Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода к новому основанию

1.

2. Цели урока

3. Свойства логарифмов (а>0, а1, b>0, c>0, n0 )

:
log a (bc)
log a b
log a
b
log a b log a c
b
c
log a b n
log an b
a
loga b
log an bn
log a 1
log a a
0
n log a b
1
log a b log a c
1
log a b
n

4. Найдите значение выражений

log 2 16
1
log 25
5
log 4
1
2
log
4
7
2
log7 3
5
4
2 log5 3
3 log 6 9
8
4
log
8
5
log 12 6 log 12 2
1
log 6 2 log 6
3
log
log
1
15
5
3 log
1
15
65 log
75
5
13

5.

6.

Первое
упоминание
натурального
логарифма сделал Николас Меркатор в
работе Logarithmotechnia, опубликованной
в 1668 году, хотя учитель математики Джон
Спайделл ещё в 1619 году составил
таблицу натуральных логарифмов.
Ранее его называли гиперболическим
логарифмом, поскольку он соответствует
площади под гиперболой

7. Происхождение термина натуральный логарифм

Саму константу впервые вычислил
швейцарский математик Бернулли в
ходе решения задачи о предельной
величине процентного дохода.
Бернулли показал, что процентный
доход в случае сложного процента
имеет предел:
и этот предел равен 2,71828…

8.

e
Букву
начал использовать Эйлер в 1727
году, а первой публикацией с этой буквой
была его работа «Механика, или Наука о
движении, изложенная аналитически» (1736)
Почему была выбрана именно буква e, точно
неизвестно. Возможно, это связано с тем, что
с
неё
начинается
слово
exponential
(«показательный», «экспоненциальный»)
Другое предположение заключается в том,
что буквы a, b, c и d уже довольно широко
использовались в иных целях, и e была
первой «свободной» буквой.

9. Проблема

Обратите внимание - действия
с логарифмами возможны
только при одинаковых
основаниях!
А если основания разные!?
log 5 16 log 2 25

10. Переход к новому основанию

Теорема
Пусть дан логарифм loga b.
Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1,
верно равенство:
log c b
log a b
log c a
В частности, если положить c = b, получим:
1
log a b
log c a

11.

1) log 5 16 log 2 25
Воспользуемся сначала свойством log a
b n log a b
n
log 5 2 log 2 5 4 log 5 2 2 log 2 5
4
2
Теперь перейдем к основанию 2
1
8
log 2 5 8
log 2 5
1
log a b
log c a

12. Полезно запомнить

1
log a b log b a log a b
1
log a b
log a b log b a 1