Методи розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

1. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

2. НАВЧАЛЬНА МЕТА:

Формування умінь розв’язувати найпростіші
тригонометричні нерівності:
sin t a
sin t a
cos t a
cos t a
sin t a
sin t a
cos t a
cos t a
tgt a
tgt a
ctgt a
ctgt a
tgt a
tgt a
ctgt a
ctgt a
2

3.

Нерівність називається тригонометричною,
якщо вона містить змінну тільки під знаком
тригонометричної функції.
3

4. ПРИКЛАДИ

4

5.

Приклад 1
Розв’язати
нерівність:
1. Будуємо одиничне тригонометричне коло
2. Будуємо пряму y
1
2
3. Знаходимо на одиничному колі точки,
1
значення ординат яких не менші
4. Відомо, що: sin
2
5 1
sin
6
6 2
y
5. Отже, розв’язком нерівності
будуть усі значення t із проміжку
5
6 ; 6
6. Враховуючи періодичність
функції
Відповідь:
1С
В
А
1
2
-1
5
6 2 n; 6 2 n , n
0
5
6
6
y
1
1
2
x
-1
5

6.

Приклад 2
Розв’язати
нерівність:
1. Будуємо одиничне тригонометричне коло
2. Будуємо пряму
y
2
2
3. Знаходимо на одиничному колі точки,
значення ординат яких не більші 2
2
4. Відомо, що: sin 3 sin 2
4
y
5. Отже, розв’язком нерівності
будуть усі значення t із проміжку
3
4
2
1
4 ; 4
6. Враховуючи періодичність
функції
3
2
n
;
2
n
,n
4
4
Відповідь
0
-1
В
3
4
2
2
1
x
4
А
y
2
2
-1 С
6

7.

Приклад 3
Розв’язати
нерівність:
1. Будуємо одиничне тригонометричне коло
2. Будуємо пряму x
1
2
3. Знаходимо на одиничному колі точки,
1
абсциси яких більші за
4. Відомо, що: cos
2
1
cos
3
3 2
y
5. Отже, розв’язком нерівності
будуть усі значення t із проміжку
1
;
3 3
6. Враховуючи періодичність
функції
Відповідь:
А
3
-1
2
n
;
2
n
, n
3
3
0
-1
1
2
С
1
x
3
В
x
1
2
7

8.

Приклад 4
Розв’язати
нерівність:
1. Будуємо одиничне тригонометричне коло
2. Будуємо пряму x
3
2
3. Знаходимо на одиничному колі точки,
абсциси яких менші за 3
2
4. Відомо, що: cos
5
7
3
cos
6
6
2
y
5. Отже, розв’язком нерівності
будуть усі значення t із проміжку
А
5 7
;
6 6
6. Враховуючи періодичність
функції
1
5
6
С
-1
3
2
Відповідь:
7
5
В
2
n
;
2
n
,
n
6
6
3
x
2
7
6
0
1
x
-1
8

9.

Приклад 5
Розв’язати
нерівність:
1. Будуємо одиничне тригонометричне коло
2. Будуємо лінію тангенсів: пряму
x 1
3. Відмічаємо на ній точку з ординатою 1
4. На промені АТ лежать точки, ординати
яких менші за 1. Їм відповідають такі точки
на колі:
y
5. Враховуючи, що тангенс існує
на
n; n
2
2
1
А(1;1)
Відповідь:
4
n
;
n
,n
4
2
-1
0
-1
2
1
x
Т
9

10.

Приклад 6
Розв’язати
нерівність:
1. Будуємо одиничне тригонометричне коло
2. Будуємо лінію котангенсів: пряму y 1
1
3
4. На промені АТ лежать точки, абсциси яких
більші за 1 Їм відповідають точки на колі:
3
y
3. Відмічаємо на ній точку з абсцисою
5. Враховуючи, що котангенс
існує на
n; n
А(
1
;1)
3
2
3
Відповідь:
2
n
;
n
,n
3
Т
1
-1
0
1
x
-1
10