Педагогическая мозаика. Система линейных уравнений. Правило Крамера

1. Педагогическая мозаика

Попченко Светлана Николаевна
МБОУ СОШ №3 г. Клинцы, Брянской
области
Учитель математики

2.

Система линейных уравнений
ПРАВИЛО КРАМЕРА

3.

Пусть дана система двух линейных
уравнений с двумя переменными
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Главным определителем системы
называется число, которое равно
a1 b1
a2 b2
a1 b2 a2 b1 .

4.

Пример
Найти главный определитель
системы
5x 3 y 1,
4 x 3 y 10,
Решение
5 3
4 3
5 3 4 ( 3) 15 12 27,

5.

Первым вспомогательным определителем
называется число, которое вычисляется по
формуле:
.
x
c1
b1
c2
b2
c1 b2 c2 b1 ,
причем, он получается из главного
определителя, если столбец коэффициентов
a1
при x
a2
заменить столбцом свободных членов
c1
c2

6.

Вторым вспомогательным определителем
называется число, которое вычисляется по
формуле:
.
y
a1
c1
a2
c2
a1 c2 a2 c1 ,
причем, он получается из главного определителя,
если столбец коэффициентов при y
b1
b2
заменить столбцом свободных членов
c1
c2

7.

.
Пример.
Найти вспомогательный определитель системы
2x 3y 1,
x 2y 3,
Решение
x
y
1 3
3 2
2 1
1 3
1 ( 2) 3 ( 3) 2 9 7,
2 3 1 1 6 1 5.

8.

Правило Крамера
1. Если главный определитель системы отличен от нуля
0
то система совместна и имеет единственное решение, причем
x
x
,
y
y
.
2. Если главный определитель системы равен нулю
0
а хотя бы один из вспомогательных отличен от нуля x 0 ( y 0),
то система несовместна.
3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных
равны нулю, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений (является неопределенной), причем, если
x t, тогда
где
c1 a1 t
c2 a2 t
y
или y
,
b1
b2
t R.

9.

Решить системы уравнений
x 2y 5,
2x 3y 8;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
5 2
8 3
1 2
2 3
1 3 2 2 3 4 1,
5 3 8 2 15 16 1,
y
1 5
2 8
1 8 2 5 8 10 2.
Главный определитель системы отличен от нуля
1 0,
значит система совместна и имеет единственное решение
y 2
x 1
x
1, y
2.
1
1
Ответ: (1; 2).

10.

2.
9x 6y 3,
3x 2y 2;
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя
системы:
9 6
3 2
9 ( 2) 3 ( 6) 18 18 0,
9 3
3 6
x
3 ( 2) 2 ( 6) 6 12 0,6 y
9 2 3 3 18 9 9.
3 2
2 2
Главный определитель системы равен нулю,
вспомогательных не равен нулю
( y 9 0),
Ответ:
система несовместна.
а
один
из

11.

3. 3x 4 y 5,
6x 8 y 10.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
5
4
10 8
3 4
6 8
3 8 6 4 24 24 0,
40 40 0,
y
3
5
6 10
30 30 0.
Главный и оба вспомогательных определителя равны нулю, значит система
совместна и имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти все пары
решений системы, достаточно взять любое из уравнений системы и,
придавая
переменной
x
произвольные
значения
из
множества
действительных чисел x = t R, найти значения y:
5 3t
y
Ответ: система имеет б/м решений, x t, y
4
5 3t
, где
4
.
t R.

12.

4.
.
5 x y 16
2 x 3 y 3
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
16 1
3
3
5 1
2
3
15 2 17 0
48 3 51; y
5 16
2 3
15 32 17
значит, система имеет единственное решение.
y 17
x 51
x
3, y
1
17
17
.
Ответ: (3; -1).

13.

5. 2 x 3 y 1,
5 x 3 y 8.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
.
x
1
3
8 3
2
3
5 3
6 15 21 0
3 24 21; y
2
1
5 8
16 5 21
значит, система имеет единственное решение.
y 21
x 21
x
1, y
1
21
21
.
Ответ: (-1; 1)

14.

6.
.
2 x 3 y 3,
7 x 5 y 16.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
3
3
16 5
2 3
7 5
10 21 11 0
15 48 33; y
2
3
7 16
32 21 11
значит, система имеет единственное решение.
y 11
x 33
x
3, y
1
11
11
.
Ответ: (3; -1).

15.

С помощью правила Крамера легко проводить
исследование систем уравнений с параметрами.
Исследовать систему уравнений - это значит решить
вопрос о ее совместности или несовместности, и
если она совместна, то найти все ее решения.

16.

7. Исследовать систему уравнений
ax y 2,
x y 2a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
2
1
a 1
1 1
a 1,
y
a 2
2a 2 2 2(a 1)(a 1).
2 2a 2(1 a),
1 2a
2a 1
1. Главный определитель системы не равен нулю, если a 1 0, a 1,
тогда система совместна и имеет единственное решение:
y 2(a 1)(a 1)
x 2(1 a)
2(a 1)
x
2,
y
2(a 1).
a 1
a 1
a 1
2. Если a - 1= 0, a = 1, тогда x y 0,
значит система совместна и имеет бесконечное множество
решений, т. е. является неопределенной.
Пусть
x t, тогда из первого или второго уравнения y 2 t,
где t R .

17.

8. Исследовать систему уравнений:
(a 5) x (2a 3) y (3a 2) 0,
(3a 10) x (5a 6) y (2a 4) 0.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
a 5
2a 3
3a 10 5a 6
x
(a 5)(5a 6) (3a 10)(2a 3)
3a 2 2a 3
2a 4 5a 6
5a2 31a 30 6a2 29a 30 a2 2a a(2 a).
(3a 2)(5a 6) (2a 4)(2a 3)
15a2 28a 12 4a2 14a 12 11a2 14a a(11a 14).
y
a 5
3a 2
3a 10 2a 4
(a 5)(2a 4) (3a 10)(3a 2)
2a2 14a 20 9a2 36a 20 7a2 22a a(7a 22).

18.

1. Если
0, a(2 a) 0, a 0, a 2,
тогда система совместна и имеет единственное решение
y a(7a 22) 7a 22
x a(11a 14) 11a 14
.
x
, y
a(2 a)
a 2
a(2 a)
2 a
2. Если a = 2, тогда
0, x 16 0, y 72 0,
значит система несовместна.
0,
3. Если a = 0, тогда
x
y
значит система имеет бесконечное множество решений, т. е.
является неопределенной. Положим x = t, тогда из первого или
2 5t
второго уравнения находим
y
3
,
где
t R.

19.

9. Исследовать систему уравнений
ax y b,
bx y a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
y
a b
b a
1. Если
a 1
b
a b (a b)(a b).
2
2
1
a b,
x
b
1
a
1
b a,
a b 0, a b,
тогда система совместна и имеет единственное решение
x
a b
y (a b)(a b)
x
1,
y
a b.
b a
a b
2. Если a = -b, тогда x y 0,
система имеет бесконечное множество решений, т. е. является
неопределенной. Положим x t, тогда y b(t 1), где t R .

20.

10. Найти все значения а, при которых система уравнений
3x ay 5,
6 x 8 y 1.
имеет единственное решение.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
5
a
1
8
3 a
6 8
24 6a 6 4 a ,
40 a,
y
3
5
6 1
Если 0, 4 a 0, a 4
то система имеет единственное решение.
3 30 33

21.

11. Найти все значения
m
, при которых система уравнений
(m 2) x 7 y 9,
m 1 x 2 m 2 y 18.
,
имеет бесконечное множество решений.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
m 2
7
2m2 8 7m 7 2m2 7m 15 2 m 1,5 m 5
m 1 2 m 2
9
7
x
18m 36 126 18m 90 18 m 5 ,
18 2 m 2
y
.
m 2
9
m 1 18
18m 36 9m 9 9m 45 9 m 5
Если m = 5, тогда все три определителя равны нулю x y 0
а значит система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = 5.

22.

12. Найти все значения а, при которых система уравнений
.
x ay 3
ax 4 y a 4
не имеет решений.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
x
1 a
a 4
a
3
a 4 4
y
.
4 a 2 a 2 4 a 2 a 2
12 a 2 4a a 2 4a 12 a 6 a 2
1
3
a
a 4
a 4 3a 2 a 2
0
x 0, y 0
При a = -2 главный определитель равен нулю
а оба вспомогательных не равны нулю
.
Ответ: a = -2.

23.

Дополнительные задачи
Решить систему уравнений:
1. 6 x 5 y 19,
3x y 34.
2. 7 x 4 y 15,
2 x 3 y 4.
Ответ: (9; 7).
Ответ (1;2)
Исследовать системы уравнений:
3. 3x ay 5a 2 ,
2
3x ay a .
Ответ:
1. Если a 0 ,то система совместна и имеет единственное
решение a 2 ; 2a
.
2. Если a = 0, то система совместна и имеет бесконечное
множество решений.

24.

4.
(a 1) x 2ay 2 0,
2ax (a 1) y (a 1) 0.
Ответ:
1
1. Если a 1 è a
3
то система совместна и имеет единственное решение:
2a 2
a 1
x
; y
3a 1
1 3a
2. Если a = -1, то система совместна и имеет бесконечное множество
решений.
1
3. Если a , то система несовместна.
3.

25.

5.
.
ay bx 0,
y x b a.
Ответ:
a b
Если
, то система совместна и имеет единственное
решение (a; b).
2. Если a = b, то система совместна и имеет б/м решений.
6. Найти все значения a, при которых система уравнений
5 x ay 2,
10 x 3 y 3.
имеет единственное решение.
Ответ:
a 1,5

26.

7. Найти все значения m, при которых система уравнений
.
m 2 x 27 y 4,5,
2 x (m 1) y 1,
имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = -7.
8. Найти все значения a, при которых система уравнений
7ax 4 y 8,
2
x
7
ay
49
a
,
не имеет решений.
Ответ:
a
2
7