Понятие предела функции в точке

1. Понятие предела функции в точке

2. Основные вопросы:

• Определение предела функции в точке,
бесконечно малой и бесконечно большой
функции в точке. Связь между
б/малыми и б/большими функциями в
точке.
• Основные теоремы о пределах функций
(суммы, произведения и частного).
16.09.2019
2

3. Предел функции

–
одно
из
основных
понятий
математического анализа. Понятие предела использовалось
еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками
XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали
предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали
Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

4.

Рассмотрим функции, графики
которых изображены на следующих
рисунках:
y f (x)
y f (x)
y f (x)
Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все
же изображают они три разные функции, отличающиеся друг
от друга своим поведением в точке
x a .
Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

5.

Случай 1.
lim f ( x) A
А
x a
f (a) не существует

6.

Случай 2.
lim f ( x) A
А
x a
f (a) А

7.

Случай 3.
lim f ( x) A
А
x a
f (a) А
В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

8.

Для всех трех случаев используется одна и
та же запись:
lim f ( x) b,
x а
которую читают: «предел функции y f (x) при
стремлении x к a равен b ».
Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения
аргумента выбирать все ближе и ближе к значению
x a, то значения функции все меньше и меньше
отличаются от предельного значения b.
Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности
точки a справедливо приближенное равенство:
f ( x) a
При этом сама точка
x a исключается из рассмотрения.

9. Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,
кроме, быть может самой точки x0.
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x x0),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство:
f (x) A
0; 0; x : x x0 f ( x ) A
lim f ( x) A
x x0

10. Предел функции в точке

0; 0; x : x x0 f ( x ) A
ε окрестность точки А
y
2
А
0
х0
х
δ окрестность точки x0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ –
окрестности точки x0 точки графика функции лежат
внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у
=А+ε,у=А-ε.

11.

Прежде чем перейти к разбору решений
примеров заметим, что если предел функции
y f (x) при стремлении
функции в точке
x a
х
к
a
равен значению
, то в таком случае
функцию называют непрерывной.
График такой функции представляет собой
сплошную линию, без «проколов» и «скачков».

12.

Функцию y f (x)
на промежутке
называют непрерывной
X , если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка.
Примерами непрерывных функций на всей числовой
2
y
ax
by c,
y
kx
b
,
y
C
,
прямой являются:
y | x |, y x n , n ,
Функция
y x непрерывна на луче [0, ), а
n
y
x
, n непрерывна на промежутках
функция
( , 0) (0, ).

13. Предел функции в точке

Число В называется пределом
функции в точке а, если для всех
значений х , достаточно близких к а
и отличных от а, значение функции
f (x) сколь угодно мало отличается
от В.
lim f ( x ) b
x a

14. Теорема.

14

15. Бесконечно малая функция и бесконечно большая функция.

• Функция α (x) называется бесконечно
малой при x → a (здесь a – конечное число
или ∞), если
• Функция f(x) называется бесконечно
большой функцией (или бесконечно
большой величиной) при х→а, если
lim f ( x)
x a
15

16. Графическая иллюстрация

• х →0
х
1
х
1
у 0
х
Таким образом, величина, обратная
бесконечно малой, есть бесконечно
большая, и наоборот.
16

17.

lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0

18.

lim C C
x x0

19.

lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
x x0

20.

lim f ( x)
f ( x) x x0
lim
, если _ lim g ( x) 0
x x0 g ( x)
x x0
lim g ( x)
x x0

21.

lim (k f ( x)) k lim f ( x)
x x0
x x0

22.

lim ( z ) (lim z)
n
x a
x a
n

23. Вычисление пределов

Вычисление
lim f ( x ) A
x x0
предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1 3 1 1 2
lim
2
2
x 1
1
x
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

24. Вычислить пределы:

lim ( x 2 7 x 4) 32 7 3 4 8;
x 3
x 4
( x 2)( x 2)
x 2
lim 2
lim
lim
2;
x 2 x 2 x
x 2
x 2
x ( x 2)
x
3
2
(
x
2
)(
x
)
2
(0 / 0)
2x 7x 6
2x 3
2
lim
lim
lim
;
2
2
x 2
x 2
x 2 x 2
( x 2)
( x 2)
2

25.

Примеры

26. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в
функцию f(x) получаются выражения следующих
видов:
0
;
0
;
Эти выражения называются
а
вычисление пределов в этом случае называется
.

27. Методы вычисления пределов на неопределенность

3x 2 x 0 0 0
lim 2
x 0 2 x 5 x
0 0 0
2
0 с с
, ,
0 0

28.

• В большинстве случаев, чтобы раскрыть
0
неопределенность вида
,
0

29.

3x 2 x 0
lim 2
x 0 2 x 5 x
0
2
Разложим числитель и знаменатель на
множители:
x 3x 2
3x 2 2
lim
lim
x 0 x 2 x 5
x 0 2 x 5
5

30.

lim 4 x
4x
4*0
0
x 0
lim 2
2
x 0 3 x 2 x
lim 3x 2 x 3 * 0 2 * 0 0
x 0
4x
4
4
lim
lim
2.
x 0 x 3 x 2
x 0 3 x 2
3* 0 2

31.

• Чтобы раскрыть неопределенность
данного вида, зависящую от
иррациональности,

32. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 14x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
необходимо разложить
наlim Если f(x) – иррациональная
lim
x 0
0
множители
числитель
иx 0 дробь, x
x
x 1 умножить
1
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x 1 1
1дроби на выражение,
1
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
сопряженное
x x 1 1
x 1 1 2

33. Раскрытие неопределенности

• При нахождении предела иногда сталкиваются с
неопределенностями вида
0
0
0
, , ( ), (1 ), (0 ), (0 )( ).
0
• Отыскание предела в таких случаях называется
раскрытием неопределенности.
Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить
числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х2

34.

Разделим числитель и знаменатель на х4

35.

Разделим числитель и знаменатель на х2
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на
бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности
может получиться конечное число, ноль или
бесконечность.

36. Задание:

37. Упражнения:

x 3 3x 1
lim
1
x 0
x 4
lim
x 6
6 x
3 x 3
2 x 2 x 15
lim
x 3 3 x 2 5 x 12
2x 3 2x 2
lim 3
x 0 5 x 4 x 2
x 2 5 x 10
lim
x 5
x 2 25
4 x 3 3x 2
lim
x 0 2 x 2 5
x 3
lim 2
x 3 x 9
lim 2 x 2 3x 4
x 2