Переход к новому основанию логарифма

1. Переход к новому основанию логарифма

mathvideourok.moy.su

2.

Теорема: Если а, в, с –положительные числа и
а 1 , с 1, то существует формула перехода
к новому основанию
log c в
log a в
log c a
Например :
log 5 2
1) log 3 2
log 5 3
lg 4
2) log 7 4
lg 7
log8 8
1
3) log 5 8
log8 5 log8 5

3.

Следствие 1. Если а и в положительные
а 1 , в 1, то
1
log a в
Например :
1
1) log 2 3
log 3 2
log в a
1
2) lg 5
log 5 10
1
3)
log 4 5
log 5 4

4.

Следствие 2. Если а и в положительные
а 1 , r 1, то
r
logar в loga в
Например :
1
1) log 2 3 log 4 9 log 1 log
2 3
2) log36 64 log 6 8
3) log
5
2 log 5 2
2
3

5. Решение задач

1) Дано : lg 3 a, lg 5 в
Вычислить : log 2 15
Решение :
lg15 lg 3 lg 5 lg 3 lg 5
log 2 15 lg 2
lg10 lg 5
10
lg
5
а в
1 в

6.

2) Решите уравнение:
ОДЗ : х 0
log2 x log4 x log 3 4 3
Перейдем к одному основанию 4
log 4 x
log 4 3
log 4 x
1
log 4 2
log 4 4 3
log 4 x
log 4 3
log 4 x
1
1
2
3
2log 4 x log 4 x 3log 4 3
3log 4 x 3log 4 3

7.

3log 4 x 3log 4 3/ : 3
log 4 x log 4 3
х 3
Так как у log 4 к монотонна на D( у ) (0; )
Ответ : 3

8.

3) Решите неравенство:
2log5 x log x 125 1 ОДЗ : х 0, x 1
log 5 125
2 log 5 x
1
log 5 x
3
2 log 5 x
1
log 5 x
Пусть log5 x m
3
2m 1
m
3
2m 1 0
m
2m m 3
0
m
2

9.

2m 2 m 3
0
m
Решим неравенство методом интервала
2m m 3
Рассмотрим функцию у
m
непрерывная на D( у ) R, кроме 0 функция
2
Ее нули : 2m m 3 0
2
m1 1,5
m2 1

10.

Данные точки разбивают область определения
на промежутки в каждом из которых функция
определена и непрерывна и не обращается в нуль,
а значит сохраняет свой знак согласно свойству
непрерывности функции.
-
+
-
+
-1
0
1,5
m
2(m 1,5)(m 1)
0
m
m ( ; 1) (0;1,5)
у ( 2) 0 y (1) 0
y ( 0,5) 0 y (3) 0

11.

1) m 1
log5 x 1
m ( ; 1) (0;1,5)
2)0 m 1,5
1
log 5 x log 5
5
5 1, z log5 к
возрастает на
D(z) (0; )
х 0, x 1
1
1
x 0;
5
x 5
0 log5 x 1,5
log5 1 log5 x log5 125
5 1, z log5 к
возрастает на
D(z) (0; )
х 0, x 1
1 x 125
Объединяя полученные решения получаем
x 1; 125
1
Ответ : 0; 1; 125
5