Распределение Максвелла. Практическое занятие

1. Распределение Максвелла

Практическое занятие
2
2
m
m
0
2
2
0
F ( ) f ( )4
exp
4
2 kT
2kT
3

2.

1.(5.49) Найти число молекул водорода в объеме V=1 см3, если
давление Р=200 мм рт. ст., а средняя квадратичная скорость
его молекул при данных условиях < ск>=2,4 103 м/с.
Решение.
Дано
V=1 см3
Р=200 мм рт. ст.,
< ск>=2,4 103 м/с
N=?
N
m
PV
NA
m
RT
( ск ) 2
RT
3
ск
3RT
m
PV
RT
N
3N A PV
( ск ) 2
3 6,02 10 23 26,6 10 3 10 6
18
18
N
4
,
17
10
4
,
2
10
(2,4) 2 10 6 2 10 3
Ответ: N=4,2 1018.

3.

2.(5.50) Плотность некоторого газа =6 10-2 кг/м3, а средняя
квадратичная скорость его молекул < ск>=500 м/с. Найти
давление Р, которое газ оказывает на стенки сосуда.
Решение.
Дано
=6 10-2 кг/м3
< ск>=500 м/с
Р=?
.
m
V
PV
m
ск
RT
2
(
)
RT
ск
3
3RT
m RT
RT
P
V
P
( ск ) 2
3
6 10 2 25 10 4
P
5 10 3 ( Па)
3
Ответ: Р=5 103 Па.

4.

3.(5.56) 1) Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа,
плотность которого при давлении Р=750 мм рт. ст. равна
=8,2 10-2 кг/м3. 2) Чему равна молярная масса этого газа, если значение
плотности дано для температуры t=170С?
Дано
=8,2 10-2 кг/м3
R 8,31 Дж
моль К
Р 750 133
99,75 10 ( Па)
3
Т 17 273 290( К )
Решение.
ск
3RT
m
V
PV
m
RT
RT
PV P
m
3RT
( ск ) 2
,
.
ск ?
?
ск
3P
3 99,75 10 3
3 м
ск
1
,
91
10
( )
2
с
8,2 10
RT
Р
8,31 290 8,2 10 2
3 кг
1
,
98
10
(
)
3
моль
99,75 10
Ответ: 1) < ск>=1,9 103 м/с; 2) M=2 10-3 кг/моль.

5.

2
m0 2
m0
2
F ( )d
exp
4
d
2 kT
2kT
3
f(u)
4
f (u )d
2 u2
ue
du
u
в
dN
f (u )
Ndu
N
f (u ) u
N
1
u

6.

Значения функции f(u)
u
f(u)
u
f(u)
u
f(u)
0
0
0,9
0,81
1,8
0,29
0,1
0,02
1,0
0,83
1,9
0,22
0,2
0,09
1,1
0,82
2,0
0,16
0,3
0,18
1,2
0,78
2,1
0,12
0,4
0,31
1,3
0,71
2,2
0,09
0,5
0,44
1,4
0,63
2,3
0,06
0,6
0,57
1,5
0,54
2,4
0,04
0,7
0,68
1,6
0,46
2,5
0,03
0,8
0,76
1,7
0,36
4
2 u
dN ( u) N f ( u) du
N u e du
2

7.

dN (u ) Nf (u )du
4
2 u 2
Nu e
du
Относительное число молекул, скорости которых лежат в
.
интервале от u1<u< , рассчитанные
по формуле:
N1
N
f ( u) du , приводятся в таблице:
u1
u1
N1/N
u1
N1/N
0
1,000
0,8
0,734
0,2
0,994
1,0
0,572
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057

8.

4.(5.95) Какая часть молекул кислорода (О2) при t=00С обладает модулем
скорости, заключенным в интервале от 1=100 м/с до 2=110 м/с?
Решение.
Дано
,
Т=273К
1=100 м/с до
2=110 м/с
в
2 RT
2 8,31 273
м )
376(
с
32 10 3
1 100
u1
0, 27
в 376
32 10 3 кг моль
,
,
*,
.
N
?
N
u
f(u)
u
f(u)
u
f(u)
0
0
0,9
0,81
1,8
0,29
0,1
0,02
1,0
0,83
1,9
0,22
0,2
0,09
1,1
0,82
2,0
0,16
0,3
0,18
1,2
0,78
2,1
0,12
0,4
0,31
1,3
0,71
2,2
0,09
0,5
0,44
1,4
0,63
2,3
0,06
0,6
0,57
1,5
0,54
2,4
0,04
0,7
0,68
1,6
0,46
2,5
0,03
0,8
0,76
1,7
0,36
u2 0,297( 0,3)
2 1
u
0,027
в
u u
N
f (u ) u
N

9.

N
f (u ) u
N
f(u)
u 0,027
f (u ) 0,18
N
0,18 0,027 0,00486 0,005
N
N
0,5%
N
0,18
0,297
0,3
1
u

10.

5.(5.97) Какая часть молекул водорода (Н2) при t=00С обладает модулем
скорости, заключенным в интервале от 1=2000 м/с до 2=2100 м/с?
Решение. .
в
Дано
2 10 3 кг моль
1=2000 м/с
2=2100 м/с
N
?
N
u
2 8,31 273
1506( м )
3
с
2 10
2000
1,33
в 1506
u 1,33( 1,3)
f (u ) 0,71
u u
u
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
f(u)
0
0,02
0,09
0,18
0,31
0,44
0,57
0,68
0,76
u
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
f(u)
0,81
0,83
0,82
0,78
0,71
0,63
0,54
0,46
0,36
2100 2000
u
0,066
в
1506
N
f (u ) u
N
u
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
f(u)
0,29
0,22
0,16
0,12
0,09
0,06
0,04
0,03

11.

,
u
f(u)
2000
1,33
в 1506
2100 2000
u
0,066
в
1506
f (u ) 0,71
N
f (u ) u 0,71 0,066 0,0469 0,047
N
0,71
1 1,33 1,366
u
Ответ: 4,5 %.

12.

6.(5.99) Какая часть молекул азота (N2), находящегося при температуре Т,
имеет скорости, лежащие в интервале от в до в+ , где =20 м/с?
Задачу решить для: 1) Т=400 К, 2) Т=900 К.
.
,
Дано
28 10 кг
3
=20 м/с
1) Т=400 К
2) Т=900 К
N1
?
N
N 2
?
N
в
моль
1
в
1
в
2
2RT
2 RT
2 8,31 400
487( м )
3
с
28 10
2 8,31 900
м )
731
(
с
28 10 3

13.

,
f(u)
в1
u1
1
в
1
f (1) 0.83
в
u12
1,041
в
u1
в
1
1
20
0,041
487
N1
f (u) u1 0,83 0,041 0,034
N
0,83
u
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1 1,041
f(u)
0
0,02
0,09
0,18
0,31
0,44
0,57
0,68
0,76
u
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
f(u)
0,81
0,83
0,82
0,78
0,71
0,63
0,54
0,46
0,36
u
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
u
f(u)
0,29
0,22
0,16
0,12
0,09
0,06
0,04
0,03

14.

,
f(u)
u2 в 2 1
в 2
в
u22
1,027
в
u 2
2
2
в
0,027
2
N 2
f (u) u 2 0,83 0,027 0,022
N
0,83
u
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
f(u)
0
0,02
0,09
0,18
0,31
0,44
0,57
0,68
0,76
u
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1 1,022
Ответ: 1) N/N=3,4 %; 2) N/N=2,2 %.
f(u)
0,81
0,83
0,82
0,78
0,71
0,63
0,54
0,46
0,36
u
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
u
f(u)
0,29
0,22
0,16
0,12
0,09
0,06
0,04
0,03

15.

7.(5.100) Какая часть молекул азота Nx/N при температуре t=1500С обладает
скоростями, лежащими в интервале от 1=300 м/с до 2=800 м/с?
Ответ: N1/N=87 %; N2/N=17 %; Nx/N=70 %.
2 1 500 м
Дано
t=1500С
1=300 м/с
2=800 м/с?
в
2RT
Nx/N=?
2 8,31 423
м )
498
,
7
499
(
с
28 10 3
u1
u1
0
N1/N
1,000
u1
0,8
N1/N
0,734
0,2
0,994
1,0
0,572
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057
с
1 300
0,60
в 499
2 800
u2
1,60
в 499

16.

f(u)
u1
N1/N
u1
N1/N
0
0,2
1,000
0,994
0,8
1,0
0,734
0,572
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057
1 300
u1
0,60
в 499
N1
f (u )du
N u1
N1
0,868
N
0,6
1
u

17.

f(u)
u1
0
N1/N
1,000
u1
0,8
N1/N
0,734
0,2
0,994
1,0
0,572
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057
2 800
u2
1,60
в 499
N2
f (u )du
N u2
N2
0,213
N
1
1,6
u

18.

f(u)
N x N1 N 2
0,868 0,213 0,655
N
N
N
N1
0,868
N
N2
0,213
N
0,655
1
1,6
Ответ: N1/N=87 %; N2/N=21 %; Nx/N=66 %.
u

19.

8.(5.101) Какая часть общего числа N молекул имеет скорости:
1) больше наиболее вероятной скорости, 2) меньше наиболее вероятной скорости?
Ответ: 1) N1/N=57 %; 2) N2/N=43 %.
Решение.
Дано
в
в
Пусть
.
N1
?
N
N2
?
N
N1
N
- часть молекул, скорости которых
больше
наиболее
вероятной
скорости
Относительная скорость в этом случае
.
По таблице определяем для u=1
u1
0
N1/N
1,000
u1
0,8
N1/N
0,734
0,2
0,994
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057
Тогда часть молекул, скорости которых
меньше наиболее вероятной скорости
u
1
в
N1
0,572
N
N1 N 2
1
N
N
N2
N
1 1 0,428
N
N

20.

f(u)
1
u

21.

9.(5.106) Высотная обсерватория расположена на высоте h=3250 м над уровнем моря.
Найти давление воздуха на этой высоте. Температура воздуха постоянна и равна 50С.
Молярная масса воздуха
=29 10-3 кг/моль. Давление воздуха на уровне моря р=760 мм рт. ст.
Ответ: Р=67,8 кПа.
Дано
h=3250 м
Т=5+273=278(К)).
р0=760 мм рт. ст.
1мм рт. ст.=133Па
=29 10-3 кг/моль
R 8,31 Дж
g 9.8 м
Р=?
моль К
Решение.
P P0 e
gh
RT
Р – атмосферное давление на высоте h;
с2
Р 760 133 е
29 10 3 9,8 3250
8, 31 278
67,8 10 3 ( Па)
Ответ: Р=67,8 кПа.

22.

10.(5.111) На какой высоте плотность газа составляет 50 % от его плотности на
уровне моря? Температура постоянна и равна 00С. Задачу решить для: 1) воздуха,
2) водорода.
Ответ: 1) h=5,5 км; 2) h=80 км.
Дано
0e
R 8,31 Дж
g 9,8 м
Решение.
gh
RT
моль К
PV
m
с2
Т=273К
1 29 10 3 кг моль
2 2 10 3 кг моль
P
RT
P P0 e
gh
RT
RT ln
0
h
g
m
RT RT
V
0e
gh
RT
8,31 273 ln 2
3
h1
5
,
5
10
( м)
3
29 10 9,8
h2
8,31 273 ln 2
3
8,0
10
( м)
3
2 10 9,8