Основные теоремы о пределах

1. 1. Основные теоремы о пределах

Теорема 1: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов.
lim f ( x) ( x) lim f ( x) lim ( x)
x a
x a
x a
Следствие 1: Функция может иметь только один предел при х→а.
Теорема 2: Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов.
lim f ( x) ( x) lim f ( x) lim ( x)
x a
x a
x a
Следствие 2: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim с f ( x) с lim f ( x)
x a
x a

2. 1. Основные теоремы о пределах

Теорема 3: Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.
lim (x) 0
f ( x)
f ( x) lim
lim
x a
x a
( x) lim ( x)
x a
x a
lim g ( x) и lim f ( x) 0
x a
Теорема 3.1. : Если существуют пределы
x a
то существует
lim f ( x)
g ( x)
x a
lim f ( x)
x a
lim g ( x )
x a

3. 2. Признаки существования пределов.

Теорема 4 (о пределе промежуточной функции): Если функция f(x) заключена между
двумя функциями φ(x) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также
стремится к этому пределу, т.е. если
lim ( x) A
x a
И
lim g ( x) А
x a
( x) f ( x) g ( x) , то
lim f ( x) A
x a
Теорема 5. : Если функция f(x) монотонна и ограничена при x<a или при
x>a, то существует соответственно ее левый и правый предел

4. 3. Замечательные пределы. Первый замечательный предел

sin x
lim
1
x 0
x

5. 3. Замечательные пределы. Второй замечательный предел

x
1
lim 1 e
x
x
1
lim 1 e
0