Zamechatelnye_predely

1.

Лекция.
Предел функции. Замечательные
пределы, раскрытие
неопределенностей. Односторонние
пределы, классификация точек
разрыва.

2. Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,
кроме, быть может самой точки x0.
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x → x0),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство:
f (x) − A
0; 0; x : x − x0 f ( x ) − A
lim f ( x) = A
x → x0

3. Предел функции в точке

0; 0; x : x − x0 f ( x ) − A
ε окрестность точки А
y
2
А
0
х0
х
δ окрестность точки x0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ –
окрестности точки x0 точки графика функции лежат
внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у
=А+ε,у=А-ε.

4. Односторонние пределы

В определении предела функции
lim f ( x ) = A
x → x0
предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь
меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или
колеблясь около точки x0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно
влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних
пределов.
Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого
ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех x ( x0 − ; x0 ) справедливо
неравенство:
f ( x ) − A1
Предел слева записывают так:
lim f ( x) = A1
x → x0 −0

5. Односторонние пределы

Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если
0; 0; x (x0 ; x0 + ) f ( x ) − A2
Предел справа записывают так:
Пределы функции слева и справа
называют односторонними
пределами.
y
А2
А1=А2=А
А1
0
lim f ( x ) = A2
x → x0 + 0
Очевидно, если существует
х0
х
lim f ( x ) = A
x → x0
то существуют и оба
односторонних предела, причем
А = А1 = А2

6. Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке
(− .; )
x → , если
0; M 0; x : x M f ( x ) − A
Число А называют пределом функции при
lim f ( x ) = A
x →
Геометрический смысл этого
определения таков:
существует такое число М, что при
х > M или при x < - M точки
графика функции лежат внутри
полосы шириной 2ε, ограниченной
прямыми:
у=А+ε,у=А-ε.
y
2
А
0
М
х

7. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функций.
Формулировка теорем, когда x → x0 или x → аналогичны,
поэтому будем пользоваться обозначением: lim f ( x ) .
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) = lim f1( x ) limf2 ( x )
Предел произведения двух функций равен произведению
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) = limf1( x ) lim f2 ( x )
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C f ( x ) = C lim f ( x )

8. Основные теоремы о пределах

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
f1( x ) lim f1( x )
lim
=
f2 ( x ) lim f2 ( x )
(lim f ( x ) 0)
2
Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim f ( x ) = lim f ( x )
n
n
Предел показательно – степенной функции:
lim f ( x )
g(x)
= lim f ( x )
lim g ( x )

9. Основные теоремы о пределах

Если между соответствующими значениями трех функций
u = u( x );
z = z( x ); v = v ( x )
выполняются неравенства: u z v, при этом:
lim u( x ) = lim v ( x ) = A тогда: lim z( x ) = A
Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x0 или при
x > x0, то существует соответственно ее левый предел:
lim
f
(
x
)
=
A
1
x → x −0
0
или ее правый предел:
lim f ( x ) = A2
x → x0 + 0

10. Вычисление пределов

Вычисление предела:
lim f ( x ) = A
x→x
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x − 1
3 1− 1
lim
=
=2
2
2
x →1
x
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
=
0
C
=0

11. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ; −
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется раскрытие
неопределенности.

12. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 + 14 x − 32
0
(
x − 2)(x + 16 )
lim
=
= lim
2
x →2
x →2
x − 6x + 8
0
(x − 2)(x − 4)
x + 16 18
= lim
=
= −9
x →2
x−4
−2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x +1−1 x +1+1
0
x + 1 − 1 функция,
необходимо разложить
=наlim
=
lim
Если f(x) – иррациональная
x
→
0
x →0
0
x
множители
числитель
и
x + 1 +умножить
1
дробь, x
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x + 1− 1
1дроби на выражение,
1
= lim
= lim
= числителю.
x →0
x →0
сопряженное
x x +1+1
x +1+1 2
(
(
)
(
)(
)
)

13. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
2x 2 3 x 1
+ 2 + 2
2
2x 2 + 3 x + 1
x
x
x
lim
=
=
lim
x →
x → 4 x 2
4 x 2 + 2x + 5
2x 5
+ 2 + 2
2
x
x
x
3 1
2+ + 2
C
2+0+0 1
x
x
= lim
= f(x) =– дробно
0 = –
=
Если
x →
2 5рациональная
4+0+0 2
функция
или
4+ + 2
x x иррациональная дробь
необходимо разделить
числитель и знаменатель
дроби на x в старшей степени

14. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
(
−
)
2
2
= −
lim
x
+
1
−
x
−
1
x →
(
x + 1 − x − 1) ( x + 1 + x − 1)
= lim
( x + 1 + x − 1)
2
x →
= lim
x →
2
2
2
2
2
Умножим и разделим
2
( x + 1) − ( x функцию
− 1)
на
сопряженное
= lim
2
x →
2
2
выражение.
2
2
( x + 1 + x − 1)
2
= =0
( x + 1 + x − 1)
2

15. Первый замечательный предел

Функция
sin x
x
не определена при x = 0.
Найдем предел этой функции при
М С
x
О В А
OA = 1
x →0
0 x
2
Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 - площадь сектора OMА,
S3 - площадь треугольника OСА,
Из рисунка видно, что S1< S2 < S3
1
1
1
S1 = OA MB = OA 0M sin x = sin x
2
2
2

16. Первый замечательный предел

М С
x
О В А
1
1
S 2 = OA ОM = x
2
2
1
1
S3 = OA AC = 1 tgx
2
2
1
1
1
sin x x tgx
2
2
2
sin x x tgx
sin x
cos x x
x tgx
sin x
x sin x
1
x
sin x
cos x
1
x

17. Первый замечательный предел

sin x
cos x
1
x
lim cos x = cos 0 = 1
x →0
lim1 = 1
sin x
lim
=1
x →0
x
x →0
Формула справедлива также при x < 0
Следствия:
x
lim
=
1
x →0
sin x
tgx
lim
=1
x →0
x
x
lim
=
1
x →0
tgx
sin kx
lim
=
1
x →0
kx

18. Первый замечательный предел

0
1 − cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
=
lim
= lim
= 2 lim
2
2
x →0
x→
0
x
→
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x = 2 lim 2 sin 2 x =
x →0
= 2 lim
2x
x →0 x
2
2
sin 2 x
2
= 2 2 lim
= 2(2 1) = 8
x →0
2x
2

19.

СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
tg (ax )
sin (ax )
sin (ax )
1
lim
= lim
= lim
lim
=1
x →0
x →0 (ax ) cos(ax )
x →0
x →0 cos(ax )
ax
ax
tg (ax )
lim
=1
x →0
ax
arctg (ax )
lim
=1
x →0
ax
arcsin (ax )
lim
=1
x →0
ax
19

20.

ПРИМЕРЫ.
(
sin (5 x ) 0
5x) 5
lim
= = lim
= .
x →0
3x
0 x →0 3 x 3
(
tg (3x ) 0
3x )
lim
= = lim 2 = 9.
2
x →0
x
0 x →0 x
2
2
20

21.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
x
1
lim 1 + = e
x →
x
СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
1
t
t=
1
1/ x
lim (1 + x ) =
= lim 1 + = e
x
x →0
t →
t
x→0 t →
lim (1 + x )
1/ x
x →0
=e
21

22.

ln ( x + 1)
ln (x + 1)
1/ x
=1
lim
= lim ln (1 + x ) = ln e = 1 lim
x →0
x →0
x →0
x
x
(
)
t = ex −1
еx −1
t
еx −1
lim
= x = ln (t + 1)
= lim
= 1 lim
=1
x →0
t →0 ln (t + 1)
x →0
x
x
x→0 t →0
22

23.

ax
1
lim 1 + = e
x →
ax
lim (1 + ax )
1/ ( ax )
x →0
=e
ln (ax + 1)
lim
=1
x →0
ax
е ax − 1
lim
=1
x →0
ax
23

24.

ПРИМЕРЫ.
е7 x − 1
7x
lim
= lim
= 7.
x →0
x →0 x
x
ln (2 x + 1)
2x 2
lim
= lim
= .
x →0
x →0 7 x
7x
7
1
5x
lim (1 + 3x ) = (1 + 0)
x →0
= lim (1 + 3x )
x →0
1
3x
3 x
1
5x
3
5
=e .
24

25. Таблица эквивалентности

1) sin x x, x → 0
3) arcsin x x, x → 0
x2
5)1 − cos x , x → 0
2
x
7)а − 1 x ln a, x → 0
9) log a (1 + x) x log a e, x → 0
2)tgx x, x → 0
4)arctgx x, x → 0
6) е x − 1 x , x → 0
8) ln( 1 + x) x, x → 0
10)(1 + x) k −1 kx, k 0, x → 0
x
11) 1 + x − 1 , x → 0
2

26. Определение непрерывности функции

Функция y = f (x) называется непрерывной в
точке x0 , если выполняются условия:
1) Функция определена в точке x0 ;
2) Односторонние пределы функции в точке x0
равны между собой:
lim
f
(
x
)
=
lim
f
(
x
)
;
x → x −0
x → x0 + 0
0
3) Односторонние пределы равны значению
функции в точке x0:
f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) .
x→lim
x → x0 + 0
x → x0
x0 −0

27. Свойства непрерывных функций

1. Если даны две непрерывные функции в
точке x0, то их сумма, разность и
произведение является непрерывной
функцией.
2. Основные элементарные функции
непрерывны в своей области определения;
3. Функция является непрерывной на
интервале, если она непрерывна в каждой
точке этого интервала.

28. Определение точки разрыва функции

Если в точке x0 нарушается хотя бы
одно
условие
определения
непрерывности в точке x0 , то такая
точка называется точкой разрыва
функции y = f (x).

29. Точки разрыва функции

Определение
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x),
если в ней не выполняется по крайней мере одно из
условий непрерывности функции
Классификация точек разрыва
Точки разрыва
I рода
II рода
точки устранимого точки
разрыва
скачка

30. Точки разрыва

Определение 1
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) I рода,
если существуют конечные пределы
f ( x − 0) = xlim
f ( x) ,
→ x −0
причем не все 3 числа 0
0
f ( x + 0) = lim f ( x)
0
x → x0 + 0
равны между
собой
f ( x0 ), f ( x0 − 0), f ( x0 + 0)
Определение 2
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке
f ( x − 0) = xlim
f ( x) ,
→ x −0
0
не существует или равен
0
f ( x0 + 0) = xlim
f ( x)
→x +0
0

31. Точки устранимого разрыва

Точка x=x0 называется точкой устранимого разрыва функции
y=f(x),если существуют конечные пределы
f ( x0 − 0) = xlim
f ( x) ,
→ x −0
причем
0
f ( x0 + 0) = xlim
f ( x)
→x +0
0
f ( x0 − 0) = f ( x0 + 0) f ( x0 )
y
sin x
, xимеет
0
Функция
y= x
2, x = 0
устранимый разрыв в точке 0
sin x
sin x
=1
f (0 + 0) = lim
= 1 f (0 − 0) = lim
x
→
0
−
0
x →0 + 0
x
x
x
f ( 0) = 2
f (0 − 0) = f (0 + 0) f (0)

32. Точки скачка

Точка x=x0 называется точкой скачка функции y=f(x),если
существуют конечные пределы
f ( x0 −, где
0) = xlim
f ( x) , - скачок
f ( x0 +функции
0) = xlim
f ( x)
причем
→ x0 − 0
→ x0 + 0
y=f(x) в точке
y f (xx0 − 0) f ( x + 0)
f ( x + 0) − f ( x − 0)
0
0
0
y
Функция
0
x − 1,−1 x 2
имеет
y=
2 − x, 2 x 5
скачок в точке 2
x
-1
2
5
f (2 + 0) = lim f ( x) = 0
x→2+ 0
f (2 − 0) = lim f ( x) = 1
x →2−0
f ( 2) = 0
f (2 − 0) f (2 + 0)
f (2 + 0) − f (2 − 0) = 1 - скачок

33. Точки разрыва II рода

Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке
f ( x − 0) = xlim
f ( x) ,
→ x −0
0
не существует или равен
0
f ( x0 + 0) = xlim
f ( x)
→x +0
0
1
имеет
y=
x−2
разрыв II рода в точке 2
Функция
y
2
x
1
f (2 − 0) = lim
= −
x →2−0 x − 2
1
f (2 + 0) = lim
= +
x→2+ 0 x − 2

34. Классификация точек разрыва

y
y A2 = +
A1
A2
0
A1 ≠ A2 ≠ ∞
0
x
A1= -
Разрыв 2-го рода
y
Разрыв 1-го рода
A1 = A2 ≠ f (x0)
0–
2
x
Устранимый разрыв
x