit (LSB)
Наименьший значащий бит
РТЦ и С
Лекция #5
7

8. Дискретизация по времени и квантование по уровню.

РТЦ и С
Лекция #5
8

9. Шум квантования

-
РТЦ и С
D
D
£ e( t ) £
2
2
Лекция #5
9

10. Аналогово-цифровое преобразование и Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

РТЦ и С
Лекция #5
10

11. Аналогово-цифровое преобразование и Импульсно-кодовая модуляция (ИКМ)

РТЦ и С
Лекция #5
11

12. Аналогово-цифровое преобразование и Широтно-импульсная модуляция (ШИМ)

РТЦ и С
Лекция #5
12

13. Аналогово-цифровое преобразование и Время-импульсная модуляция (ВИМ)

РТЦ и С
Лекция #5
13

14. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теоретических основ связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Методы кодирования цифровых сигналов
Каждый бит кодового слова передается или записывается с помощью дискретных
сигналов, например, импульсов.
NRZ
NRZI
манчестерский
диффманчестерский
АМI
ОТС
Лекция #1
14

15. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теоретических основ связи

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теоретических основ связи и радиотехники»
Методы кодирования цифровых сигналов
Способ представления исходного кода определенными сигналами определяется
форматом кода.
Формат БВН (без возвращения к нулю) естественным образом соответствует режиму работы логических схем. Единичный бит передается в
пределах такта, уровень не меняется. Положительный перепад означает переход из 0 к 1 в исходном коде, отрицательный — от 1 к 0.
Отсутствие перепадов показывает, что значения предыдущего и последующего битов равны. Для декодирования кодов в формате БВН
необходимы тактовые импульсы, так как в его спектре не содержится тактовая частота. Соответствующий коду формата БВН сигнал содержит
низкочастотные компоненты (при передаче длинных серий нулей или единиц перепады не возникают).
Формат БВН-1 (без возвращения к нулю с перепадом при передаче 1) является разновидностью формата БВН. В отличие от последнего в
БВН-1 уровень не передает данные, так как и положительные и отрицательные перепады соответствуют единичным битам. Перепады сигнала
формируются при передаче 1. При передаче 0 уровень не меняется. Для декодирования требуются тактовые импульсы.
Формат БВН −0 (без возвращения к нулю с перепадом при передаче 0) является дополнительным к БВН-1 (перепады соответствуют нулевым
битам исходного кода). В многодорожечных системах записи цифровых сигналов вместе с кодом в формате БВН надо записывать тактовые
импульсы. Возможным вариантом является запись двух дополнительных сигналов, соответствующих кодам в форматах БВН-1 и БВН-0. В
одном из двух сигналов перепады происходят в каждом такте, что позволяет получить импульсы тактовой частоты.
Формат ВН (с возвращением к нулю) требует передачи импульса, занимающего только часть тактового интервала (например, половину), при
одиночном бите. При нулевом бите импульс не формируется.
Формат ВН-П (с активной паузой) означает передачу импульса положительной полярности при единичном бите и отрицательной — при
нулевом бите. Сигнал этого формата имеет в спектре компоненты тактовой частоты. Он применяется в ряде случаев для передачи данных по
линиям связи.
Формат ДФ-0 (двухфазный со скачком фазы при передаче 0) соответствует способу представления, при котором перепады формируются в
начале каждого такта. При единичных битах сигнал в этом формате меняется с тактовой частотой, то есть в середине каждого такта
происходит перепад уровня. При передаче нулевого бита перепад в середине такта не формируется, то есть имеет место скачок фазы. Код в
данном формате обладает возможностью самосинхронизации и не требует передачи тактовых сигналов.
Направление перепада при передаче сигнала единицы не имеет значения. Поэтому изменение полярности кодированного сигнала не влияет
на результат декодирования. Он может передаваться по симметричным линиям без постоянной составляющей. Это также упрощает его
магнитную запись. Этот формат известен также под названием «Манчестер 1». Он используется в адресно-временном коде SMPTE, широко
применяющемся для синхронизации носителей звуковой и видеоинформации.
ОТС
Лекция #1
15

16.

РТЦ и С
#7
Лекция
16

17.

high density bipolar of order 3 (HDB3)
Применяется по рекомендации МIТТ в Европейских сетях передачи данных
РТЦ и С
#7
Лекция
17

18. Математическая модель дискретизированного сигнала

Дискретизированный сигнал – последовательность дельта-функций , взвешенных
значениями дискретных отсчетов
sa (t)
+
Х
¥
å d ( t - kT )
k =-¥
sd (t) =
¥
å s(kT ) × d ( t - kT ) =
k=- ¥
d
d
¥
= sa (t) å d ( t - kTd )
k=- ¥
d
Решетчатая функция отсчетов
- периодический сигнал
РТЦ и С
Лекция #5
18

19. Вопрос №2 Теорема Котельникова.

Обобщенный ряд Фурье по системе базисных (ортогональных) функций
Котельникова
p
x = × ( t - kTd ) = π × Fd × ( t - kTd )
Td
∞
sin(x)
sa (t) = å sk ×
x
k =- ∞
1π
Td ≤
=
2Fω
B
РТЦ и С
Лекция #5
B
19

20.

Восстановление аналогового сигнала по дискретным отсчетам.
∞
sin(x)π
sa (t) = å sk ×
x
k =- ∞
x=
Td
× ( t - kTπ
F × t d- ×kT
(
d) =
d
)
Спектральная плотность базисных функций Котельникова.
ППФ
ìïTd ,
Sj ( jw ) = í
ïî 0 ,
РТЦ и С
Лекция #5
w £ p / Td
w > p / Td
20

21. Восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам

Восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам ведется весовым
суммированием базисных функций Котельникова имеющих вид SIN(x)/x.
sa (t) =
¥
ås
k=- ¥
k
sin éë 2p FB ( t - kTd ) ùû
2p FB ( t - kTd )
Для получения базисных функций Котельникова необходимо радиотехническое
устройство (фильтр) , которое в ответ на дискретный отсчет Sk выдает сигнал
вида SIN(x)/Х.
Так как дискретный отсчет является эквивалентом дельта функции , то реакция
на него будет являться импульсной характеристикой фильтра.
Следовательно восстанавливающий фильтр должен иметь импульсную
характеристику вида SIN(x)/x.
РТЦ и С
Лекция #5
21

22. Восстанавливающий фильтр

Импульсная характеристика фильтра связана с его частотной характеристикой
преобразованием Фурье.
По свойству дуальности преобразования Фурье , таким устройством должен
быть низкочастотный фильтр с идеальной (прямоугольной ) АЧХ и линейной
ФЧХ, частота среза которого равна половине частоты дискретизации аналогового
сигнала
ППФ
РТЦ и С
Лекция #5
22

23. Спектр дискретизированного сигнала

y (t ) =
¥
å d ( t - kT )
d
k=- ¥
Решетчатая функция отсчетов - периодический сигнал, который можно разложить в
ряд Фурье с коэффициентами:
1
&
Cn =
Td
Td /2
ò
y(t)e
-jwn t
-Td /2
1
y (t ) =
Td
1
dt =
Td
Td /2
ò d ( t - kT ) e
d
-jwn t
-Td /2
1
dt =
Td
Ряд Фурье для решетчатой функции отсчетов:
¥
åe
2p
wn = n = 2p Fd × n
Td
j wn t
n=- ¥
Новая модель дискретизированного сигнала
¥
1
sd (t) = å s(kTd ) × d ( t - kTd ) = sd (t) =
Td
k=- ¥
РТЦ и С
#4
Лекция
¥
å s (t ) × e
k=- ¥
j wn t
a
23

24. Спектр дискретизированного сигнала

Преобразование Фурье для дискретизированного сигнала
1
&
SÄ (w ) =
Td
1
=
Td
¥
Td /2
å ò
n =-¥ -Td /2
Td /2
1
-jw t
s Ä (t)e dt =
ò
Td
-Td /2
sa (t ) × e
-j( w - wn )t
Td /2
¥
ò å
-Td /2 n= - ¥
1
dt =
Td
sa (t ) × e
j wn t
e -jw t dt =
2p
&
Sa ( w n)
å
Td
n= - ¥
¥
Спектр дискретизированного сигнала при правильном выборе интервала дискретизации
РТЦ и С
Лекция #5
24

25.

Спектр дискретизированного сигнала при не правильном выборе интервала дискретизации
РТЦ и С
#4
Лекция
25

26. Элайзинг

Элайзинг(алиасинг )— одна из главных проблем при аналого-цифровом преобразовании
видео- и аудиосигналов. Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к
тому, что высокочастотные его составляющие накладываются на низкочастотные, в
результате чего восстановление сигнала во времени приводит к его искажениям. Для
предотвращения этого эффекта частота дискретизации должна быть достаточно высокой и
сигнал должен быть надлежащим образом отфильтрован перед оцифровкой.
Аналоговый
сигнал
Антиэлайзинговый
фильтр
ОТС
АЦП
Лекция #4
Цифровой
сигнал
Импульсы
дискретизации
26

27. Назначение формирующего АЭФ

ОТС
Лекция #4
27

28.

ОТС
Лекция #4
28

29. Спектр дискретизированного сигнала при произвольной форме дискретизирующих импульсов

sa (t)
+
Х
sd (t) =
¥
å s(kT ) × s (t - kT )
k=- ¥
d
0
d
¥
å s (t - kT )
k =-¥
0
d
&(w ) ¥
æ
S
2p n ö
0
&
&
S Ä (w ) =
Sà ç w ÷
å
Td n =-¥ è
Td ø
Мультипликативные
искажения
спектра
ОТС
Лекция #6
29

30.

Вопрос №3 Дискретное преобразование Фурье
xk = xk+ N
s(t) =
¥
å x d (t - kT )
k =-¥
1. Сигнал
k
d
s(t) периодический с периодом T=NTd.
Значит расстояние по частоте между соседними гармониками 2π/T=2π/NTd
2. Сигнал
s(t) дискретный,
следовательно его спектр периодический с периодом 2π/Td.
3. Один период спектра дискретного сигнала содержит
2π/Td : 2π/NTd=N
ОТС
гармоник
Лекция #6
30

31. Вывод формулы для спектра периодического дискретного сигнала ( ДПФ)

1
Xn =
NTd
1
=
NTd
N -1
NTd
ò
0
å xk
k =0
1
- jwn t
s(t)e dt =
NTd
NTd
ò
0
NTd
ò
0
é N -1
ù - jwn t
ê å xk × d (t - kTd ) ú × e dt =
ë k=0
û
1
- jwn t
d (t - kTd )e dt =
NTd
N -1
- jwn t
x
e
å k
k=0
1
=
NTd
N -1
åx e
k
-j
2p
nk
N
k=0
Это линейная комбинация из отсчетов сигнала.
Реальный масштаб по частоте определяется величиной
1/ТД
Если сигнал – дискретная числовая последовательность, то оперируют
номерами отсчетов k по времени и n – по частоте.
N -1
X n = å xk × W
n× k
N
k=0
W
n× k
N
=e
- j 2p
n× k
N
1 N -1
xk = × å X n ×W
N n=0
- n× k
N
æ 2p
ö
æ 2p
ö
= cos ç n × k ÷ - j × sin ç n × k ÷
èN
ø
èN
ø
ОТС
Лекция #6
31

32.

Поворачивающие множители и их свойства
W
n× k
N
=e
- j 2p
n× k
N
æ 2p
ö
æ 2p
ö
= cos ç n × k ÷ - j × sin ç n × k ÷
èN
ø
èN
ø
ОТС
Лекция #6
32

33.

Свойства ДПФ
Линейность
x1k <==> X1n
Задержка
x2k <==> X2n
[ a × x1k + b × x2k ] = yk <==> Yn = a × X1n + b × X2n
yk = xk -1 <==> Yn = X n e
- j 2p
n
N
X N -n = X -n = X n*
Симметрия для вещественного сигнала
Постоянная составляющая спектра
дискретного вещественного сигнала при n= 0
N -1
X0 =
åx
k
k =0
N -1
X N/2 = å ( -1 ) xk
Значение спектральной компоненты с
номером N/2 при четном N
ДПФ произведения двух
последовательностей
[ x1k ´ x2k ]
k
k =0
é 1
= yk <==> Yn = ê
ëN
N -1
å X1 X2
i
i =0
*
n-i
ù
ú
û
X2i = X2i ± N
N -1
1
é
ù
éë xk ´ x *k ùû = yk <==> Y0 = ê å X i X i* ú
ë N i=0
û
N -1
N -1
1
2
2
Равенство Парсеваля для
x k = å Xi
å
вещественного дискретного сигнала
N i=0
k =0
Формула Рэлея для
дискретного сигнала
33

34.

Примеры ДПФ
Если отношение
N wTd /2pне целое число в спектре дискретной гармоники присутствуют дополнительные составляющие
ОТС
Лекция #6
34

35.

Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ
Заменив номер дискретного k отсчета на непрерывное нормированное время t/T d получим
x(t) =
1
N
1
x(t) =
N
N/2 -1
å
X ne
-j
2p
nt
NTd
N = 2p
p = 0,1, 2,...
n=-N/2
(N -1)/2
å
X ne
-j
2p
nt
NTd
N = 2 p +1
n=-(N -1)/2
Аналоговый сигнал, подвергнутый дискретизации с интервалом
Td
и имеющий верхнюю граничную частоту
FB= π/Td
Число математических операций, необходимых для расчета N- точечного ДПФ
Число умножений комплексных чисел N2 ==> (4 N) 2 =16N 2 умножений вещественных чисел (а+jb)(c+jd)=ac-bd+jbc+jad
Число сложений комплексных чисел N(N-1) ==>(2N)(2N-1)=4N2-2N
(a+jb)+(c+jd)=a+c+j(b+d)
2
При N=1024 надо выполнить приблизительно 2N = 1000000 операций комплексного умножения+сложения с числами ,
имеющими например 16 разрядов. На это потребуется не менее 100 000 000 машинных тактов. Это очень долго.
ОТС
Лекция #6
35

36.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Основная идея ускорения вычислений ДПФ.
Если исходную последовательность отсчетов разбить на две меньшей длины (например на две длиной N/2), то сделав два
N/2 точечных ДПФ , выполним 2(N/2)2 =N2/2 операций комплексного умножения.
Если теперь объединить результаты двух N/2 точечных ДПФ в одно N точечное и сэкономить хотя бы одну операцию
умножения , то результат будет получен быстрее , чем при прямом расчете N точечного ДПФ.
Алгоритмы БПФ по основанию 2.
ОТС
Лекция #6
36

37.

1. Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени.
Математическое обоснование алгоритма при разбиении отсчетов на четные и нечетные:
N/2 -1
å
Xn =
x2m ×W
2m ×n
N
+
N/2 -1
m=0
W
W
2m ×n
N
=e
(2m+1)n
N
Xn =
-j
2p
2m ×n
N
=e
N/2 -1
å
-j
=e
N -1
m= N/2
-j
2p
m ×n
N/2
2p
2p
2m ×n -j n
N
N
e
ym ×W
Yn+ N/2 = Yn
å
=
m=0
m=0
Xn =
å
x2m+1 ×W
(2m+1)×n
N
m ×n
N/2
å
ym ×W
2m ×n
N
m=0
=W
=e
-j
+
N/2 -1
å
zm ×W
(2m+1)×n
N
m=0
m ×n
N/2
2p
m ×n
N/2
N/2 -1
=W
+ W × å zm ×W
n
N
N/2 -1
m ×n
N/2
m ×n
N/2
×W
n
N
0 £ n < N/2
= Yn + W nN × Z n
m=0
Z n+ N/2 = Z n
ym × W
m ×n
N/2
+W ×
n
N
N -1
å
zm ×W
m ×n
N/2
= Yn- N/2 + W
n- N/2
N
× Z n- N/2
N/2 £ n < N/2
m= N/2
ОТС
Лекция #6
37

38.

Базовая операция «бабочка» алгоритма БПФ с прореживанием по времени.
ОТС
Лекция #6
38

39.

2. Алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте.
ОТС
Лекция #6
39