Свойства степени с натуральным показателем

1.

2.

Большая часть
математических
утверждений проходит в
своём становлении три
На первом этапеэтапа:
человек в ряде конкретных
случаев подмечает одну и туже закономерность .
На втором этапе он пытается сформулировать
подмеченную закономерность в общем виде .
На третьем этапе он пытается доказать,
что закономерность сформулированная
(гипотетически) в общем виде, на самом деле
верна .

3.

4.

5.

Пример _ 1.Вычислить : а)2 3 2 5 ; б )31 34.
Решение.
а ) _ Имеем :
23 25 (2 2 2) (2 2 2 2 2)
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 28 256.
3 м ножителя
5 м ножителей
8 м ножителей
Решение.
б ) _ Имеем :
31 3 4 3 (3 3 3 3)
3
3
3
3
3 3
3
3
3
3 35 243.
1 м ножитель 4 м ножителей
5 м ножителей

6.

В процессе решения примера мы
заметили, что:
3 5
2 2 2 , т.е. _ 2 2 2 ;
3
5
8
3
5
1 4
3 3 3 , т.е _ 3 3 3 .
1
4
5
1
4
Наблюдается закономерность :
•основания перемножаемых степеней одинаковы,
•при этом показатели складываются.
Первый этап завершён.

7.

На _ втором _ этапе _ осмелимся _ предположить, что
мы _ открыли (длясебя ) _ общую _ закономерн ость :
а п а к а п к ;
Теорема 1. Для любого числа а и
любых
n
k
натуральных aчисел
a k na nи
.k
справедливо
равенство:
Обычно теорему формулируют так:
Если а-любое число,
a n a k иa nn kи
. kнатуральные числа, то справедливо
равенство:

8.

Доказатель ство :
1)а п а
а
а
......
а
п _ м ножител ей
2)а к а
а
а
......
а
к _ м ножител ей
3)а п а к (а а а ...... а ) а
а
а
......
а
п _ м ножител ей
к _ м ножител ей
п к
а
а
а .....
а
а
а
а
...
а
а
а
...
а
а
а
....
а
а
.
п _ м ножител ей
ч.т.д.
к _ м ножител ей
п к _ м ножител ей

9.

10.

Пример _ 2.Вычислить : а)2 : 2 ; б )3 : 3 ;
6
4
8
5
Решение.
а ) _ Запишем _ частное _ в _ виде _ дроби _ и _ сократим
её :
2 6 ( 2 2 2 2) 2 2
2 :2 4
2 2 4;
2 2 2 2
2
6
4
8
3
(3 3 3 3 3) 3 3 3
8
5
б) _ 3 : 3 5
3 3 3 33 27.
3 3 3 3 3
3

11.

В процессе решения примера мы
заметили, что:
2 : 2 2 , т.е. _ 2 : 2 2
6
4
2
6
4
6 4
;
8 5
3 : 3 3 , т.е _ 3 : 3 3 .
8
5
3
8
5
Наблюдается закономерность :
•основания делимого и делителя одинаковы,
оказатель делимого больше, чем показатель делите
•при этом из показателя делимого
вычитается показатель
делителя.
Первый этап завершён.

12.

На _ втором _ этапе _ осмелимся _ предположить, что
мы _ открыли(для _ себя) _ общую _ закономерн ость :
а п : а к а п к , _ если _ п к.
Теорема 2. Для любого числа а не равного нулю
и любых натуральных чисел n и k справедливо
равенство:
а п : а к а п к .
Можете ли вы сформулировать теорему
иначе используя:
«Если….., то….»

13.

Доказательство :
Рассмотрим _ произведение : а п к а к .
Итак, а п к а к а п , а _ это _ как _ раз
и _ означает, что _ а : а а
п
ч.т.д.
к
п к
.

14.

15.

Пример _ 3..Вычислить : а)(2 ) ; б )(3 ) ;
5 2
Решение.
а) _ Имеем :
(2 5 ) 2 2 5 2 5 2 5 5 210 1024;
Решение.
б ) _ Имеем :
(3 ) 3 3 3 3
2 3
2
2
2
2 2 2
3 729;
6
2 3

16.

В процессе решения примера мы
заметили, что:
5 2
(2 ) 2 , т.е. _(2 ) 2 ;
5 2
10
5 2
(32 ) 3 36 , т.е _(32 ) 3 32 3.
Наблюдается закономерность:
в обоих случаях при возведении степени в степен
показатели перемножаются.
ПЕРВЫЙ ЭТАП ЗАВЕРШЁН.

17.

На _ втором _ этапе _ осмелимся _ предположить, что
мы _ открыли(для _ себя) _ общую _ закономерн ость :
( а п ) к а п к .
Теорема3. Для любого числа а и любых натуральных чи
n и k справедливо равенство:
(a ) a
n k
n k
.

18.

Имеем :
п
п
(а п ) к а п
а
...
а
а а .... а) (а а ... а) ... (а а ... а)
(
к _ м ножителей
п _ групп _ по _ к _ м ножителей_ в _ каждой
пк
а
а
...
а
а
а
....
а
а
а
...
а
а
.
пк _ м ножителей
ч.т.д.

19.

(2 2 )
Вычислить :
.
8 3
(2 2 )
3
4
5

20.

При умножении степеней с одинаковым
Основаниями показатели складываются.
При делении степеней с одинаковыми
показателями из показателя делимого вычитают
показатель делителя.
При возведении степени в степень показатели
перемножаются.

21.

а а а
п
к
а :а а
п
к
п к
п к
п к
(а ) а .
п к
;
, где _ п к , а 0;