Числові послідовності

1.

Числові послідовності
“Вивчення математики подібне до Нілу,
що починається невеликим струмком, а
закінчується великою річкою”
Ч. К. Колтон

2.

Числова послідовність задана, якщо будь –
якому натуральному п поставлено у
відповідність деяке число
Числова послідовність ( an ), кожен член якої,
починаючи з другого, дорівнює
попередньому, до якого додане одне й те саме
число, називається арифметичною
прогресією.
Це число позначається буквою d і називається
різницею арифметичної прогресії
Формула п- го члена арифметичної
прогресії
a a d (n 1), n N
n
1

3.

Послідовність ( a)n є арифметичною прогресією тоді і
тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого,
дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним
членів:
an 1 an 1
an
, n 2; n N
2
Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії ,
рівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніх
членів.
Формула суми перших п членів арифметичної
прогресії:
a1 an
2a1 d (n 1)
Sn
n; S n
n, n N
2
2

4.

Геометричною прогресією називається
послідовність, кожний член якої, починаючи з
другого, дорівнює попередньому члену,
помноженому на одне й те саме число.
Це стале для даної послідовності число q
називають знаменником геометричної прогресії;
(bn )
— геометрична прогресія,
b2 b1q; b b2 q3 ;...; bn bn 1q
У геометричній прогресії перший член і
знаменник відмінні від нуля.
bn
q
bn 1

5.

Геометрична прогресія називається
зростаючою чи спадною в залежності від
того, зростає чи спадає абсолютна величина
У будь-якій геометричній прогресії квадрат
кожного члена, починаючи з другого,
дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.
bn2 bn 1 bn 1
Зауваження.
Правильне і обернене твердження: якщо в
послідовності квадрат кожного члена,
починаючи з другого, дорівнює добутку двох
сусідніх з ним членів, то ця послідовність —
геометрична прогресія.

6.

Знаючи перший член b1 та знаменник (q) геометричної
прогресії, можна знайти будь-який член (bn ), суму (Sп) п перших її членів за допомогою формул:
bn b1 q
n 1
b1 (q 1)
Sn
, q 1
q 1
bn q b1
Sn
, q 1
q 1
n

7.

Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію,
продовжується необмежено, то прогресія називається
нескінченною.
q 1.
(bn ) b1; b2 ; b3 ;...; bn — геометрична прогресія, .
сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
b1
S
1 q

8.

1. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний
періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).
66
66
66
...
100 10000 1000000
66
66
1
b1
66 2
2
100
b1
;q
.( q 1), S
.S
. 0, (66)
1
100
100
1 q
99 3
3
1
1000

9.

Самостійна робота базового рівня
1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:
І 3 ; 8; 13;…
ІІ 3; 7; 11;…
2.
Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:
І 2; 5; 8;…
ІІ 3; 5; 7; …
3.
Укажіть знаменник геометричної прогресії :
І 8; 4; 2;…
ІІ 10; 2; 0,4; …
4.
Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:
І b1 2; q
1
2
ІІ b1 9; q
1
3
Чи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … число
І -160
ІІ -153
6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :
5.
І
bn 384, q 2, n 8
ІІ
bn 486, q 3, n 6