Решение некоторых логарифмических неравенств группы С₃

1. Презентация к уроку Решение некоторых логарифмических неравенств группы С₃

Составлена учащимися 11 «а» класса
МБОУ СОШ № 37 г. Улан-Удэ
2010-2011 уч.г.

2.

Решение логарифмических неравенств,
содержащих модуль под знаком
логарифма.
log x 3 9 x
2
1
2
2
log x 3 x 3 2;
16

3.

Решение:
Преобразуем неравенство к виду:
( x 3)(3 x) 1 log2 | x 3| 2
x 3
4 x 3
( x 3)(3 x) 0
x 3
x ( 3; 2) ( 2;3);
x 2
x 3
log
ОДЗ:
На всей области допустимых значений |x-3|=-x+3, т.к. х-3 всегда
отрицательное.

4.

Следовательно, имеем:
(3 x) 1 log2 (3 x) 1
x 3
4 x 3
(3 x) b, тогда
пусть log
x 3
b2 4b 4 0
log
(b 2)2 0
b 2

5.

Решим уравнение замены:
log
x 3
log
(3 x) 2
(3 x) log
( x 3)2
x 3
x 3
x2 7 x 6 0
D 25
x 1
1
x 6 (не удовл. ОДЗ)
2
Учитывая ОДЗ: x=-1
Ответ:
x=-1

6.

Задания для самостоятельного
решения.
1
2
2
log x 2 (36 16 x x ) log x 2 ( x 18) 2
16
2
1
2
2
log x 1 (19 18 x x ) log x 1 ( x 19) 2
16
2

7.

Решение логарифмических неравенств,
содержащих модуль в основании.
log | x 3| ( x 4 x 2) 2;
2

8.

Решение:
log | x 3| ( x 2 4 x 2) 2
Рассмотрим две системы:
0 | x 3 | 1;
| x 3 | 1;
1) x 2 4 x 2 (| x 3 |) 2 ; 2) x 2 4 x 2 | x 3 |2 ;
| x 3 | 0;
x 2 4 x 2 0;
Решим первую систему:
x ( ; 3) ( 3; ); x ( ; 3) ( 3; );
| x 3 | 0;
| x 3 | 1;
x ( 4; 2);
2
2
(| x 3 |) 1 ;
1)
x ( 4; 3,5].
4 x 2 6 x 9; 4 x 2 6 x 9;
x 3,5;
| x 3 |2 0;
| x 3 |2 0;
x 3;

9.

Решим вторую систему:
( x 3) 2 1 0;
| x 3 | 1;
2) x 2 4 x 2 | x 3 |2 ; 4 x 2 6 x 9;
x 2 4 x 2 0;
x ( ; 2 2 ) ( 2 3; );
x ( ; 4) ( 2; );
x 3,5;
x ( 2 2 ; );
x ( ; 2 2 ) ( 2 3; );
Из 1 и 2 следует:
x ( 4; 3,5] ( 2 2 ; );
Ответ:
x ( 4; 3,5] ( 2 2 ; );

10.

Задания для самостоятельного
решения.
1) log | x 3| (2 4 x x 2 ) 2;
2) log | x 2| (4 4 x 2 x 2 ) 2;
3) log | x 2| (2 | x 5 | 5) 1;
4) log | x 2| (3 | x 1 | 5) 1;
5) log | x 2| (4 7 x 2 x 2 ) 2;

11.

Решение логарифмических неравенств, содержащих
показательную функцию под знаком логарифма.
log x 1 log 3 (2 9 4 3 3) 1
x
x

12.

Первый способ.
Решение:
log x 1 log 3 (2 9 x 4 3 x 3) 1
Рассмотрим две системы:
0 x 1 1;
x
x
(
2
9
4
3
3) 0;
1)
x
x
log
(
2
9
4
3
3) 0;
3
log (2 9 x 4 3 x 3) x 1;
3
x 1 1;
x
x
2
9
4
3
3 0;
2)
x
x
log 3 (2 9 4 3 3) 0;
log (2 9 x 4 3 x 3) x 1;
3

13.

Решим первую систему:
x ( ;0) (0; );
x ( ; );
x ( 1; log 3 2);
1)
1 x 0;
x ( ; log 3 2] (0; );
Решим вторую систему:
x ( ;0) (0; );
x ( ; );
2)
x (0;1];
x 0;
x [ log 3 2;1];
Из 1 и 2 следует:
x ( 1; log 3 2) (0;1];
Ответ:
x ( 1; log 3 2) (0;1];

14.

Второй способ.
Решение:
log x 1 log 3 (2 9 x 4 3 x 3) 1;
log 2 log 3 (2 9 x 4 3 x 3) log 2 ( x 1);
0;
log 2 ( x 1) log 2 1;
log 3 (2 9 x 4 3 x 3) ( x 1)
0; x ( ; log 3 2] (0;1];
x 1 1
x ( ;0) (0; );
x
x
log
(
2
9
4
3
3
)
0
;
3
2 9 x 4 3 x 3 0;
x ( ; );
x 1;
x 1 0;
x ( 1; log 3 2) (0;1];
Ответ:
x ( 1; log 3 2) (0;1];

15.

Задания для самостоятельного
решения.
1) log x log 3 (3 9 x 5 3 x 3) 1;
2) log x 2 log 3 (2 9 x 4 3 x 3) 1;
3) log x 1 log 3 (4 x 4 3 x 5) 1;
4) log x log 2 (2 4 x 4 2 x 3) 1;
5) log x 1 log 2 (4 4 x 4 2 x 2) 1;

16. Решение логарифмических неравенств, содержащих показательную функцию в основании логарифма

log 7 x 5 49
1
x
log 7 x 5 ( 49 x) log 7 log 1 7
7

17.

log 7 x 5 49
1
log 7 x 5 ( 49 x) log 7 log 1 7 x
ОДЗ: 7 x 5 0;
x 5
1;
7
49 x 1;
49 x 0;
log 7 x 0;
1
7
x
log
7
1;
1
7
7
x 0;
x 1 ;
49
x 1;
x 5;

18.

Решение:
log
49
1
7 x 5
;
x
log
( 49 x) log log 7
7
1
7 x 5
7
1
2
log 7 7
1
x 5
;
1
log
7
log
(
x
)
2
7
7
log 7 7 log 7 ( x)
x 5
2
1
;
2 log 7 ( x )
log 7 ( x )

19.

Пусть
log 7 ( x) t,тогда
2
1
;
2 t
t
2t 2 t
0;
(2 t )t
t 2;
t 2
0; t 0;
( 2 t )t
t 2;

20.

-
t 2;
t 0;
t 2;
+
-2
0
+
2
t
t ; 2 , 0;2 ;
Решим неравенство замены:
1. log 7 ( x)
2
1
x
;
49

21.

2.
0 log 7 ( x) 2;
49 x 1;
-49
-1
Из 1 и 2 следует
x
x 49; 1 ;
1
x 49; 1 , ; ;
49

22.

С учетом ОДЗ найдем
общее решение:
-49
-5
-1
-
1
49
0
х
1
x 49; 5 , 5; 1 , ;0 ;
49
1
Ответ: x 49; 5 , 5; 1 ,
;0 ;
49

23. Задания для самостоятельного решения:

log
x 4
4
1
2
;
1
x
log
8x
log log 2
x
4
.
5
1
2
2
1
Ответ : 8; 4 , 4 : 1 , ;0 ;
8
log
25
x
3
1
5
;
x
log log 5
2. log5x 3 25x
5
1
5
1
Ответ : - 25;-3 , 3; 1 , ;0 ;
25