Иррациональные уравнения. Алгебра 10

1. Иррациональные уравнения Алгебра 10

ГОУ СОШ № 413 Петродворцового района
Санкт-Петербурга
Учитель: Оленникова Т.Н.

2. План урока

1.
2.
3.
4.
Историческая справка
Определение иррационального уравнения
Уравнения, содержащие корень нечетной степени.
Уравнения вида
f ( x) g ( x)
5.
6.
7.
8.
Уравнения вида
f ( x) g ( x)
Замена переменных
Задания для самостоятельной работы
Домножение на сопряженное выражение

3. Историческая справка

Название «радикал» происходит от латинских
слов radix – «корень», radicalis -- «коренной».
Начиная с ХІІІ в. европейские математики
обозначали корень этим словом, или, сокращенно, r.
В 1525г в книге К.
Рудольфа «Быстрый и
красивый счет при помощи искусных
правил алгебры, обычно называемых
Косс» появилось обозначение V для знака
квадратного корня, корень кубический обозначался
там, как ▼▼▼.

4. Историческая справка (продолжение)

В 1626г голландский
математик А.Жирар
2
3
ввел обозначение V , V и т.д., которое стало
быстро вытеснять знак r ; при этом над
подкоренным выражением ставилась
горизонтальная черта.
Тогда писали V x y вместо x y
современного.
Современное обозначение корня впервые
появилось в книге Р. Декарта «Геометрия»,
изданной в 1637г.

5. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется
уравнение, в котором переменная
входит под знаком корня (радикала).
Например:

6. Уравнения, содержащие корень нечетной степени.

Решая уравнения, содержащие корень
нечетной степени, чтобы «избавиться от
радикала», надо возвести обе части
уравнения в соответствующую степень.
Примеры. Решить уравнение.
Возведём обе части в куб, получим
Ответ:

7. Уравнения, содержащие корень нечетной степени (продолжение)

Решить уравнение:
Возведём обе части в куб, получим:
х = 1, х = 2, х = 0
Ответ: 0, 1, 2

8. І. Уравнения вида

f ( x) g ( x)
В ОДЗ левая часть уравнения всегда
неотрицательна – поэтому решение может
существовать только тогда, когда g ( x ) 0 .
В этом случае обе части уравнения
неотрицательны, возведение в квадрат даёт
равносильное в ОДЗ уравнение. Мы получаем,
что
2
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
(*)

9. ПРИМЕРЫ 1) Решить уравнение

x 2x 9x 5 3
2
Воспользуемся условием равносильности (*):
x 2x 9x 5 3
2
2x 9x 5 x 3
2
2 x 9 x 5 x 6 x 9
x 3x 4 0
x 3 0
x 3
x 4
2
2
Ответ : x 4
2

10. ПРИМЕРЫ 2) Решить уравнение

ПРИМЕРЫ
4 x3 8 x 2 5 x 2 x 1
2) Решить уравнение
Воспользуемся условием равносильности (*):
4 x 8x 5x 2 x 1
4 x 8x 5x 2 x 1
2 x 1 0
3
3
2
2
2
x
0,5
x 1 4 x 1 0
4 x3 4 x 2 x 1 0
x 1
2 x 1
x 0,5
x 0,5
2
x 0,5 Ответ: x 0,5

11. ІІ. Уравнения вида

f ( x) g ( x)
В ОДЗ обе части неотрицательны и при
возведении в квадрат дает равносильное
уравнение
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
При таком способе решения достаточно
проверить неотрицательность одной из
функций – можно выбрать более простую.
(1)

12. ПРИМЕРЫ 1) Решить уравнение

x 2 x 1 2 x3 4 x 2 x 1
Воспользуемся условием равносильности (1):
2
x
x 1 0
2
3
2
x x 1 2x 4x x 1 2
3
2
x x 1 2 x 4 x x 1
2
x
x 1 0
2
x x 1 0
3
x 2,5
x 2,5
2
2 x 5 x 0
x 0
Ответ: х = 2,5

13. 2) Найдите произведение корней уравнения

x x 3x 2 8 2 x x
3
2
2
Воспользуемся условием равносильности (1):
2
8
2
x
x
0
3
2
2
x x 3x 2 8 2 x x 3 2
2
x x 3x 2 8 2 x x
x 2 2 x 8 0
x 2 x 4 0
x 2 x 4 0
3
2
2
x 2 x 5 x 6 0
x 1 x 3 x 2 0
x 1 x x 6 0
x 1
x 2
Ответ: Произведение корней равно - 2

14. ІІІ. Замена переменных. Решить уравнение 1.

Пусть
получим уравнение
Значит
решений нет.
Ответ: х = 3.

15. Замена переменных Решить уравнение 2.

Замена:
, тогда
, т.е.
Обе части неотрицательны, возведём в квадрат
и получим равносильное уравнение
и учитывая (*):
Ответ:

16. Решить самостоятельно уравнения

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответы: - 1, 0, 2
2
- 6, 10
-2
5
1
4

17. Решить самостоятельно уравнения

8.
Замена :
тогда
Ответ :
9.
Замена :
тогда
Ответ:

18. Домножение на сопряженное выражение

Решить уравнение
ОДЗ:
а)
x = 0 - не является корнем иск. ур-я (1)

19. Домножение на сопряженное выражение (продолжение)

б)
Домножим числитель и знаменатель
дроби на
, получим
Обе части неотрицательны, возведём в
квадрат и получим равносильное уравнение
Ответ: