Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.9)

1. Лекция 2-9. 12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. 12.2.1 Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Определение. Уравнения вида F ( x, y, y¢, y¢¢ ) = 0
называются дифференциальными уравнениями 2-го
порядка.
Дифференциальное уравнение, разрешенное
относительно второй производной y¢¢ имеет вид
y¢¢ = f ( x, y, y¢ ) .
Пример. y¢¢ = x. Последовательно интегрируя, получим
3
æ x2
ö
x2
x
y¢ = ò xdx + C1 =
+ C1, y = ò ç
+ C1 ÷ dx + C2 =
+ C1x + C2 .
ç
÷
2
6
è 2
ø

2. Лемма.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка
y¢¢ = f ( x, y , y¢ )
обычно имеет бесчисленное множество решений,
y = j ( x, C1, C2 ) ,
определяемых формулой
содержащей две произвольные постоянные. Это
множество решений называется общим решением.
Частные решения дифференциального уравнения
определяются из начальных условий
y x = x = y0 , y¢ x = x = y0¢ .
0
0

3. Пример.

y¢ =
x2
+ C1,
2
ìï3 = 2 + C1,
í2 = 4 + 2C + C .
1
2
ïî
3
y x = 2 = 2, y¢ x = 2 = 3.
y¢¢ = x.
x3
y=
+ C1x + C2 .
6
4
C1 = 1, C2 = - .
3
x3
4
y=
+x- .
6
3
Геометрический смысл начальных условий:
Помимо точки
x0 , y0 , задаем угловой
коэффициент касательной.
(
)

4. Теорема о существовании и единственности решения.

¶f ¶f
,
Если функция f ( x, y , y¢ ) и ее производные
¶y ¶y¢
непрерывны в окрестности значений ( x0 , y0 , y0¢ ) ,
то дифференциальное уравнение y¢¢ = f ( x, y , y¢ )
в достаточно малом интервале ( x0 - h, x0 + h )
имеет единственное решение y = y ( x ) , удовлетворяющее
заданным начальным условиям y x = x = y0 , y¢ x = x = y0¢ .
0
Без доказательства.
0

5.

y¢
Из теоремы следует, что уравнение y¢¢ = x + y при
заданных начальных условиях y
¢
=
2,
y
= -1
x =1
x =1
имеет единственное решение. Если задать начальные
условия при x0 = 0, то теорема о существовании дать
ответ не может, т.к. при x0 = 0правая часть имеет
особенность.
Для дифференциального уравнения 2-го порядка часто
задают граничные условия (краевые условия)
y x = x = y1, y x = x = y2
1
2
(сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.). В
этом случае может быть одно решение, может решение
не существовать и может быть бесконечное множество
решений. Это коренное отличие задания граничных
условий от задания начальных условий.

6. Пример.

y¢¢ = x.
y x =1 = 0, y x = 2 = 0.
x3
y=
+ C1x + C2 ,
6
1
4
+ C1 + C2 = 0, + 2C1 + C2 = 0.
6
3
7
C1 = - , C2 = 1.
6
x3 7
y=
- x + 1.
6 6

7. 12.2.2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка.

12.2.2. Частные случаи
дифференциальных
2-го
y¢¢ = f (уравнений
x, y , y¢ ) .
порядка.
1) Правая часть не содержит y
и y¢.
y¢¢ = f ( x ) .
y¢ = ò f ( x ) dx + C1,
y = ò éë ò f ( x ) dx ùû dx + C1x + C2 .

8. 2) Правая часть не содержит

y.
y¢¢ = f ( x, y¢ ) .
Замена y¢ = z Þ y¢¢ = z¢.
z ¢ = f ( x, z ) .
Это дифференциальное уравнение 1-го порядка.
y¢ = z , y = j ( x, C1 ) dx + C2 .
z = j ( x, C1 ) ,
y¢
Пример.
ò
y¢¢ +
= x.
x
z
¢
z + = x,
x
y¢ = z ,
x 2 C1
z=
+ .
3
x
x 2 C1
x3
y¢ =
+ , y=
+ C1 ln x + C2 .
3
x
9

9. 3) Правая часть не содержит

y¢¢ = f ( y , y¢ ) .
Замена
dz dy
y¢ = z ( y ) Þ y¢¢ =
= z¢z.
dy dx
x.
zz¢ = f ( y, z ) .
Это дифференциальное уравнение 1-го порядка.
dy
dy
z = j ( y, C1 ) ,
= x + C2 .
= j ( y, C1 ) ,
ò
j ( x, C1 )
dx
Пример.
dz
dy
=- ,
2
2 yy¢¢ + y¢2 = 0. y¢ = z ( y ) , y¢¢ = z¢z. 2 yz ¢z = - z ,
z
2y
dy C1
C1
3 =C x+C .
1
=
,
y
z
=
,
y
>
0
.
(
) dx
ln z = - ln y + ln C1 ,
1
2
y
y
2
При сокращении на
z было потеряно решение z = y¢ = 0,
т.е.
y = const.

10. 12.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

n
1) Уравнения вида y ( ) = f ( x ) .
y(
n -1)
= ò f ( x ) dx + C1 = f1 ( x ) + C1,
n-2 )
(
y
= ò éë ò f ( x ) dx ùû dx + C1x + C2 = f 2 ( x ) + C1x + C2 ,
…………………………………
C1
y = fn ( x ) +
x n -1 + ... + Cn -1x + Cn ,
( n - 1) !
f n ( x ) = ò ò ...ò f ( x ) dx n .
y = f n ( x ) + C1x n -1 + ... + Cn -1x + Cn .

11. Пример.

y¢¢ = xe - x .
-x
-x
-x
¢
y = ò xe dx + C1 = - xe - e + C1,
(
)
y = ò - xe - x - e - x + C1 dx + C2 = xe - x + 2e - x + C1x + C2 .

12. 2) Уравнения вида

k)
n)
(
(
æ
F ç x, y ,..., y
è
Подстановка
на k :
k)
(
y
=z
ö = 0.
÷
ø
понижает порядок уравнения
n-k ) ö
(
æ
F ç x, z , z¢,..., z
÷ = 0.
è
ø

13. 3) Уравнения вида

n) ö
(
æ
F ç y, y¢,..., y ÷ = 0.
ø
3) Уравнения вида è
Подстановка y¢ = z ( y ) понижает порядок уравнения
на 1:
dz dy
dz
y¢¢ =
=z ,
dy dx
dy
2
é
æ dz ö
dz dz
d 2z ù
ú
y¢¢¢ =
y¢ + z
y¢ = z êç ÷ + z
2ú
dy dy
êè dy ø
dy 2
dy
ë
û
d 2z
и т. д.

14. 4) Уравнения вида однородные относительно

n
F æç x, y, y¢,..., y ( ) ö÷ = 0
4) Уравнения вида
è
ø ( n)
однородные относительно y, y¢,..., y .
¢
y
Подстановка
= z ( x ) понижает порядок уравнения
y
на 1:
2
¢¢
¢
y y -( y )
y¢¢
= z¢ ( x ) Þ
= z¢ + z 2
y
y
и т.д.

15. Пример.

2
æ y¢ ö
y¢¢
3 ç ÷ = 4 + 1.
y
è yø
3 z 2 = 4 z ¢ + 4 z 2 + 1,
dz
1
ò 1 + z 2 = - 4 ò dx + C1,
3 y¢2 = 4 yy¢¢ + y 2 .
y¢
= z ( x) ,
y
y¢¢
= z¢ + z 2 .
y
dz
dx
=- ,
4
1+ z2
- 4 z ¢ = z 2 + 1,
x
xö
æ
arctg z = C1 - Þ z = tg ç C1 - ÷ .
4
4ø
è
y¢
xö
xö
æ
æ
= tg ç C1 - ÷ , ln y = 4ln cos ç C1 - ÷ + ln C2 .
y
4ø
4ø
è
è
xö
æ
4
y = C2 cos ç C1 - ÷ .
è
4ø