Волновое уравнение для электромагнитных волн. Электричество и магнетизм

1.

§32 Волновое уравнение для
электромагнитных волн
Глава 3
Электричество и магнетизм

2.

Утверждение о существовании электромагнитных
волн является следствием уравнений Максвелла.
Для примера рассмотрим среду ( , ), не
содержащую свободных электрических зарядов и
токов. Система примет вид:
H
rotE 0
t
E
rotH 0
t
(1)
divE 0
(3)
(2)
divH 0
(4)

3.

Из уравнений (1) и (2) следует взаимосвязь между
компонентами векторов напряженностей полей
i
x
Ex
j
y
Ey
k
H
0
z
t
Ez
i
j
k
E
0
x y z
t
Hx Hy Hz

4. Пусть изменяется со временем компонента магнитного поля Hz, тогда порождается компонента электрического поля Ey (1).

E y
H z
0
x
t

5. Изменяющаяся со временем компонента Ey порождает компоненту магнитного поля Hz (2).

E y
H z
0
x
t

6.

Продифференцируем уравнения
координате и времени
Ey
2
x
2
Hz
0
t x
2
Ey
Hz
0 2
x t
t
2
2
по

7.

Исключая
компоненту
Нz,
получаем
дифференциальное уравнение для компоненты Ey.
Ey
1 Ey
0
2
2
0 x
t
2
Ey
2
x
2
2
Ey
2
0 0
t
2
0

8. Получили волновое уравнение

Ey
2
x
2
1 Ey
2
0
2
t
2
Решением волнового уравнения является уравнение
плоской монохроматической волны
E y E y 0 cos t kx

9.

Фазовая скорость
электромагнитной
волны и показатель преломления равны
1
0 0
k
n
1
0 0
1
c
n

10. Найдем взаимосвязь векторов напряженностей. Подставим в уравнения для компонент уравнения плоской волны.

E y
H z
0
x
t
E y E y 0 cos t kx
E y
H z
0
x
t
H z H z 0 cos t kx

11. Получили после дифференцирования:

kEyo sin t kx 0 H zo sin t kx
kH yo sin t kx 0 E yo sin t kx

12. Поделив части уравнения, получаем

0 E 0 H
2
y0
Амплитуды напряженностей
связаны соотношением
2
z0
полей
0 E0 0 H 0
волны

13.

Аналогично
связаны
и
значения
напряженностей полей в любой момент
времени.
0 E 0 H