Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений

1. Лекция 4. 4. Системы дифференциальных уравнений. 4.1. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений.

Существуют процессы, где одной функции
недостаточно для описания процесса. Далее
t - независимая переменная;
x1 t ,..., xn t (или x t , y t , z t если функций не
больше трех) - неизвестные функции.
Определение. Системой дифференциальных уравнений
называют совокупность уравнений, в каждое из
которых входят независимые переменные, искомые
функции и их производные.

2. Примеры.

1)
x 2 x y t 1,
y 3x 4 y 6t.
2)
tx1 3x2 2 x1x3 0,
2 x2 x3 2tx1 0,
x3 2 x1 tx2 0.
Решением системы дифференциальных уравнений
называют совокупность функций x1 x1 t ,..., xn xn t ,
которая при подстановке в уравнения превращает их в
тождества.
Определение. Нормальной
x1 f1 t , x1,..., xn ,
системой дифференциальных
уравнений называется система ...............................
xn f n t , x1,..., xn .
уравнений вида

3. Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе.

• Пример.
1
x
3
x
2
y
2
t
,
x 2 y x 0,
5
x 3 y y t.
1
y x y t .
5
Некоторые системы дифференциальных уравнений
нельзя привести к нормальной системе. Их
рассматривать не будем.
• Пример.
x y tx 0,
x y y 0.

4. Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе.

• Пример.
x1 tx2 0,
x 2x x 0.
2
1
1
x2
x
x3
4
3
x4 ,
2
• Введем дополнительные функции
• Тогда
x x ,
x1 x3 ,
x2 x4 .
tx2 ,
x2 2 x3.
• Одно дифференциальное уравнение n - го порядка
может быть сведено к нормальной системе
дифференциальных уравнений.
x y,
• Пример. x f t , x, x , x .
y x , z y x .
y z ,
z f t , x, y, z .

5. Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого

равен числу уравнений системы.
x y,
x y z, x z x y z,
• Пример y z ,
x x x x .
z x y z.
r r r 1 r 1 r 1 0.
3
2
r1,2 i, 0, 1, s 1.
2
r3 1, 1, 0, s 1.
x C1et C2 cos t C3 sin t.
y C1e C2 sin t C3 cos t , z C1e C2 cos t C3 sin t.
t
t

6. Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению.

• Пример
x x,
y z ,
z y.
• Первое уравнение не зависит от остальных.
x x, y z y.
y C1et C2e t , z y C1et C2e t , x C3et .

7. Теорема.

Общее решение нормальной системы
дифференциальных уравнений
x1 f1 t , x1,..., xn ,
x1 1 t , C1,..., Cn ,
............................... имеет вид ...............................
xn f n t , x1,..., xn
xn n t , C1,..., Cn ,
где C ,..., C
- произвольные постоянные.
1
n
C1,..., Cn могут входить не во все уравнения.
Задание начальных условий x1 t t x10 ,..., xn t t xn0
0
дает частное решение системы дифференциальных
1 t0 , C1,..., Cn x10 ,
уравнений
...............................
n t0 , C1,..., Cn xn 0 .
0

8. Теорема.

Если правые части нормальной системы
дифференциальных уравнений непрерывны
вместе со своими частными производными в
окрестности значений t0 , x10 , x20 ,..., xn0 ,
то
в достаточно малом интервале t0 h, t0 h
существует единственная система функций
x1 t ,..., xn t ,
являющаяся решением
системы и удовлетворяющая начальным
условиям.

9. 4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Однородная система линейных дифференциальных
уравнений x1 a11 t x1 ... a1n t xn ,
...............................
xn an1 t x1 ... ann t xn ,
где aij t - непрерывные функции.
1) Если известно частное решение системы линейных
дифференциальных уравнений x11 t ,..., xn1 t ,
то C1x11 t ,..., C1xn1 t тоже является решением
системы, где C1
- произвольная постоянная.

10. 2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и то тоже является решением системы.

2) Если известны два частных решения системы линейных
дифференциальных уравнений x11 t ,..., xn1 t и
x12 t ,..., xn2 t , то x11 t x12 t ,..., xn1 t xn2 t тоже
является решением системы.
• 3) Если известны n частных решений системы
x11 t ,..., xn1 t ; …; x1n t ,..., xnn t , то
x1 C1x11 ... Cn xn1,
...................................
xn C1x1n ... Cn xnn
(*)
тоже является решением системы линейных
дифференциальных уравнений.
Совокупность n линейно независимых решений
образует фундаментальную систему решений.
Решение (*) является общим решением однородной
системы линейных дифференциальных уравнений.

11. Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

x1 a11 t x1 ... a1n t xn b1 t ,
...............................
xn an1 t x1 ... ann t xn bn t
есть сумма общего решения однородной системы и
частного решения неоднородной системы.

12.

• При заданных начальных условиях
x1 t t x10 , xn t t xn0
0
0
можно получить частное решение системы линейных
дифференциальных уравнений. Для этого необходимо
подставить начальные условия в общее решение
системы (*). Получим алгебраическую систему
уравнений
C x ... C x x ,
1 110
n n10
10
...................................
C1x1n0 ... Cn xnn0 xn0 .
• Решая систему, получим частное решение системы
линейных дифференциальных уравнений. Для того,
чтобы система алгебраических уравнений имела
единственное решение, необходимо, чтобы
определитель
x110
xn10
W
0.
x1n0
xnn0

13. 4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородную систему линейных
дифференциальных уравнений
x1 a11x1 ... a1n xn ,
aij const.
...............................
xn an1x1 ... ann xn ,
Систему можно свести к одному дифференциальному
уравнению n - го порядка. Будем искать частные
решения в виде x1 k1ert ,..., xn knert ,
где k1,..., kn , r - неопределенные постоянные.

14. Дифференцируя, получим

k1rert a11k1e rt ... a1nkne rt ,
Дифференцируя, получим ...............................
rt
rt
rt
k
re
a
k
e
...
a
k
e
n1 1
nn n .
n
a11 r k1 ... a1n kn 0,
• Отсюда
...............................
an1k1 ... ann r kn 0.
Чтобы система однородных уравнений имела
ненулевое решение, необходимо и достаточно,
определитель системы равнялся нулю
a11 r
a1n
an1
ann r
0.
• Раскрыв определитель, получим характеристическое
уравнение.

15. Предположим, что корни действительные и простые. Рассмотрим решение на примере системы трех уравнений. Пусть корень равен

r1
a11 r1 k1 a12k2 a13k3 0,
a21k1 a22 r1 k2 a23k3 0,
a31k1 a32k2 a33 r1 k3 0.
• Определитель системы равен нулю. Примем, что если r1
- простой корень, то, по крайней мере, один из миноров
2-го порядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений
следует из остальных. Решение системы зависит от
одной произвольной постоянной.
Пусть первые два уравнения линейно независимы.
Тогда одно из решений будет
1
1 C1 a22 r1
1
a12 C1
a11 r1 a12
k1
, k
, k3
.
a22 r1 C2 2
C2 a12
a21 a22 r1
• Все остальные решения получаются умножением чисел
1
1
1
k1 , k2 , k3 на одну и ту же произвольную постоянную.

16. Поступая так со всеми корнями характеристического уравнения, найдем три системы функций, каждая из которых является решением

системы линейных
дифференциальных уравнений
1 r1t
1 r1t
1 r1t
k1 e , k2 e , k3 e ;
2 r2t
2 r2t
2 r2t
k e , k e , k e ;
1
2
3 r3t
3 r3t
k1 e , k2 e ,
3
3 r3t
k3 e .
Общее решение системы линейных
дифференциальных уравнений имеет вид
1 r1t
2 r2t
3 r3t
x1 C1k1 e C2k1 e C3k1 e ,
1 r1t
2 r2t
3 r3t
x C k e C k e C k e ,
2
1 2
1 r1t
x3 C1k3 e
2 2
2 r2t
C2k3 e
3 2
3 r3t
C3k3 e .

17. Примеры