Координаты векторов. Скалярное произведение векторов

1.

15.10.2021г.
Координаты вектора в
пространстве.
Скалярное произведение
векторов.

2.

Любой вектор можно разложить по
координатным векторам, т. е.
представить в виде
причем коэффициенты разложения х,
у, z определяются единственным
образом.

3.

Коэффициенты х, у и z в
разложении вектора по
координатным векторам
называются координатами
вектора в данной системе
координат.

4.

Операции над векторами,
заданные координатами

5.

Сумма векторов
Если a {х1, у1, z1} и b{х2, у2, z2} —
данные векторы, то вектор
a b имеет координаты
{х1+х2, у1 + у2, z1 + z2}.

6.

Разность векторов
Если a {х1, у1, z1} и b{х2, у2, z2} —
данные векторы, то вектор
a b имеет координаты
{х2- х1, у2 – у1, z2 – z1}.

7.

Умножение вектора на число α
если a {х; у; х} — данный вектор,
α — данное число, то вектор
α a имеет координаты
{αх; αу; αz).

8.

Угол между векторами.
b
ОА а
ab
а
Если а b, то
аb 0
0
Если а b то ab 180
А
α
О
ОВ b
В
0
Если а b то ab 90
0

9.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин на
косинус угла между ними.
а
b
a b a b cos

10.

a b a b cos
a b = 0
Если
Если
тогда и только тогда, когда
a b
- острый угол
a b 0 , то - тупой угол
a b 0
, то

11.

Скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины.
2
a a
2

12.

Свойства
a b b a
( a b) c a c b c
k ( a b) k a k b

13.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
Пусть векторы заданы координатами
а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y 2 ; z 2
Скалярное произведение двух векторов
равно сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2

14.

Косинус угла между ненулевыми
векторами
соs
а x1 ; y1 ; z1
cosα =
a b
| a | |b |
b x2 ; y 2 ; z 2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2
x +y +z x +y +z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

15.

Угол между прямыми
а
р
q
b
р
q
cos =
р
- направляющий вектор прямой а
q
- направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
p x1 ; y1 ; z1
q x2 ; y2 ; z2
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z 22

16.

Пример
№ 464(б)
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если
A(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;-7;-9)
Решение
AB 1;0; 1
cos =
СD 0; 2;2
| 1 0 0 ( 2) ( 1) 2 |
12 0 2 ( 1) 2 0 2 ( 2) 2 2 2
1
cos
2
60
0

17.

Выводы
•Любой точке пространства можно поставить в соответствие три
координаты в заданной системе координат.
•Любые три числа определяют вектор ОА.
•Над векторами , заданными координатами, в пространстве
можно проводить операции сложения, вычитания и умножения
на число
•Скалярное произведение векторов есть число.
•Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда они перпендикулярные.
•Скалярное произведение векторов позволяет найти длину
вектора и угол между векторами, заданными координатами.

18.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ