Формула ньютона-лейбница

1.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a,b] и F(x) – любая первообразная этой
функции на [a,b], то определенный интеграл от
функции f(x) на [a,b] равен приращению
первообразной на этом отрезке:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a

2.

Пусть функция F(x) - некоторая первообразная
функции y=f(x). Тогда по теореме 2 предыдущего
параграфа функция
x
Ф( x) f ( x)dx
a
тоже является первообразной для функции y=f(x),
и найдется такое число С, что
F ( x ) Ф( x ) C

3.

Тогда
F (b) F (a) Ф(b) C Ф(a) C
b
a
a
a
Ф(b) Ф(a) f ( x)dx f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
0

4.

Нахождение определенных интегралов с помощью
формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два
этапа:
1
Находится некоторая первообразная F(x)
подынтегральной функции f(x).
2
Находится
приращение
первообразной,
равное искомому интегралу.

5.

1
Вычислить определенный интеграл
1
2
x
dx
0
3 1
1
x
0 x dx 3
2
0
1
1
0
3
3

6.

2
2
2
3 x 5
dx
1
2
2
1
3 x 5
2
2
x
2
1
1
1 8
3x
x
dx
2 dx
8 dx
32 1
32 1
32 ln 8 1
2
1 8
8
7
32 ln 8 ln 8 12 ln 2