Matematica testul rezolvat profil real

1. Sesiunea BAC 2016

Matematica,profil real
14 iunie 2016

2. Item 1

• Scrieți în casetă unul din semnele “<” , ”>” sau
“=” pentru a obține o propozițe adevărată
3
8
27
>
3
4
Am scris semnul “> “ deoarece
3
8
8
2
1) 3
3
27
3
27
2
8
3
9
2) ;
3
12
4
12
8
9
2
3
8
3
3)
3
12
12
3
4
27
4

3. Item 2

A 14
Funcția pară are graficul simetric față
de axa oY,prin urmare putem spune
că domeniul (aria căruia trebuie s-o
aflăm) este alcătuit din 2 domenii de
arii egale

4. Item 3

50
1) OA=OB=R,prin urmare tr-ghiul OAB – isoscel,deci
m( OBA)
180 100
40
2
2) Raza OB e perpendiculară pe tangenta BC,prin urmare
m( OBC ) 90
3) Putem afla măsura unghiului ABC – diferența măsurilor
unghiurilor de mai sus(OBC și OBA)
90 40 50

5. Item 4

1) 2i 3 2 i 2 i 2 ( 1) i 2i (e cunoscut faptul ca i 2 -1)
2
2
2
2
2
x yi x 2 2 xyi yi
2 ) ( 2 i) 2 2 2 i i 4 4i-1 3 4i
x 2 2 xyi y
3 ) z -2i 3 4i-5 - 2 2i
4 ) Re z -2; Im z 2 Re z Im z 2 2 0
Raspuns : 0

6. Item 5

Vom scrie atît partea stîngă a ecuației cît și
partea dreaptă ca puteri ale numărului 2
P.stinga 4
3 x 6
2
2 3 x 6
2 2( 3 x 6 ) 2 6 x 12
P.dreapta 2 x 8 2 x 2 3 2 x 3
a p a s a p s
a
p s
a p s

7. Continuare item 5

• Ecuația noastră(exponențială) se reduce la o
ecuație de gradul I. Urmărim rezolvarea
a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
4 3 x 6 2 x 8 2 6 x 12 2 x 3 6 x 12 x 3
6 x x 3 12 5 x 15 x 3
Raspuns : S 3

8. Item 6

• Calculăm determinantul,d aplicăm regula triunghiului
1 2 1
d 2
5
2
4
1 1 * 2 * 3 5 * ( 2) * 1 ( 1) * 2 * 4 1 * 2 * 5 3 * ( 2) * 2 ( 1) * 1 * 4
3
6 10 8 10 12 4 24 ( 26) 24 26 2
Prin urmare,
inecuația se scrie:
x 2 2

9. Continuare item 6

x 2 22
x 6
x 2 2
x 2;6
x 2
x 2 0
Raspuns : S 2;6
pentru a 0
f ( x) a 2
f ( x) a
f ( x) 0

10. Item 7

Considerăm înălțimea triunghiului - MP
Conform Teoremei Fundamentale a Asemănării
triunghiurile BMC și AMD sunt ASEMENEA. Notăm pentru
comoditate MB=MC=x,respectiv MA=MD=x+2
M
BMC AMD
B
A
C
P
D
Inlocuim :
BM
CM
BC
AM
DM AD
x
x
5
6 x 5( x 2) x 10
x 2 x 2 6
Am obținut:
MC=MB=10
MD=MA=12

11. Continuare item 7

• Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul
dreptunghic MPD(dreptunghic în P)
MP 2 MD 2 PD 2 MP MD 2 PD 2
MD 12
MP 12 2 3 2
PD 3
12 3 12 3
9 15 9 15 3 15
Raspuns : 3 15 cm
a 2 b 2 (a b)(a b)

12. Item 8

1 d (bx c)
a
a
b
Voi folosi următorul rezultat
bx c dx a bx c b ln bx c C
În cazul nostru
4
4
dx
4 x 1 4 ln 4 x 1 C ln 4 x 1 C

13. Continuare item 8

1
1
4
2
0 4 x 1 6 x 1 dx ln 4 x 1 0 3x
ln 5 3 1 ln 5 2 ln 5 ln e 2 0
1
0
1
x ln 5 ln 1 3 12 0 2 1 0
0
pentru a R avem a ln e a
Se cunoaște faptul că numărul e=2,7……Prin urmare e2>5 și ln 5 ln e 2 0
Se va scrie semnul “<“

14. Item 9

• Vom nota evenimentul prin A.Aplicăm definiția
clasică a probabilității P( A) m
n
Aflarea numărului total (n) de cazuri se face relativ ușor,deoarece avem de
ales 8 din 12(combinări din 12 luate cîte 8)
12!
8! 9 10 11 12 9 10 11 12 9 10 11
n C
9 5 11 495
8! 12 8 !
8! 4!
1 2 3 4
2
8
12

15. Continuare item 9

• Pentru aflarea numărului de cazuri favorabile(m)
judecăm astfel:
Printre cele 4 persoane ce NU vor pleca în concediu trebuie să fie cel
puțin cîte un specialist de fiecare profil,adică putem avea :
2
1
1
C
C
C
5
4
3
1) 2 progr. + 1 ing + 1 tester
C 51 C 42 C 31
sau 2) 1 progr. + 2 ing + 1 tester
C 51 C 41 C 32
sau 3) 1 progr. + 1 ing + 2 testeri

16. Finisare item 9

• Aplicăm regulile combinatoricii,aflăm m
m C 52 C 41 C 31 C 51 C 42 C 31 C 51 C 41 C 32 10 4 3 5 6 3 5 4 3
120 90 60 270
Calculăm probabilitatea cerută:
m 270 54 6
P( A)
n 495 99 11
6
Raspuns :
11
C nm
n!
m!(n m)!
n! n (n 1) (n 2) ... 3 2 1
n! (n m )!(n m 1) (n m 2) ... (n 1) n

17. Item 10

A1
B1
C1
A
B
Notăm prisma ABCA1B1C1. Baza – triunghiul dreptunghic în
C ,cateta AC=8.Notăm raza cercului înscris bazei prin r.
Înălțimea prismei BB1=AA1=CC1= r =3 cm
AC BC AB 8 BC AB
8 BC AB
r
. Dar r 3
3
2
2
2
De unde 8 BC AB 6 AB BC 2
C
AB BC 2
r
cat1 cat 2 ipot
2

18. Continuare Item 10

• Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul de
la bază: AB 2 BC 2 AC 2 AB 2 BC 2 8 2
2
Dar AB BC 2 BC 2 BC 2 64
BC 2 4 BC 4 BC 2 64 4 BC 60
BC 15
1
1
BC AC 15 8 60
2
2
Volumul prismei V Ab h 60 3 180
Aria bazei:
Ab
Raspuns : 180 cm
3

19. Item 11

• Dacă considerăm cercul trigonometric,unghiul dat aparține
cadranului III,în care sinusul și cosinusul primesc valori
negative,iar tangenta și cotangenta – pozitive.Pentru
calcularea valorii expresiei vom utiliza formulele:
2
3
4
sin 2 cos 2 1 sin 1 cos 2 1
5
5
3 4 24
sin( 2 ) 2 sin cos 2
5 5 25
3
sin 5 3
tg
cos 4
4
5
semnul ”-” s-a
luat ținîndu-se
cont de semn
în cadranul
indicat

20. Continuare item 11

• Înlocuim,aflăm valoarea expresiei
4
5
4 3 5 24 2 3 2
E ( ) tg sin 2
1
5
12
5 4 12 25 5 5 5
E ( ) 1
Raspuns : 1

21. Item 12

• Derivata funcției:
f ( x) a x 2(a 1) x 3 4a 2 x 3 4(a 2 1) x
2
4
2
2
f ( x) 4 x a 2 x 2 a 2 1
Derivata poate avea:1 zerou,2 zerouri, 3
zerouri)
• Indiferent de valorile parametrului,derivata
are zeroul x =0
p( x) 0
p( x) q ( x) 0
q( x) 0

22. Cerem ca alte zerouri să nu existe:

• Adică ecuația a2x2+a2-1=0 1) să nu aibă soluții;
2) Să aibă soluția x = 0( va fi un zerou dublu al derivatei)
Prin urmare(cazurile particulare):
Pentru a=0, ecuația Nu are soluții(obținem -1=0)
Pentru a=1 sau a=-1 ecuația devine a2x2=0 și are doar soluția x=0

23.

• Cercetăm ecuația pentru restul valorilor parametrului:
a R 1;0;1
1 a2
a x a 1 0 a x 1 a x
a2
2
2
2
2
2
2
2
Ultima ecuație nu va avea soluție pentru partea dreaptă număr
negativ.Cerem
1 a2
0 a ; 1 1;0 0;1 1;
2
a
Nu uităm de valorile lui a stabilite anterior a=0,a=1,a= -1
; 1 1;0 0;1 1; 1;0;1 ; 1 0 1;
Raspuns : a ; 1 0 1;