Ряд Фурье и интеграл Фурье

1. Ряд Фурье и интеграл Фурье

2.

Не в совокупности ищи
единства, но более –
в единообразии разделения
Козьма Прутков.
Мысли и афоризмы, № 81
2

3. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базис
1 j 2 kt
T , k ,
e
T
полон для пространства
x(t ) L2 (T )
1
k
T
L2 (T )
x(t )
k
k
T /2
x(t )e
j
1
e
T
j
2
kt
T
2
kt
T dt
T /2
3

4. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

x(t ) L2 (T )
x(t )
Ck e
j
2
kt
T
k
T /2
1
Ck
T T /2
2
j kt
x(t )e T dt
Равенство Парсеваля
T /2
T /2
2
x(t ) dt
k
T /2
k
2
T /2
2
x(t ) dt T
k
Ck
4
2

5. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базисные функции
j 2 kt
e T , k ,
t T / 2, T / 2
при
1
1
0.5
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.5
1
1
0.5
t
111
11
Re( x( t ) )
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
00
0.5
0.5
0
0.2
0.2
0.2
0.40.4
0.4
0.5
1
1
11
1
0.5
0.5
0.5
tt
t
0.50.5
0.5
5

6. Ряд Фурье, его формы, свойства спектров

Базисные функции
T
j 2 kt
e T , k ,
при t ,
периодичны
представляет собой наименьшее общее кратное их периодов
x(t )
t
Ряд Фурье представляет сигнал на конечном интервале и его
периодическое продолжение на всей оси
t ,
При этом спектральные коэффициенты находятся по тем же
формулам!
6

7. Комплексный ряд Фурье

x(t )
Ck
2
j kt
e T
k
в общем случае комплексные
T /2
1
Ck
x(t )e
T T /2
j
2
kt
T dt
Ck Ck e j k
Ck , k ,
k , k ,
амплитудный спектр
фазовый спектр
7

8. Комплексный ряд Фурье вещественного сигнала

амплитудный спектр чётный
Сигнал вещественный
фазовый спектр нечётный
x (t ) x(t )
*
T /2
C k
1
T T / 2
2
j kt
x(t )e T dt
1
T
T / 2
T /2
С k Ck
*
2
j kt
x* (t )e T dt
Ck*
*
8

9. Тригонометрические формы ряда Фурье

Просуммируем пару
Ck
2
j kt
e T
Ck e
j k
e
C k
j
2
kt
T
2
j kt
e T
Ck e
Ck
j k
e
j
2
j kt
e T
2
kt
T
2
j kt
*
Ck e T
2
2 Ck cos
kt k
T
Тогда ряд Фурье можно записать в тригонометрической форме
2
x(t ) Ak cos
kt k ,
T
2 C , k 0,
k 0
k
Ak
Ak Ck C0 , k 0.
9

10. Тригонометрические формы ряда Фурье

a0
2
2
x(t ) ak cos
kt bk sin
kt
2 k 1
T
T
2
2
ak
x(t ) cos
kt dt , k 0,
T T /2
T
T /2
2
2
bk
x(t )sin
kt dt , k 1,
T T /2
T
T /2
10

11. Тригонометрические формы ряда Фурье

Сложим пару функций
2
2
ak cos
kt bk sin
kt
T
T
ak
ak
2
2
j kt
e T
2
j kt
e T
2
jbk j T kt
e
bk
2
ak
2
2
j kt
e T
2
j kt
e T
2j
2
jbk j T kt
e
Ck
2
j kt
e T
C k
2
j kt
e T
11

12. Тригонометрические формы ряда Фурье

ak jbk
Ck
2
Отсюда следуют связи
Ck
Ak
2
ak
2
ak
ak jbk
C k
2
2
bk
a0
C0
2
2
2
bk
a0
A0
2
bk
k arctg
ak
сигнал четный – все синусоидальные компоненты равны 0;
сигнал нечетный – все косинусоидальные компоненты равны
нулю (при этом равна нулю и постоянная составляющая)
12

13. Пример.

2
T /2
j kt
x(t )e T dt
1
Ck
T T /2
2
2 F
T
U и
C0
U q
T
k и
sin
1
2
U и
2
U
cos
ktdt
k и
T /2
T
T
и
2
и /2
частота повторения импульсов
q T и
скважность импульсной
последовательности

14.

и
2
огибающая впервые
пересекает ось
абсцисс
f 1 и
Дискреты отстоят друг от друга на
численное
значение
скважности
F 1 T
во сколько раз полуширина
главного лепестка
огибающей спектра больше
шага следования
спектральных составляющих
по оси частот

15. Аппроксимация сигнала конечной суммой ряда Фурье

Ошибка аппроксимации
2
T
N 1
k
2
Ck T
k N 1
Ck
2
T
k
2
Ck T
N
k N
Ck
2

16. Связь ряда и преобразования Фурье

Рассмотрим импульс (финитный сигнал)
со спектральной плотностью
x(t )
x(t )
X(f )
x(t kT )
k
T / 2
T /2
Спектр периодического сигнала
T 2
1
Ck
T T 2
2
j kt
x(t )e T dt
1 k
X
T T
f
t

17. Свойства преобразования Фурье

1. Линейность
k xk (t ) k X k ( f )
k
k
2. Дуальность (частотно-временная симметрия)
x( f ) X ( t )
x(t )
X ( t )
X(f )
x( f )

18. Свойства преобразования Фурье

3. Теорема сдвига (запаздывания)
X ( f )
x(t )e
x( )e
j 2 ft
dt
j 2 f ( )
x(t ) e
x (t ) x(t )
d
e
j 2 f
j 2 f
X(f )
X(f )

19. Свойства преобразования Фурье

xm (t ) x(mt )
4. Теорема масштаба
m 0
Xm( f )
x(mt )e
m 0
Xm( f )
j 2 ft
dt
x( )e
x ( t )e
j 2 ft
dt
1 f
x(mt )
X
m m
j 2 f
x( )e
m
d
m
j 2 f
1
x( )e
j 2 f
1 f
X
m m
d
f
d X
1

20. Свойства преобразования Фурье

xd (t ) dx(t ) dt
5. Теорема дифференцирования
dx(t ) j 2 ft
Xd ( f )
e
dt
dt
x(t )e
j 2 ft
dx(t )
j 2 f X ( f )
dt
j 2 f
x(t )e j 2 ft dt
0
x(t ) L2 ( , )
6. Теорема интегрирования
1
X (0) ( f )
x(t )dt j 2 f X ( f ) 2
t

21. Свойства преобразования Фурье

e
7. Теорема модуляции
x(t )e
j 2 f 0t j 2 ft
e
dt
x(t )e
j 2 ( f f0 )t
x(t )e
j 2 f0t
dt
X ( f f0 )
j 2 f0t
X ( f f0 )

22. Свойства преобразования Фурье

8. Теорема свёртки
x(t ) y(t ) X ( f )Y ( f )
9. Теорема умножения
x(t ) y(t ) X ( f ) Y ( f )
X ( )Y ( f )d X ( f ) Y ( f )

23. Свойства преобразования Фурье

10. Теорема сопряжения
x(t ) X ( f )
x (t ) X ( f )
*
*
x* (t )e j 2 ft dt
*
j 2 ( f )t
x(t )e
dt
X ( f )
*

24. Свойства преобразования Фурье

11. Теорема обращения
X ( f )
x( t )e
x _(t ) x( t )
j 2 ft
dt
x( )e j 2 f ( d )
x( )e j 2 ( f ) d X ( f )
x( t ) X ( f )

25. Свойства преобразования Фурье

X ( f ) X * ( f )
Сигнал вещественный
или
X ( f ) X ( f )
arg X ( f ) arg X ( f )
в самом деле:
X(f )
x(t )e
j 2 ft
j 2 ft
dt x(t )e
dt
То же следует из т. сопряжения:
x (t ) X ( f )
*
*
*
*
j 2 ( f )t
x(t )e
dt

26. Свойства преобразования Фурье

Сигнал вещественный
или
X ( f ) X * ( f )
Re X ( f ) Re X ( f )
Im X ( f ) Im X ( f )
Сигнал вещ. четный
x(t ) x( t )
X ( f ) X ( f )
Im X ( f ) 0
Сигнал вещ. нечетный
x(t ) x( t )
X ( f ) X ( f )
Re X ( f ) 0

27. Спектральные плотности гармонических сигналов

e
j 2 f0t
L2 ( , )
спектральная плотность в
обычном смысле не
существует
j 2 f0t
j 2 ft
(
f
f
)
e
df
e
0
0
1
cos(2 f 0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2
1
sin(2 f0t ) ( f f0 ) ( f f 0 )
2j
f0
f

28. Балансно-модулированное колебание

x(t )cos(2 f 0t )
X ( f f0 ) X ( f f0 )
2
2
1
cos(2 f 0t ) ( f f 0 ) ( f f 0 )
2
X ( ) ( f f0 )d X ( f f0 )
X ( ) ( f f0 )d X ( f f0 )

29. Спектральные плотности периодических сигналов

Периодический сигнал
x(t )
Ck e
j
2
kt
T
k
x(t )
t
Спектральная плотность
2
X ( f ) Ck f k
T
k
0
1
T
2
T
k
T
f

30. Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов

*
( x, y ) x(t ) y* (t )dt
X ( f )Y
( f )df
Wxy ( f )
Wxy ( f ) X ( f )Y ( f )
*
Wx ( f ) X ( f )
2
Взаимная спектральная
плотность
энергетический спектр сигнала
(спектральная плотность энергии)
E x ( x, x )
X ( f ) X * ( f )df
Wx ( f )df

31. Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов

Обратное преобразование Фурье взаимной спектральной
плотности
Bxy ( )
Wxy ( f )e
j 2 f
df
*
Y ( f )e
j 2 f
Bxy ( )
X ( f )Y
*
( f )e
j 2 f
df
*
Y ( f )
Y ( f )
*
Y ( f ) Y ( f )e
X ( f )Y
*
j 2 f
( f )df
взаимно корреляционная функция
теорема
сдвига
x(t ) y (t )dt ( x, y )
*

32. Корреляционно-спектральные характеристики детерминированных сигналов

аналогично
j 2 f
W
(
f
)
e
df
x
Bx ( )
Bx ( )
X ( f ) X
*
( f )df
X ( f ) X * ( f )e j 2 f df
x(t ) x* (t )dt ( x, x )
автокорреляционная функция

33. Свойства автокорреляционной функции

Достигает максимума в нуле
Bx (0) max Bx ( ) Ex
Обладает свойством сопряженной симметрии
Bx ( )
x(t ) x* (t )dt
x( ) x* ( )d
*
*
x( ) x ( )d Bx* ( )
В частности, для вещественного сигнала АКФ чётная функция

34. Синхронизация систем связи

0
x(t )
x(t )
УВМ
x(t 2 )
x(t n )
arg max( x, xk )
k

35. Пример. АКФ прямоугольного импульса

B x ( )
Максимальное значение
равно
2
)
- и
A и
и
Пример. АКФ пилообразного импульса

36. Пример. Сигнал Баркера

N 2,3, 4,5,7,11,13
N 5
x(t )
Последовательности Баркера
A
2
3
4
5
7
11
13
t
5 0
2 0
0
Bx ( )
N 0 A2
Уровни боковых лепестков в N
)
Уровень главного лепестка
3 0
+1 −1
− 1 +1
+1 +1 −1
+1 −1 +1 +1
+1 −1 −1 −1
+1 +1 +1 −1 +1
+1 +1 +1 −1 −1 +1 −1
+1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −1
+1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1
0
0
раз меньше главного
3 0
Для m-последовательностей длина в принципе не
ограниченна, но уровень боковых лепестков 1/
N