Углы, вписанные в окружность

1. Углы, вписанные в окружность

8 класс
Подготовила учитель математики ГБОУ СОШ №476
Фомина Ирина Львовна

2. Разгадайте ребус

π

3. Углы

а
b
α
Часть плоскости,
ограниченная двумя
лучами, выходящими из
одной точки, называется
углом.
360˚-α
Тупой угол
Прямой угол
Развёрнутый угол
Острый угол

4. Центральный угол

• Это угол с вершиной в
центре окружности
А
В
Часть окружности,
заключенная внутри
угла, называется дугой
окружности,
соответствующей углу.
О
Градусная мера дуги АВ равна
градусной мере ‫ ‬АОВ

5. Вписанный угол

С
В
Это угол, вершина которого лежит
на окружности, а стороны
пересекают эту окружность
‫ ‬ВАС вписан в
окружность, он опирается
на дугу ВС
А
Центральный угол, опирающийся
на туже дугу, что и вписанный,
называется соответствующим
центральным углом.

6. Свойство вписанного угла

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
Дано:‫ ‬АВС вписанный
Доказать: ‫ ‬АВС=1/2 дуги АС
Доказательство: рассмотрим три случая расположения углов
1)Одна из сторон ‫ ‬АВС является диаметром
2) Диаметр ВО проходит внутри ‫ ‬АВС
3) Диаметр ВО проходит вне ‫ ‬АВС

7.

2 случай:
1 случай:
3 случай
В
В
В
А
О
А
О
О
А
С
Треугольник АОВ
равнобедренный
(АО=ВО=R)
‫ ‬А=‫ ‬В
‫ ‬А+‫ ‬В=‫ ‬АОС (как
внешнему углу), значит
‫ ‬B=1/2‫ ‬AOC, но
‫ ‬AOC равен дуге AC/
значит ‫ ‬B=1/2дуги AC
D
С
С
D
Проведем диаметр ВD
‫ ‬СВО соответствует ‫ ‬DОС =>
‫ ‬СВО=1/2 дугиDС (по 1
случаю)
Докажите
самостоятельно
Аналогично ‫ ‬DВА=1/2 дуги DA
‫ ‬АВС= ‫ ‬СВО+ ‫ ‬ОВА=1/2(дугиDС+ дугиDА)=1/2 дугиАС
=> ‫ ‬АВС=1/2дугиАС

8.

1)Найдите, чему равен ‫ ‬АВС, если АС – диаметр.
В
А
‫ ‬АВС вписанный, ‫ ‬АОС – соответствующий
центральный
С
О
‫ ‬АВС=1/2 дугиАDС
D
‫ ‬АOС=180˚=> дуга ADC=180˚, тогда ‫ ‬АВС =90˚
Сделайте вывод
2)Сравните углы, изображенные на чертеже
‫ ‬1,2,3,4,5 – вписанные,
опирающиеся на одну и туже дугу
3 4
2
5
1
А
Сделайте вывод
Все эти углы равны 1/2 дуги AB,
тогда они равны между собой.
В

9. Найдите градусную меру угла АВС

В
1)
А
D
40˚
O
C
Углы АВС и ADC вписаны в
окружность и опираются на общую
дугу АС
По следствию из теоремы
‫ ‬ABC=‫ ‬ADC=40˚

10. Найдите градусную меру угла АВС

B
‫ ‬ABC вписанный, ‫ ‬АОС
соответствующий центральный
2)
O
A
120˚
C
По теореме
‫ ‬АВС=1/2дугиАС=1/2· ‫ ‬AOC=1/2∙120˚=60˚

11. Найдите градусную меру угла АВС

4)
< AOC = 60˚, значит
B
C
A
600
дуга АВС = 60˚ тогда
дуга АDС = 360˚-60˚=300˚
O
< АВС = ½ ∙ дуги АDС= ½· 300˚=150˚
D
< АВС вписанный, опирается на
дугу ADC тогда

12.

Домашнее задание
§ 2, п. 71, конспект;
№ 653; №654