Условная оптимизация методом классического математического анализа с применением множителей

1.

1
ОПТИМИЗАЦИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕКИХ
ПРОЦЕССОВ
С ОГРАНИЧЕНИЯМИ В ВИДЕ
РАВЕНСТВ
Модуль 2. Лекция.
Условная оптимизация методом классического
математического анализа с применением множителей
Лагранжа
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

2. Понятие условного экстремума

2
Экстремум функции n переменных
R (x )
с m ограничениями (условиями) в виде равенств:
j ( x1 , x2 , ..., xn ) 0,
j 1, 2, ..., m
называется условным экстремумом.
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

3.

ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
3
При решении задач оптимизации ХТП
R (x ) - критерий оптимальности
(x) 0
- уравнения математического описания
Для такой постановки задачи определения условного
экстремума необходимо выполнение условия:
n m
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

4.

ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
4
1. Решение задачи поиска условного экстремума путем
поиска безусловного экстремума:
Для определения условного экстремума целесообразно
выразить m зависимых переменных через остальные n – m
переменных:
xk f k ( xm 1 , xm 2 , ..., xn )
k 1, 2, ..., m
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

5.

ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
5
Полученные зависимости подставляются в выражение
функции R (x ) :
R R[ f1 ( xm 1 , ..., xn ),
f 2 ( xm 1 , ..., xn ), ...,
f m ( xm 1 , ..., xn ), xm 1 , xm 2 , ..., xn ]
R ( xm 1 , xm 2 , ..., xn )
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

6.

ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
6
В полученной функции
независимыми.
R (x ) переменные являются
Далее обычными методами поиска безусловного
экстремума определяются значения
x
opt
m 1
,x
opt
m 2
, ..., x
т. е. находится экстремум функции
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
opt
n
R (x )
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

7.

ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
7
По известным значениям
x
opt
m 1
,x
opt
m 2
, ..., x
opt
n
из системы m – уравнений ограничений:
j ( x1 , x2 , ..., xn ) 0, j 1, 2, ..., m
определяются значения:
x
opt
k
f k ( xm 1 , xm 2 , ..., xn )
opt
opt
opt
k 1,...m
т.е. _ x , x , ..., x
opt
1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
opt
2
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
opt
m
V1.0 L2

8. 2.Поиск условного экстремума методом неопределенных множителей Лагранжа

Необходимое условие существования экстремума функции
многих переменных:
R
dxi 0
dR
i 1 xi x extr
n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
8

9.

ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
9
В случае условного экстремума не все дифференциалы
будут независимыми, т.к. на переменные xi наложены
дополнительные ограничения
j ( x1 , x 2 , ..., x n ) 0,
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
dxi
j 1, 2, ..., m
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

10.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
10
Полный дифференциал функции
равен нулю :
j
d j
i 1 xi
n
поскольку
j (x ) в точке экстремума
dxi 0
x extr
j (x) 0
j 1,...m
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

11.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
11
Умножив обе части последнего выражения на некоторый
множитель j (j=1,…m), просуммировав и сложив с
выражением для R xi , получим:
m
n
R
j
dxi j
i 1 xi x extr
j 1
i 1 xi
n
dxi 0
x extr
или
R
m
1
2
dxi 0
1
2
m
xi
xi
xi x extr
i 1 xi
n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

12.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
12
Исключим m зависимых дифференциалов таким выбором
множителей j , чтобы коэффициенты при зависимых
дифференциалах обратились в 0:
R
m
1
2
0
1
2
m
xi
xi
xi x extr
xi
i 1, 2, ..., m
Полученная система из m уравнений позволяет определить
m множителей
(если они существуют)
j
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

13.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
13
Исключив зависимые дифференциалы, получим:
R
m
1
2
dxi 0
1
2
m
xi
xi
xi x extr
i m 1 xi
со значениями j из
предыдущей системы уравнений
n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

14.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
14
Для равенства последнего выражения 0 необходимо, чтобы
каждое слагаемое его было равно 0:
R
m
1
2
0
1
2
m
xi
xi
xi x extr
xi
i m 1, m 2, ..., n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

15.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
15
Объединяя условия равенства 0 зависимых и независимых
дифференциалов, получим:
R
m
1
2
1
2
m
xi
xi
xi
xi
0
x extr
i 1, 2, ..., n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

16. Одновременно должны выполняться m равенств, соответствующих ограничениям задачи:

j ( x1 , x2 , ..., xn ) 0,
j 1, 2, ..., m
Таким образом для определения экстремума
Функции R c ограничениями типа равенств
необходимо решить требуемую систему (n+m)
последних уравнений относительно xi (i=1,…n) и
j (j=1,…m)
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

17.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
17
Функция _ Лагранжа _
Введя функцию Лагранжа Ф, необходимые
условия экстремума которой с
производными по всем xi (i=1,…n) и j
(j=1,…m) приводят к требуемой системе
(n+m) уравнений:
m
R j j
j 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

18.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
18
Получим требуемую систему (n+m) уравнений:
0 (i 1, 2, ..., n)
x
i x extr
0
(
i
1
,
2
,
...,
m
)
extr
i x
сведя задачу к нахождению безусловного экстремума
функции Ф.
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

19.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
19
ПРИМЕР 1. Классическая задача.
Определим соотношение между высотой и диаметром
цилиндрического сосуда при минимальной его поверхности и
заданном объёме.
Для этого случая:
d
R S 2π
πdH
4
2
S – поверхность цилиндра
H – высота цилиндра
d – диаметр цилиндра
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

20.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
20
2
d
H V0 0
4
V0 – заданный объём цилиндра
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

21.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
21
Записываем функцию Лагранжа:
2
d
Ф (2
dH )
4
2
d
(
H V0 )
4
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

22.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
22
Дифференцируя, получим:
Ф
dH
d H
0
d
2
dH
d H
0
2
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

23.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
23
Ф
d
d
0
H
4
2
d
d
0
4
2
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

24.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
24
Ф
d
H V0 0
4
2
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

25.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
25
Решая систему уравнений:
dH
d H λ
0
2
2
d
d λ
0
4
2
d
H V0 0
4
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

26.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
26
получим, что для минимальной поверхности цилиндра должно
выполняться соотношение:
d H 3
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
4V0
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

27. ПРИМЕР 2. Оптимальное распределение потока сырья между параллельно работающими аппаратами

27
ПРИМЕР 2. Оптимальное распределение
потока сырья между параллельно работающими
аппаратами
Пусть общий поток (расход) сырья v, содержащий компонент
A, распределяется между N аппаратами.
Пусть Ri = Ri(vi) есть критерий оптимальности i-го аппарата и
является функцией потока vi, проходящего через этот аппарат.
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

28.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
v1
v2
v
(0 )
xA
vi
vN
РХТУ им. Д.И. Менделеева
28
R1 (v1 )
1
R2 (v2 )
2
Ri (vi )
v
i
RN (vN )
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
N
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

29.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
29
Свойство аддитивности критерия оптимальности
записывается как:
N
R Ri ( v i )
i 1
Ограничение в виде равенства имеет вид:
N
v vi
i 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

30.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
30
Функция Лагранжа:
N
N
i 1
i 1
Ф Ri (vi ) (v vi )
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

31.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Дифференцируя и приравнивая нулю производные,
получим систему (N+1) уравнений для определения vi
(i=1,…n) и :
Ri (vi )
0
vi
vi
v vi 0
i 1
i 1, 2, ..., N
N
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
31

32.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
32
Отсюда следует, что при оптимальных условиях
распределения потока в параллельно работающих аппаратах
должны выполняться равенства:
Ri Ri 1
vi vi 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
i 1, ...( N 1)
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

33.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
33
Задача 2
Рассчитать оптимальное распределение потока сырья v,
поступающего на параллельно работающие реакторы
идеального смешения, в которых проводится реакция типа
A P S
k1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
k2
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

34.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
34
В качестве критерия оптимальности использовать суммарное
количество компонента P в выходном потоке. Исходные
данные для расчёта:
число аппаратов N = 3
объёмы аппаратов, соответственно: 0,5, 0,6, 0,7 м3
расход сырья v = 3 м3/час
условия работы аппаратов - изотермические
константы скоростей k1 = 0,65 1/час; k2 = 0,3 1/час
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

35.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
35
Решение
x ,x ,x
1
A
(0 )
A
x
v1
v
(0 )
xA
V1
x
v2
V2
РХТУ им. Д.И. Менделеева
x ,x ,x
2
A
2
P
2
S
v3
v3
x A(0 )
1
S
v1
v2
(0 )
A
1
P
V3
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
x 3A , xP3 , xS3
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
v
x A , x P , xS

36.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
36
Критерий оптимальности для всей системы есть:
N
R v xP vi x
i 1
i
P
Количество вещества P на выходе из i-го реактора:
vi x Ri
i
P
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

37.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
37
Уравнение ограничений на процесс:
N
φ v vi 0
i 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

38.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
38
При оптимальных условиях должно выполняться равенства:
Ri Ri 1
vi vi 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
i 1, 2
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

39.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
39
Вычислим значение производной:
Ri
x
i
xP vi
vi
vi
i
P
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

40.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
40
Уравнения материального баланса по компонентам A и P для
i-го реактора с расходом потока в нем vi и его объемом Vi
k1
k2
для реакции A
P
S , где k , k2 - константы
1
скоростей реакции :
vi ( x
( 0)
A
x ) Vi k1 x 0
i
A
i
A
vi x Vi (k1 x k2 x ) 0
i
P
РХТУ им. Д.И. Менделеева
i
A
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
i
P
V1.0 L2

41.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
41
Уравнения материального баланса по компонентам A и P для
i-го реактора с использованием времени пребывания в
реакторе i имеют вид :
x
( 0)
A
x i k1 x 0
i
A
i
A
x i (k1 x k 2 x ) 0
i
P
i
A
i
P
i Vi vi
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

42.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
42
Из полученной системы уравнений выразим концентрацию
компонента P в i – том аппарате через начальную
концентрацию компонента A:
i x k1
x
(1 i k1 ) (1 i k 2 )
(0)
A
i
p
x
x i
vi i vi
i
p
РХТУ им. Д.И. Менделеева
i
p
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

43.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
43
Тогда:
k1 i (k1 k 2 1)
x
(0)
xA
2
vi
vi [(1 i k1 ) (1 i k2 )]
2
i
i
P
Vi
i
vi
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

44.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
44
Из полученного выражения следует, что произведение
vi
x
i
p
vi
vi
x
i
p
vi
( i )
зависит от времени пребывания i ,а также из уравнений
материальных балансов следует тоже зависимость только от
времени пребывания i :
x x ( i )
i
p
РХТУ им. Д.И. Менделеева
i
p
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

45.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
45
Так как в выражении для рассматриваемой реакции :
Ri
x
i
xP vi
vi
vi
i
P
оба слагаемых зависят от
РХТУ им. Д.И. Менделеева
i
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

46.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
а также поскольку:
46
Ri Ri 1
vi vi 1
то будет справедливо:
Ri
f ( i )
vi
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Ri 1
f ( i 1 )
vi 1
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

47.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
47
и имеем:
i i 1
Откуда следует:
Vi Vi 1
Vi
vi
Vi 1 vi 1
vi vi 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

48.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
48
Получаем систему уравнений для расчёта распределения
потоков:
V1 v1
V2 v2
V2 v2
V3 v3
v1 v2 v3 v
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

49.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
49
Подставляя исходные данные, получим:
0,5 v1
0,6 v2
0,5 v2 0,6 v1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

50.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
50
Подставляя исходные данные, получим:
0,6 v2
0,7 v3
0,6 v3 0,7 v2
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

51.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
51
Подставляя исходные данные, получим:
0,6
0,7 0,6
v1
v1
v1 3
0,5
0,6 0,5
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

52.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
52
Откуда находим:
v1 0,833 м / час
3
v2 1,0 м / час
3
v3 1,167 м / час
3
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

53. ПРИМЕР 3. Оптимизация многостадийных процессов

53
Рассмотрим многостадийный процесс, состоящий из стадий,
каждая из которых описывается системой конечных
уравнений вида:
i 1
1
i 1
2
i 1
n
x φ ( x , x , ..., x , u , u , ..., u )
i
k
i
k
i
1
i
2
k 1, 2, ..., n
i – номер стадии
k – номер переменной
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
i
r

54.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
x (0 )
x1
1
u1
54
x 2 x i 1
2
u2
x i x N 1
N
i
ui
xN
uN
Каждая стадия представляет собой стационарный
одностадийный процесс. Будем полагать, что размерности
векторов x ( n ) и u ( r ) одинаковы для всех стадий.
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

55.

55
Условные обозначения на схеме каскада аппаратов:
N - число стадий процесса (аппаратов)
x i - вектор переменных состояния процесса на выходе
из i-того аппарата и на входе в i+1 аппарат
u i - вектор переменных управления i-том аппарате
ri - частный критерий оптимальности в i-том аппарате
N
R ri - критерий оптимальности всего процесса –
i 1
аддитивная функция в общем случае
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

56.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
56
Пусть критерий оптимальности многостадийного процесса
задан в виде некоторой функции только от выходных
параметров последней стадии:
R R( x ) R( x , x , ..., x )
N
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
N
1
N
2
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
N
n

57.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
57
Уравнения математической модели могут быть записаны в
неявной форме:
(x , x , u ) 0
i
k
i 1
i
i
i 1, 2, ..., N
k 1, 2, ..., n
и могут рассматриваться как уравнения ограничений.
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

58.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
58
При использовании метода неопределённых множителей
Лагранжа для решения задачи оптимизации соотношения
математической модели на всех стадиях используются как
ограничения, наложенные на переменные, часть из которых
входит в выражение для критерия оптимальности:
i
1
i
2
i
n
i
1
i
2
x , x , ..., x , u , u , ..., u
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
i
r

59.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
59
Составим функцию Лагранжа:
N
n
Φ R( x ) λ φ ( x , x , u )
N
i 1 k 1
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
i
k
i
k
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
i 1
V1.0 L2
i
i

60.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
60
При дифференцировании функции Лагранжа по всем
переменным получим три типа уравнений:
дифференцирование по
x Nj:
R( x )
, x ,u )
N ( x
0
k
N
N
N
x j
x j
x j
k 1
N
n
N
k
N 1
N
j 1,...n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2
N

61.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
дифференцирование по
61
xij (i 1, 2, ..., N 1) :
(x , x , u )
i 1
k
i
i
x j k 1
x j
i 1
k
n
i 1
i
i 1
( x , x , u )
0
i
x j
k 1
n
i
k
i
k
i 1
i
i
j 1,...n
РХТУ им. Д.И. Менделеева
Кафедра информатики и компьютерного проектирования
Лекционный материал «Оптимизация ХТП»
V1.0 L2

62.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
дифференцирование по
62
u ( 1, 2, ..., r; :i 1,...N )
i
, x ,u )
i ( x
0
k
i
i
u k 1
u
r
i
k
i 1
i
i
Для нахождения оптимума полученная система из трёх
последних систем уравнений должна решаться совместно с
уравнениями математической модели, которые получаются
при дифференцировании по всем