Похожие презентации:
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
1.
Розв’язуваннянайпростіших
тригонометричних
рівнянь.
2.
Обчисліть і запишіть в зошитрезультати:
1
3
1.arcsin
5.arcsin (– )
2
2
2. arccos
2
2
3. arctg 3
4. arctg (
Звірте
відповіді:
3
-3
6. arccos (-1)
3
2
7. arcсоs(
)
)
3.
До найпростіших тригонометричних рівняньналежать рівняння виду:
sin x a
cos x a
tgx a
ctgx a
4.
sinx=aРозв’яжемо рівняння
за допомогою графічного способу.
Для цього нам потрібно знайти
абсцисси
y = sinx
y
1
і прямої
y = a.
2
точок
a
перетину синусоїди
y = a, a>1
1
2
3
2
3
2
2
0
−1
a
2
y = a, a<–1
I випадок: a [–1;1]
В цьому випадку пряма y = a не перетинає графік
функції y= sinx . Отже, точок перетину немає.
Тому рівняння коренів не має.
2
x
5.
II випадок: a [–1;1]Очевидно, що в цьому випадку точок перетину безліч,
причому їх абсцисси визначаються наступним чином:
1) Розглянемо точку, абсциса якої належить проміжку 2 ; 2
2) Абсциса цієї точки – це число(кут), синус якого дорівнює
a,
.
тобто значення цього числа дорівнює arcsina.
2
3
2
arcsin a arcsin a
2
2
1
a
y
3
2
2
0
arcsin a arcsin a
2
x
2
−1
3) Абсциса другої точки належить відрізку [– ; ] і дорівнює
( –arcsina). Щоб це пояснити достатньо пригадати, що sinx = sin( –x).
4) Всі інші абсцисси точок перетину отримуємо враховуючи
періодичність функції y = sinx (Т=2 n, де n Z).
Завдання: назвіть абсциси двох
Відповідь: (arcsina+2π) і
наступних точок перетину справа.
(3π – arcsina).
6.
2Отже, всі корені в цьому випадку можна записати у вигляді
сукупності:
sin x a
arcsin a ·2n, n Z;;
x
arcsin a · 2k 1 , k Z/.
y
1
3
2
arcsin a arcsin a
2
2
3
2
a
2
0
arcsin a arcsin a
2
−1
Або, ці два записи об’єднують в одну формулу
(подумайте, як це пояснити):
x 1 arcsin a m, m Z..
m
2
x
7.
III випадок: a = –1; a = 0 або a = 1.Ці три значення – особливі ! Для них загальна формула коренів, отримана нами
попереду, не підходить. Спробуйте самостійно записати розв ’язки рівняння
для кожного випадку
sinx=a
y
y=1
1
2
3
2
sin x 1 x
y=0
2
3
2
0
x
2
−1
2 n, n Z..
2
sin x 0 x t, t Z..
sin x 1 x
2
2 r, r Z..
2
y= –1
Запам’ятайте ці
частинні випадки
розв ’язків
рівняння
sinx =а
8.
Розв’яжемо рівняння cosx=a теж за допомогою графічного способу. Дляцього нам потрібно знайти абсцисси точок перетину косинусоїди
y = cosx
та прямої
y = a.
y
y=a, a>1
a
1
2
3
2
3
2
2
0
2
−1
a
y=a, a< –1
I випадок: a [–1;1]
Очевидно, що в цьому випадку точок перетину немає.
Тому рівняння коренів не має.
2
x
9.
II випадок: a [–1;1]Очевидно, що в цьому випадку точок перетину безліч, причому їх
абсцисси визначаються наступним чином:
1) Розглянемо точку, абсциса якої належить проміжку 0;
.
2) Абсциса цієї точки – це число(кут), косинус якого дорівнює
a,
тобто значення цього числа дорівнює arccosa.
1
2
arccos a 2 3
2
y
3
2
2
arccos a
0 arccos a
2
2
arccos a 2
x
−
1 проміжку [– ; 0], дорівнює –
3) Абсциса другої точки, яка належить
arccosa. Щоб це пояснити достатньо пригадати, що cosx = cos(–x).
4) Всі інші абсцисси точок перетину отримуємо враховуючи
періодичність функції y = cosx (додаємо числа виду 2 n, де n Z )
.
10.
Таким чином, всі корені в цьому випадку можна записати у виглядісукупності:
cos x a
arccos a 2 n, n Z;;
x
arccos a 2 k , k Z/.
1
2
arccos a 2 3
2
y
Масштаб :3
3
2
2
arccos a
0 arccos a
2
arccos a 2
−
1
Досить часто ці два записи об’єднують в один:
x arccos a 2 m, m Z/.
2
x
11.
III випадок :a = –1; a = 0 або a = 1.
Самостійно запишіть розв ’язки рівняння cosx =a
y
кожного випадку
1
2
3
2
y =1
2
y=0
0
для
3
2
2
2
−1
cos x 1 x 2 n, n Z..
cos x 0 x t, t Z..
2
cos x 1 x 2 r, r Z..
y = –1
Запам’ятайте ці
частинні випадки
розв ’язків рівняння
cosx =a
x
12.
2Розв ’язки рівняння
tgx = a
дослідіть самостійно :
y
a
arc tga 2
3
2
2 4
arctga
1
2
0
arctga
−
1
4
x a rc tga n, n Z/.
3
2
arctga
x
2
13.
Розв ’язки рівняннясtgx = a
дослідіть самостійно :
y
a
2
arc ctga 2
3
2
arcctga
1
4
2
0
arcctga
2
3
4
3
2
arcctga
−
1
x a rc ctga n, n Z/.
x
2
14.
Розв’язання будь-яких тригонометричних рівняньзводиться до розв’язання найпростіших тригонометричних
рівнянь, які ми розглянули вище. Для цього застосовуються
відомі Вам тотожні перетворення, різні тригонометричні
формули, різні способи розв’язування алгебраїчних рівнянь,
формули скороченого множення и т.п.
Отже, запам’ятайте :
sin x a x 1 arcsin a k , k Z
k
cos x a x arccos a 2 n , n Z
tgx a x arctga p, p Z
ctgx a x arcctga l, l Z
a [–1;1]
a R
15. Пригадаємо означення синуса і косинуса кута повороту:
2sint
y
1
t
0
0
sint - ордината точки
повороту
t ;+
cost
1
x
cost - абсциса точки
повороту
16.
Розв’яжемо рівнянняsint = a
за допомогою
тригонометричного кола:
–1
y
2
a >1
1
0
–1
3
2
2
a<–1
I випадок:
Якщо a [–1;1], то
рівняння sint = a не
має коренів.
0 x
1
17.
II випадок: Якщо a (–1;1),то рівняння sint=a має два
корені на проміжку [0; 2 ],
який дорівнює періоду
функції синус.
y
2
1
a
t = –arcsina
–1
0
Отримані точки симетричні
відносно осі Оу. Значення
одніє з них відповідає числу
arcsina, а друга точка має
значення…? (визначте по
t = arcsinaмалюнку).
0 x
1 2
–1
3
2
2
arcsin a;
Отже, для t [0; 2 ] ми отримали два кореня: t arcsin a .
18.
Враховуючи періодичність функції y = sinx (Т=2 n, де n Z),кожну з цих точок можна отримати при додаванні цілого числа повних
обертів, тобто:
t
sin t = a
arcsin a 2 k ;
k ,m Z ,
arcsin a 2 m;
Можна помітити, що у випадку, коли перед arcsina стоїть знак «+» до нього
додається парне(2k) число , а коли стоїть знак «–» додається непарне(2m+1)
число . Тому ці дві рівності можна об’єднати в одну формулу :
t 1 ·arcsin a n, n Z..
n
Ця формула дозволяє знайти корені найпростішого
тригонометричного рівняння sint = a у випадках, коли a (–1;1).
19.
Частинні випадки. Якщо a = –1; a = 0 або a = 1.y
2
1
sint =1
t
2
2 r , r Z
sint =0
t h, h Z
–1
0 x
1 2
0
sint = -1
–1
2
t
2
2 d , d Z
20.
Розв’яжемо рівнянняcos t = a за
допомогою
тригонометричного
кола
a <–1
–1
2
a [–1;1],
то рівняння cos t = a
I випадок: Якщо
y
не має коренів.
1
1
0
–1
3
2
2
0 x
a >1
21.
II випадок:a (–1;1), то рівняння
cos t = a має два корені
Якщо
y
2
на проміжку [0; 2 ], який
дорівнює періоду функції
косинус.
1
Отримані точки симетричні
відносно осі Оx. Значення
одніє з них відповідає числу
arccosa, а друга точка має
значення…?
t=arccosa
a
–1
0
0x
1 2
t= –arccosa
–1
3
2
2
arc co s a;
t
Отже, для t [0; 2 ] ми отримали два кореня:
arc co s a .
22.
Враховуючи періодичність функції y = сos x (Т=2 n, де n Z),кожну з цих точок можна отримати при додаванні цілого числа повних
обертів, тобто:
cost = a
arc co s a 2 k ;
t
k ,m Z ,
arc co s a 2 m;
Ці записи відрізняються тільки знаками перед arccosa. Тому ці дві
рівності можна об’єднати в одну формулу :
t arc co s a 2 n, n Z..
Ця формула дозволяє знайти корені найпростішого
тригонометричного рівняння cost = a у випадках, коли
a (–1;1).
23.
Частинні випадки. Якщо a = –1; a = 0 або a = 1.y
2
–1
cost = 1
1
t 2 r, r Z
0 x
1 2
0
cost = -1
t 2 d , d Z
cost = 0
t
–1
2
2
h, h Z
24.
Рівнянняtg t = a завжди
має безліч коренів
Коренями рівняння tg t = a є
числа (величини кутів повороту у
радіанній мірі), які потрапляють у
дві точки тригонометричного кола,
з відповідними
значеннями(подумайте якими?):
лінія
тангенсів
y
2
1
–1
t=arctga+π
t =arctga
0
–1
Всі корені рівняння tg t = a записують у вигляді:
t arc tga n, n Z..
a
2
10
x
25.
y0
Рівняння сtg t = a
завжди має безліч
коренів
a
2
лінія
котангенсів
1
t=arcctga
–1
0
1
x
t=arcctga+π
–1
2
Всі корені рівняння сtg t = a записують у вигляді:
t arc ctga n, n Z..
26. Формули коренів найпростіших тригонометричних рівнянь
1. cost = а, де |а|≤ 1t
t
або
Частинні випадки
1)
cost=0
t = π/2+πn‚ nєZ
2)
cost=1
t = 0+2πn‚ nєZ
3)
cost = -1
t = π+2πn‚ nєZ
2. sint = а, де |а| ≤ 1
або
3. tgt = а, аєR
t = arctg а + πk‚ kєZ
Частинні випадки
1) sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аєR
t = arcctg а + πk‚ kєZ
27.
cos x ax arccos a 2 m, m Z/.
sin x a
x 1 arcsin a m, m Z..
m
28.
ctg t = at arc ctga n, n Z..
sin x 1 x
2
2 n, n Z..
29.
30.
31.
Твій настрій:Домашнє завдання:
Підручник Є.П. Нелін
Алгебра і початки аналізу
10 клас
Сторінка 334
№ 1, 2, 3, 4.
САМООЦІНКА:
ОЦІНКА ВЧИТЕЛЯ: