Эллиптическое движение

1. ЛЕКЦИЯ 7  8. Эллиптическое движение.

ЛЕКЦИЯ 7
8. Эллиптическое движение.
0 < e < 1 и 0 0
AS = a – большая полуось
SB = b – малая полуось, перпендикулярна большой полуоси
S0 = k – фокальное расстояние
1) e=0 – круговая орбита;
2) при e→1
орбита становится параболой.

2.

r
p
1 e cos
(31)
при 0
при 180
Форма и размер орбиты определяются параметрами p и e.
Можно и любыми другими двумя rп, rА, с, f, H, a, b, k
a
p
;
2
1 e
b
r r
a п А;
2
p
1 e2
k a b ;
r r
e A П ;
2a
2
2
2
k
e ;
a
b a 1 e2
b2
p
a
p a(1 e 2 );

3.

rA
1 e
lim
lim
e 1 rП
e 1 1 e
Составим теперь выражения, специфичные для эллиптической
орбиты.
Vr
p
e sin
Vn
p
(1 e cos )

4.

так как
V2
r
p
1 e cos
2
,
r
a
C учетом (31)
(*)
качественный анализ движения:
• скорость полета убывает при удалении КЛА от притягивающего
центра (при изменении ύ от 0 до π) до минимума, а затем
возрастает с уменьшением r.

5.

С учетом
p a(1 e 2 );
Полагая, что
r=a
Vкр
a
- круговая скорость, соответствующая радиусу

6.

Введя обозначения
WП
-
rП
;
WA
rA
круговые скорости в перигее и апогее орбиты, соответственно
Перепишем выражение для квадрата скорости
V2
2
,
r
a
(**)
w
- круговая скорость в рассматриваемой (любой конкретной)
точке орбиты с радиус-вектором r
r

7.

Имеем
• на участке В'ПВ орбиты r < a, то можно отметить, что V > W.
• на участке В'АВ имеем r > a и, следовательно, V < W, так как в (**)
Таким образом, малая полуось ВВ' делит эллиптическую орбиту на
две равные части:
• первая - ВП В' - расположена близко к перицентру и характеризуется
неравенствами: r < a, V > W.
• вторая - ВА В' – расположена ближе к апоцентру и характеризуется
неравенствами: r > a, V < W.

8.

Наклон вектора скорости к горизонту
θл = θА = 0
d (tg )
cos e
e 0,
d
(1 e cos ) 2
или
cos e
отсюда
max θ = arcsin e; min θ = - arcsin e

9.

Определим все через время
p
2
d
0 (1 e cos ) 2 c (t )
c 2 p
d
0 (1 e cos ) 2 32 (t )
p
(1)
t t ( )
от истинной аномалии перейдём к так называемой
эксцентрической аномалии E

10.

Свяжем величины Е и
e
rA rП
2a
b a 1 e2
mk b
m k a

11.

(2)
r a (1 e cos E )
уравнением орбиты, записанное через Е
(3)
r (1 cos ) a (1 e)(1 cos E );
r (1 cos ) a (1 e)(1 cos E );
tg
E
1 e
tg
;
2
2 1 e
Соотношение (4) и есть связь между аномалиями Е и
(4)

12.

найдём связь Е и t
1 e2
1 e cos
,
1 e cos E
(5)
1 e2
d
dE
1 e cos E
(6)
p a (1 e 2 )
E
(1 e cos E )dE
0
E e sin E
a
3 2
n
a
32
a
3 2
(t )
(t )
n(t - τ) = M
E e sin E M
(7)
nT=360º
или
(8)
n=360º/Т

13.

• Действительно, М возрастает пропорционально времени и равно нулю
при t=τ, то есть когда КЛА находится в перицентре (ύ=Е=0).
• При t=τ+1/2Т (в апоцентре) М=180º (ύ=Е=М).
• В конце полного оборота М=360º (ύ=Е=М).
Прямая задача: определить время t, соответствующее любой
заданной точке орбиты (характеризуемой углами Е и ).
Замечание: при вычислении величины Е по (4) следует иметь в виду, что
E
углы 2 и 2 всегда находятся в одной четверти. Кроме того, в
перицентре и апоцентре орбиты ( то есть при , где k – целое
произвольное число) Е =
• При полёте от П к А
• а при полёте от А к П
Обратная задача – определение положения КЛА по заданному
времени t
E e sin E n(t ) M

14.

En M e sin En 1
период обращения Т КЛА
E e sin E n(t ) M
2 e sin 2 nT ,
2
2 3 2
T
a
n
n
(9)
2
- средняя угловая скорость движения ЛА или среднее движение
T
360 2
a3 2
T
2
;
n
n
(9’)