Скалярное произведение в координатах

1. Скалярное произведение в координатах

Подготовила:
учитель математики
МОУ сош №30 имени А.И.Колдунова
Кутоманова Е.М.
2010-2011 учебный год

2. Теорема

В прямоугольной системе координат
скалярное произведение векторов
а х1 ; у1 , в х2 ; у2
выражается формулой
а в х1 х2 у1 у2 .

3.

Дано : а х1 ; у1 , в х2 ; у2
В
в
О
а
Доказать : а в х1 х2 у1 у2 .
Доказательство.
По теореме косинусов:
АВ²=АО²+ВО²-2АО·ВО·соsα.
А АВ = в а
ОА = а
ОВ = в
2 2 2 1 2 2 2
а в а в 2а в , _ а в а в а в .
2

4.

2
2
2
2
а
х1 у1 , в
х 22 у 22 ,
2
в а
( х 2 х1 ) 2 ( у 2 у1 ) 2
х 22 2 х 2 х1 х12 у 22 2 у 2 у1 у12 ,
1 2
а в х1 у12 х 22 у 22 х12 2 х1 х 2 х 22 у12 2 у1 у 2 у 22
2
2 х1 х 2 2 у1 у 2
х1 х 2 у1 у 2 .
2
Теорема доказана.

5. №1044(а)

а в х1 х2 у1 у2
№1044(а)
Дано:
1
а ; 1 , в 2;3
4
Найти: а в
Решение.
а в х1 х2 у1 у2 .
1
а в 2 1 3 0,5 3 2,5.
4
Ответ: -2,5.

6. Следствие 1. Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

№1047(а)
Дано : а в
а 4;4 , в х; 6
Найти : х
Решение.
а в х1 х2 у1 у 2 ,
а в 4х 5 6
4 х 30,
4 х 30 0,
х 7,5.
Ответ : 7,5

7. Следствие 2. Косинус угла между векторами выражается формулой

a b
соs .
a b
№1. Дано :
а 1;1 , в 3;4
Найти :
Решение.
a b
соs , а в 1 3 1 4 7,
a b
а 1 1 2 , в 9 16 25 5,
соs
7
5 2
.

8. Свойства скалярного произведения векторов

Для векторов а , в , с и любогочисла к справедливы соотношения :
2
2
1. а 0, причём а 0 при а 0.
2. а в в а переместительный закон .
3. а в с а с в с распределительный закон .
4. ка в к а в сочетательный закон .
№1054
Дано :
ˆ ˆ
ав в с 60 ,
а 1, в с 2,
Найти : (а в ) с
Решение.
(а в ) с ас в с ,
ас а с соs60 1 2 0,5 1,
в с в с соs60 2 2 0,5 2,
а в с 1 2 3.