Ряд Фурье и интеграл Фурье
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Комплексный ряд Фурье
Комплексный ряд Фурье вещественного сигнала
Тригонометрические формы ряда Фурье
Тригонометрические формы ряда Фурье
Тригонометрические формы ряда Фурье
Тригонометрические формы ряда Фурье
Пример.
Аппроксимация сигнала конечной суммой ряда Фурье
Связь ряда и преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности гармонических сигналов
Балансно-модулированное колебание
Спектральные плотности периодических сигналов
Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов
Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов
Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов
Свойства автокорреляционной функции
Синхронизация систем связи
Пример. АКФ прямоугольного импульса
Пример. Сигнал Баркера
1.79M
Категория: ЭлектроникаЭлектроника

Ряд Фурье и интеграл Фурье

1. Ряд Фурье и интеграл Фурье

2.

Не в совокупности ищи
единства, но более –
в единообразии разделения
Козьма Прутков.
Мысли и афоризмы, № 81
2

3. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базис
1 j 2 kt
T , k ,
e
T
полон для пространства
x(t ) L2 (T )
1
k
T
L2 (T )
x(t )
k
k
T /2
x(t )e
j
1
e
T
j
2
kt
T
2
kt
T dt
T /2
3

4. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

x(t ) L2 (T )
x(t )
Ck e
j
2
kt
T
k
T /2
1
Ck
T T /2
2
j kt
x(t )e T dt
Равенство Парсеваля
T /2
T /2
2
x(t ) dt
k
T /2
k
2
T /2
2
x(t ) dt T
k
Ck
4
2

5. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базисные функции
j 2 kt
e T , k ,
t T / 2, T / 2
при
1
1
0.5
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.5
1
1
0.5
t
111
11
Re( x( t ) )
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
00
0.5
0.5
0
0.2
0.2
0.2
0.40.4
0.4
0.5
1
1
11
1
0.5
0.5
0.5
tt
t
0.50.5
0.5
5

6. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базисные функции
T
j 2 kt
e T , k ,
при t ,
периодичны
представляет собой наименьшее общее кратное их периодов
x(t )
t
Ряд Фурье представляет сигнал на конечном интервале и его
периодическое продолжение на всей оси
t ,
При этом спектральные коэффициенты находятся по тем же
формулам!
6

7. Комплексный ряд Фурье

x(t )
Ck
2
j kt
e T
k
в общем случае комплексные
T /2
1
Ck
x(t )e
T T /2
j
2
kt
T dt
Ck Ck e j k
Ck , k ,
k , k ,
амплитудный спектр
фазовый спектр
7

8. Комплексный ряд Фурье вещественного сигнала

амплитудный спектр чётный
Сигнал вещественный
фазовый спектр нечётный
x (t ) x(t )
*
T /2
C k
1
T T / 2
2
j kt
x(t )e T dt
1
T
T / 2
T /2
С k Ck
*
2
j kt
x* (t )e T dt
Ck*
*
8

9. Тригонометрические формы ряда Фурье

Просуммируем пару
Ck
2
j kt
e T
Ck e
j k
e
C k
j
2
kt
T
2
j kt
e T
Ck e
Ck
j k
e
j
2
j kt
e T
2
kt
T
2
j kt
*
Ck e T
2
2 Ck cos
kt k
T
Тогда ряд Фурье можно записать в тригонометрической форме
2
x(t ) Ak cos
kt k ,
T
2 C , k 0,
k 0
k
Ak
Ak Ck C0 , k 0.
9

10. Тригонометрические формы ряда Фурье

a0
2
2
x(t ) ak cos
kt bk sin
kt
2 k 1
T
T
2
2
ak
x(t ) cos
kt dt , k 0,
T T /2
T
T /2
2
2
bk
x(t )sin
kt dt , k 1,
T T /2
T
T /2
10

11. Тригонометрические формы ряда Фурье

Сложим пару функций
2
2
ak cos
kt bk sin
kt
T
T
ak
ak
2
2
j kt
e T
2
j kt
e T
2
jbk j T kt
e
bk
2
ak
2
2
j kt
e T
2
j kt
e T
2j
2
jbk j T kt
e
Ck
2
j kt
e T
C k
2
j kt
e T
11

12. Тригонометрические формы ряда Фурье

ak jbk
Ck
2
Отсюда следуют связи
Ck
Ak
2
ak
2
ak
ak jbk
C k
2
2
bk
a0
C0
2
2
2
bk
a0
A0
2
bk
k arctg
ak
сигнал четный – все синусоидальные компоненты равны 0;
сигнал нечетный – все косинусоидальные компоненты равны
нулю (при этом равна нулю и постоянная составляющая)
12

13. Пример.

2
T /2
j kt
x(t )e T dt
1
Ck
T T /2
2
2 F
T
U и
C0
U q
T
k и
sin
1
2
U и
2
U
cos
ktdt
k и
T /2
T
T
и
2
и /2
частота повторения импульсов
q T и
скважность импульсной
последовательности

14.

и
2
огибающая впервые
пересекает ось
абсцисс
f 1 и
Дискреты отстоят друг от друга на
численное
значение
скважности
F 1 T
во сколько раз полуширина
главного лепестка
огибающей спектра больше
шага следования
спектральных составляющих
по оси частот

15. Аппроксимация сигнала конечной суммой ряда Фурье

Ошибка аппроксимации
2
T
N 1
k
2
Ck T
k N 1
Ck
2
T
k
2
Ck T
N
k N
Ck
2

16. Связь ряда и преобразования Фурье

Рассмотрим импульс (финитный сигнал)
со спектральной плотностью
x(t )
x(t )
X(f )
x(t kT )
k
T / 2
T /2
Спектр периодического сигнала
T 2
1
Ck
T T 2
2
j kt
x(t )e T dt
1 k
X
T T
f
t

17. Свойства преобразования Фурье

1. Линейность
k xk (t ) k X k ( f )
k
k
2. Дуальность (частотно-временная симметрия)
x( f ) X ( t )
x(t )
X ( t )
X(f )
x( f )

18. Свойства преобразования Фурье

3. Теорема сдвига (запаздывания)
X ( f )
x(t )e
x( )e
j 2 ft
dt
j 2 f ( )
x(t ) e
x (t ) x(t )
d
e
j 2 f
j 2 f
X(f )
X(f )

19. Свойства преобразования Фурье

xm (t ) x(mt )
4. Теорема масштаба
m 0
Xm( f )
x(mt )e
m 0
Xm( f )
j 2 ft
dt
x( )e
x ( t )e
j 2 ft
dt
1 f
x(mt )
X
m m
j 2 f
x( )e
m
d
m
j 2 f
1
x( )e
j 2 f
1 f
X
m m
d
f
d X
1

20. Свойства преобразования Фурье

xd (t ) dx(t ) dt
5. Теорема дифференцирования
dx(t ) j 2 ft
Xd ( f )
e
dt
dt
x(t )e
j 2 ft
dx(t )
j 2 f X ( f )
dt
j 2 f
x(t )e j 2 ft dt
0
x(t ) L2 ( , )
6. Теорема интегрирования
1
X (0) ( f )
x(t )dt j 2 f X ( f ) 2
t

21. Свойства преобразования Фурье

e
7. Теорема модуляции
x(t )e
j 2 f 0t j 2 ft
e
dt
x(t )e
j 2 ( f f0 )t
x(t )e
j 2 f0t
dt
X ( f f0 )
j 2 f0t
X ( f f0 )

22. Свойства преобразования Фурье

8. Теорема свёртки
x(t ) y(t ) X ( f )Y ( f )
9. Теорема умножения
x(t ) y(t ) X ( f ) Y ( f )
X ( )Y ( f )d X ( f ) Y ( f )

23. Свойства преобразования Фурье

10. Теорема сопряжения
x(t ) X ( f )
x (t ) X ( f )
*
*
x* (t )e j 2 ft dt
*
j 2 ( f )t
x(t )e
dt
X ( f )
*

24. Свойства преобразования Фурье

11. Теорема обращения
X ( f )
x( t )e
x _(t ) x( t )
j 2 ft
dt
x( )e j 2 f ( d )
x( )e j 2 ( f ) d X ( f )
x( t ) X ( f )

25. Свойства преобразования Фурье

X ( f ) X * ( f )
Сигнал вещественный
или
X ( f ) X ( f )
arg X ( f ) arg X ( f )
в самом деле:
X(f )
x(t )e
j 2 ft
j 2 ft
dt x(t )e
dt
То же следует из т. сопряжения:
x (t ) X ( f )
*
*
*
*
j 2 ( f )t
x(t )e
dt

26. Свойства преобразования Фурье

Сигнал вещественный
или
X ( f ) X * ( f )
Re X ( f ) Re X ( f )
Im X ( f ) Im X ( f )
Сигнал вещ. четный
x(t ) x( t )
X ( f ) X ( f )
Im X ( f ) 0
Сигнал вещ. нечетный
x(t ) x( t )
X ( f ) X ( f )
Re X ( f ) 0

27. Спектральные плотности гармонических сигналов

e
j 2 f0t
L2 ( , )
спектральная плотность в
обычном смысле не
существует
j 2 f0t
j 2 ft
(
f
f
)
e
df
e
0
0
1
cos(2 f 0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2
1
sin(2 f0t ) ( f f0 ) ( f f 0 )
2j
f0
f

28. Балансно-модулированное колебание

x(t )cos(2 f 0t )
X ( f f0 ) X ( f f0 )
2
2
1
cos(2 f 0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2
X ( ) ( f f0 )d X ( f f0 )
X ( ) ( f f0 )d X ( f f0 )

29. Спектральные плотности периодических сигналов

Периодический сигнал
x(t )
Ck e
j
2
kt
T
k
x(t )
t
Спектральная плотность
2
X ( f ) Ck f k
T
k
0
1
T
2
T
k
T
f

30. Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов

*
( x, y ) x(t ) y* (t )dt
X ( f )Y
( f )df
Wxy ( f )
Wxy ( f ) X ( f )Y ( f )
*
Wx ( f ) X ( f )
2
Взаимная спектральная
плотность
энергетический спектр сигнала
(спектральная плотность энергии)
E x ( x, x )
X ( f ) X * ( f )df
Wx ( f )df

31. Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов

Обратное преобразование Фурье взаимной спектральной
плотности
Bxy ( )
Wxy ( f )e
j 2 f
df
*
Y ( f )e
j 2 f
Bxy ( )
X ( f )Y
*
( f )e
j 2 f
df
*
Y ( f )
Y ( f )
*
Y ( f ) Y ( f )e
X ( f )Y
*
j 2 f
( f )df
взаимно корреляционная функция
теорема
сдвига
x(t ) y (t )dt ( x, y )
*

32. Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов

аналогично
j 2 f
W
(
f
)
e
df
x
Bx ( )
Bx ( )
X ( f ) X
*
( f )df
X ( f ) X * ( f )e j 2 f df
x(t ) x* (t )dt ( x, x )
автокорреляционная функция

33. Свойства автокорреляционной функции

Достигает максимума в нуле
Bx (0) max Bx ( ) Ex
Обладает свойством сопряженной симметрии
Bx ( )
x(t ) x* (t )dt
x( ) x* ( )d
*
*
x( ) x ( )d Bx* ( )
В частности, для вещественного сигнала АКФ чётная функция

34. Синхронизация систем связи

0
x(t )
x(t )
УВМ
x(t 2 )
x(t n )
arg max( x, xk )
k

35. Пример. АКФ прямоугольного импульса

B x ( )
Максимальное значение
равно
2
)
- и
A и
и
Пример. АКФ пилообразного импульса

36. Пример. Сигнал Баркера

N 2,3, 4,5,7,11,13
N 5
x(t )
Последовательности Баркера
A
2
3
4
5
7
11
13
t
5 0
2 0
0
Bx ( )
N 0 A2
Уровни боковых лепестков в N
)
Уровень главного лепестка
3 0
+1 −1
− 1 +1
+1 +1 −1
+1 −1 +1 +1
+1 −1 −1 −1
+1 +1 +1 −1 +1
+1 +1 +1 −1 −1 +1 −1
+1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −1
+1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1
0
0
раз меньше главного
3 0
Для m-последовательностей длина в принципе не
ограниченна, но уровень боковых лепестков 1/
N
English     Русский Правила