Нормальные напряжения при изгибе

1.

Нормальные напряжения при изгибе
В теории плоского изгиба, для упрощения решения задачи определения
нормальных напряжений, на основании натурных испытаний, приняты
следующие допущения:
•При изгибе продольные сечения балки искривляются по дуге окружности;
•Поперечные сечения плоские до изгиба, остаются плоскими и после изгиба;
•Поперечные сечения пересекаются с продольными волокнами под прямым
углом.
Задача определения нормальных напряжений при изгибе является
статически неопределимой и для ее решения необходимо рассмотреть три
стороны задачи
Статическая (ССЗ)
Геометрическая (ГСЗ)
Физическая (ФСЗ)
Синтез

2. Статическая сторона задачи

2 участок
1 участок
l
а
z1
RB
z2
m F F a l R l Fa 0
mB Fк F (a l ) R Al B Fa 0
a
RA
F
Опорные реакции
3 участок
A
к
B
F a l Fa
F a l Fa
F RB
F
l
F
l
Проверка Fкy F R A RB F F F F F 0
RA
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
1 участок 0 ≤ z1 ≥ a
z3
Q1 F
M 1 F z1 При z1=0, М1(0)=0
При z1=а, М1(а)=F·a
2 участок a ≤ z2 ≥ (a+l) Q2 F R A F F 0
M 2 F z 2 F z 2 a При z2=а, М2(а)=F·a
Эпюра поперечных сил
F
При z2=а+l, М2(а+l)=F·(a+l) -F(a+l-a)=Fa
Эпюра изгибающих моментов
Ч
Fa
Fa
F
3 участок (a+l) ≤ z3 ≥ (2a+l)
Q3 F R A RB F F F F
M 3 F z3 F z3 a F z3 a l
При z3=а+l, М3(а+l)=F·(a+l) -F(a+l-a)=Fa
При z3=2а+l, М2(2а+l)=F·(2a+l) -F(2a+l-a)=0

3. Статическая сторона задачи

Если к балке приложен положительный изгибающий момент, то в этом случае, верхние
ее волокна укорачиваются, а нижние удлиняются. Длина нейтрального волокна
остается неизменной.
Нейтральный слой
RB
F
y
RA
F
y
Нейтральный линия
z
Совокупность волокон, не меняющих своей
длины при изгибе балки, называется
нейтральным слоем.
Линия, по которой поперечное сечение
балки пересекается с нейтральным слоем
балки, называется нейтральной линией
сечения.
Q y dA 0
A
M x y dA 0
A
x
dA
x
Нейтральный слой
Мx
M y x dA 0
A

4. Геометрическая сторона задачи

Длина отрезка на нейтральном слое
Центр
изгиба
a0 b0 dz
Длина отрезка на слое удаленном от нейтрального
на расстояние y
a1b1 y
Удлинение отрезка после деформации
ab a1b1 a0 b0 y y
Относительная деформация
dz
F
a0
a1
b0
b1
F
y
a1b1 a0 b0 y
a0 b0

5. Физическая сторона задачи

При чистом изгибе в поперечных сечениях балки действуют единственный силовой
фактор изгибающий момент, поперечные силы отсутствуют, а следовательно
отсутствуют и касательные напряжения.
Под действием нормальных напряжений часть волокон балки удлиняется, другая
часть укорачивается и для них можно записать закон Гука при растяжении
a1b1 a0 b0 y
a0 b0
с
y
x
р
Нейтральная линия
E
E
y

6. Синтез

y
2
Синтез
dA I x
M x ydA
A
Осевой момент
инерции
ССЗ
ГСЗ
ФСЗ
A
A
E 2
E
y dA
M x y dA 0
A
a b a b
y
11 0 0
a0 b0
E
y
E
1
Ey
y 2 dA
A
E
Mx Ix
M x EI x
Ey
Mx
Ix y
Нормальные напряжения при изгибе
Величина момента инерции характеризует влияние размеров и формы поперечного
сечения балки на ее способность сопротивляться деформации (искривлению).