Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Лекция 5

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

2.

Многие физические явления могут быть описаны
обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ОДУ), т.е. такими уравнениями, которые содержат
производные только по одной единственной координате.
переходные процессы в
сети.
процесс гашения
электрической дуги
(каналовые модели)
ОДУ в электротехнике:
взаимодействие электрической
дуги и сети(модели черного
ящика)
Задачи оптимизации
(нахождение наилучших
конструктивных решений при
заданном числе ограничений)

3. обыкновенные дифференциальные уравнениЯ

Начальная задача
(задача Коши)
Краевая
задача

4.

Задача Коши — одна из основных задач
теории дифференциальных уравнений;
состоит в нахождении решения (интеграла)
дифференциального уравнения (системы
дифференциальных уравнений),
удовлетворяющего начальным условиям
(начальным данным).
В задаче Коши область, в которой должно
быть определено искомое решение, заранее
не указывается.

5.

Модельная задача.
dU(x)
dx A U(x)
x (0,1]
U =U
o
x=0
U(x)=Uo e
-A x
(1)

6.

Дискретное пространство – это
совокупность узлов сетки,
характеризуемых шагом (const или нет)
и означаемым h-параметром
Модель:
разобьём ось х на промежутке (0,1] на М равных
частей и получим дискретное пространство
1
h
M
x m =m h,
при 0 m M

7.

dU
U
lim
dx x 0 x
U m 1 - U m
- A U m ,
h
m=0,M-1
Записанная в таком виде задача
представляет собой аппроксимацию
дифференциального уравнения на
дискретном пространстве h (на сетке h).

8.

U m 1 (1- A h) U m
m=0,M-1
Если в правой части стоит функция общего вида f(x,y(x)),
то наша схема запишется таким образом:
yk yk 1 f xk 1 , yk 1 h
Это схема Эйлера

9.

Разностная формула представляет собой
разностную схему для модельной
дифференциальной задачи на дискретном
пространстве h (или просто на сетке).
Конфигурацию узлов, используемую для
разностной записи уравнений на сетке, называют
шаблоном.
Шаблон, используемый на предыдущем
слайде для аппроксимации – двухточечный.

10.

Поскольку начальное значение функции U известно, это
U0, то решение в любой точке нашего дискретного
пространства находится по формуле: U m 1 (1- A h) U m
U m 1 (1- A h)
Значение сеточной
промежутка:
UM
m 1
функции
U o
в
m=0,M-1
последней
точке
A M
-A
U o (1- ) M 0 h 0 A e
M
Значение сеточной функции в произвольной точке
промежутка:
U m U o (1- A h) U o (1- A h)
m
xm
h
A xm m
U o (1) h 0U o e- A xm
m

11.

Если значение функции в точке, полученное в
результате решения разностного уравнения
стремиться, при уменьшении шага, к значению
в этой точке функции, полученной в результате
решения
исходного
дифференциального
уравнения, то говорят, что имеется
сходимость.

12.

Погрешность
использованной
разностной схемы будет
порядка h.
Или иначе: данная
разностная схема имеет
первый порядок
точности.

13.

1 2U 2 h3 3U
U
U ( h) U o
h 2 h 3 ...
2 x 0
6 x
x 0
h2
h3
U ( xm h) U ( xm ) h U '( xm ) U ''( xm ) U '''( xm ) ...
2
6
U ( xm h) - U ( xm )
U '( xm ) 0(h)
h
U '( xm ) - A U m
U ( xm h) - U ( xm )
- A U m 0(h)
h

14.

dU
U
lim
dx x 0 x
U m 1 - U m
- A U m ,
h
m=0,M-1
Записанная в таком виде задача
представляет собой аппроксимацию
дифференциального уравнения на на
дискретном пространстве h (на сетке h).
Типы разностей!!!!!

15.

Центральные разности
h2
h3
U ( xm - h) U ( xm ) - h U '( xm ) U ''( xm ) - U '''( xm ) ...
2
6
2 3
U m 1 - U m-1 2h U '( xm ) h U '''( xm ) 0(h 4 )
6
U m 1 - U m-1
1 2
U '( xm ) h U '''( xm ) 0(h3 )
2h
6
U m 1 - U m-1
U '( xm ) 0(h 2 )
2h
U m 1 - U m-1
- A U m ,
2h
m 0, M -1

16.

Формальные определения.
Введем следующие обозначения:
LU=f – дифференциальная задача (1)
U(x) - искомое решение ( пусть непрерывное)
L
- заданный дифференциальный оператор
f
- заданная функция (правая часть)
ω(h) совокупность
узлов
разностной
сетки,
принадлежащая дискретному пространству D (считаем,
что по любому направлению шаг постоянен).
h
- шаг сетки
U(h) - сеточная функция
LhU(h)=f(h) , Lh – заданный разностный оператор (2)
Сравнению функций U(x) и U(h) препятствует их разная
функциональная природа. Снесём U(x) на сетку:
U h
xm
U ( xm )
проектирование решения на сетку

17.

Сходимость: решение разностной задачи (2) U(h)
сходится к решению задачи (1) если
U h U h
U h h 0
0
в пространстве сеточных функций.
Если ,
h
k
U U h U h c h , c, k 0
то имеет место сходимость порядка “k”.

18.

Аппроксимация: разностная задача (2)
аппроксимирует (1) на решение U(x), если
f h Fh
0
h 0
где Fh - пространство сеточных функций
правых частей, т.е.
Lh U h f ( h) f ( h)
и δf(h) - погрешность аппроксимации или невязка
или если существуют такие C1, k1, большие
нуля, что
h
k1
f
C1h
то имеет место аппроксимация порядка h k1

19.

Устойчивость:
] n Fh и
L h z h =f (h) + (h) z (h)
если (не большого) (h) !z (h) и z h U h
Un
C 2 (h)
Разностная схема устойчива, if такие два числа h 0 и 0 :
(h) Fh для которых (h) разностная схема L h z h =f h + h
имеет !z h , удовлетворяющие неравенству z h U h
Uh
C2 h
Fh
h<h 0
Другая формулировка: - разностная задача устойчива, если
h 0 >0: h<h 0 решение Lh U h =f h является ! и ограниченным
по норме: U h C3 f h
Fn

20.

Теорема Лакса: из
аппроксимации и
устойчивости
следует сходимость.

21.

Метод Рунге-Кутты
Семейство схем Рунге-Кутты основано на различной
аппроксимации неизвестных аргументов y (tn) в правых
частях дифференциальных уравнений f(t,y).
Классический метод Рунге-Кутты используют для
расчета стандартных моделей достаточно часто, так как
при небольшом объеме вычислений он обладает
точностью метода Ο4(h).
Данный метод не применим для жестких ОДУ.

22.

Схемы Рунге-Кутты IV порядка
точности

23.

Метод Адамса-Бэшфорта
Метод основан на аппроксимации интерполяционными
полиномами правых частей ОДУ. В зависимости от
типа экстраполяции будут получаться алгоритмы
различного порядка аппроксимации.
Методы Адамса-Бэшфорта могут быть как явными так
и неявными.
Данный метод не применим для жестких ОДУ.

24.

Схема Адамса-Бэшфорда
При решении ОДУ на n-м шаге численного решения имеем
точную формулу интегрирования:
yn 1 yn
tn 1
f (t , y (t ))dt
t0
Для построения схемы по значениям функции, вычисленным в n
предшествующих узлах, строится интерполяционный полином –
Ln-1(x),
который
используется
при
интегрировании
дифференциального уравнения. Интеграл при этом выражается