Методы решения тригонометрических уравнений. Урок-исследование

1. Урок-исследование

Методы решения
тригонометрических
уравнений.

2. Тригонометрическая окружность

y
B
II
I
+
R=1
A
C
0
x
III
IV
D

3. Градусы и радианы

2
90
;
0
0
120 ; 3
60
;0 +
2
0
3
3
135 ;
45
;
5 4
0
0 4
150 ;
30 ;
6
6
x
00 ; 0
1800 ;
0
0
360 ; 2
7
0
11
0
210 ;
330
;
6
7 6
5
0
0
315 5;
225 ;
0
4
4
300
;
4
3
0
2400 ;
3
270 ;
3
2
y
0

4. Косинус и синус

y
t
sint
0
cost
x

5. Тангенс

y
• .
t
0
tgt
0
tgx = sinx/cosx
x

6. Котангенс

• .
y
ctgt
0
t
ctgx=cosx/sinx
0
x

7. Уравнение cost = a

-1
t1
y
a
0
1.Проверить условие:
a ≤ 1
2.Записать общее
решение
уравнения:
1
x
t t1 2 n, n Z
Где t= arccos a
-t1

8. Частные случаи уравнения cost = a

cost = 1
π
y 2
π
-1
t 2 n,
0
0
1
t n,
x
2
n Z
cost = 0
n Z
cost = -1
π
2
t 2 n,
n Z

9. Уравнение sint = a

y
1. Проверить условие | a | ≤ 1
1
π-t1
2. Записать общее решение
уравнения:
t1
a
0
-1
x

10. Частные случаи уравнения sint = a

t 2 n,
2
π
y 2
1
sint = 1
n Z
sint = 0
π
t n,
0
0
-1
n Z
x
π
2
t 2 n,
2
sint = -1
n Z

11.

Устная работа
1. Вычислить: sin 30 cos( 30 )
Ответы:
2. Упростить:
1
2
td
3
2
2
ctd ( )
4
-
sin 2.5
-1
sin( x) ctgx
1
cos x
1 tgx ctg ( x)
sin x
1 cos 2 x
3.Вычислить:
3
arcsin
2
3
0
arctg ( 3 )
3
arcsin 0
0

12.

Повторение: решение простейших
тригонометрических уравнений
Выполнить тест:

13.

С1 (демонстрационный вариант 2010 года)
2
2
х 3х х 3х 1 7
2 2 sin y x
Решение:
2
2
1. Сделаем замену х 2 3х 1 t Тогда x 3 x t 1 Теперь первое
уравнение системы можно привести к виду t 2 1 6 0
Корни t=-2 или t=3.
Получаем: х 2 3х 1 = -2
х 2 3х 1 = 3
или
2
Первое из этих уравнений не имеет корней. Решим второе. x 3x 10 0
х=-5 или х=2
2. При каждом из найденных значений х решим второе уравнение системы.
5
а) если х=5, то sin y
2 2
решений.
б) если х=2, то sin y
Ответ: х=2,
у ( 1)
n
1
Поскольку 2 2 8 <5, уравнение не имеет
у ( 1) n
2
4
n
n Z
4
n n Z

14.

Найдите метод решения уравнения:
1) Метод введения новой переменной;
2) Метод разложения на множители;
3) Другой.
уравнения
Методы решения
1
2
3
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 соs²x - cosx – 1 = 0
2 sin²
+ cosx = 1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0
уравнения
Методы решения
1
2sinxcosx – sinx = 0
3 cos²x - cos2x = 1
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
4 sin²x + 11sinx = 3
sin3x = sin17x
2
3

15.

Найдите метод решения уравнения:
1) Метод введения новой переменной;
2) Метод разложения на множители;
3) Другой.
уравнения
Методы решения
1
2
+
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 соs²x - cosx – 1 = 0
2 sin²
+
+
+ cosx = 1
+
cosx + cos3x = 0
+
2 sinx cos5x – cos5x = 0
уравнения
3
Методы решения
1
2
3
+
2sinxcosx – sinx = 0
3 cos²x - cos2x = 1
+
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
+
4 sin²x + 11sinx = 3
sin3x = sin17x
+
+

16.

Методы решения тригонометрических
уравнений.
4 sin 2 x 11sin x 3 0
cos x tg3x 0
Метод замены переменной
(для приведения к
квадратному
tgx sin 2 x 0
6 cos 2 x cos x 1 0
Метод разложения на
множители.

17.

Методы решения тригонометрических
уравнений.
3
x
(сos (2 x ) ) sin 0
6 4
2
2
6 sin 2 x 4 sin x * cos x 1
tgx 5
1
2
cos 2 x
1. Методом
разложения на
множители
2. Методом введения
новой переменной
3.Другим
методом

18.

Решить уравнение tgx(sin x 1) 0

19.

Решить уравнение tgx(sin x 1) 0
Решаем методом разложения на множители. Перейдем
от уравнения f 1 ( x) f 2 ( x) 0 к совокупности f 1 ( x) 0
f ( x) 0
2
Ответ:
x= n, nZ