Теоремы о пределах. Предел дробнорациональной функции. (Лекция 9)

1. Курс лекций по математике. 1 семестр.

Лекция 9. Теоремы о пределах. Предел дробнорациональной функции. Первый и второй
замечательные пределы. Непрерывность функции
в точке и на интервале. Точки разрыва, их
классификация. Свойства функций, непрерывных
на отрезке.
Авторы: В.А. Тимофеев, доцент кафедры «ПЕД»
А.А. Тимофеев, доцент кафедры «ПЕД»

2. Свойства функций, имеющих предел

Теорема. Если функция f (x) имеет предел
при x x , то этот предел единственный.
0
Теорема. Пусть даны три функции f (x) , (x),
g (x), которые определены в некоторой
окрестности O ( x ) и удовлетворяют условию
( x) f ( x) g ( x) в этой окрестности. Тогда,
если lim ( x) lim g ( x) b , то lim f ( x) b .
0
x x0
x x0
x x0

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f (x) называется б/м функцией при
x x , если lim f ( x) 0 .
Пример.
Функции y sin x и y x являются б/м при
x 0 , т.к. lim sin x 0 и lim x 0.
Теорема. Пусть f (x) , (x) – б/м функции при
x x . Тогда: F ( x) f ( x) ( x) – б/м функция
при x x .
Теорема. Пусть f (x) – б/м функция при x x
и функция (x) – ограничена в O ( x ) , тогда
F ( x) f ( x) ( x) – б/м функция при x x .
0
x x0
x 0
x 0
0
0
0
0
0

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Теорема. Пусть f (x) – б/м функция при x x ,
функция g (x) имеет предел lim g ( x) b 0 .
Тогда:
f ( x)
– б/м функция при x x .
F ( x)
g ( x)
0
x x0
0
Функция g (x) называется б/б при x x , если
для любого сколь угодно большого наперед
заданного числа E 0 существует 0 такое,
что для любого x : 0 x x g ( x) E .
0
0
Обозначение: lim g ( x) .
x x0

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Теорема. Пусть g (x) – б/б функция при x x .
Тогда функция g (1x) является б/м функцией при
x x .
0
0
Теорема. Пусть f (x) – б/м функция при x x .
Тогда функция f 1( x) является б/б функцией при
x x .
0
0

6. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если функция f (x) имеет предел в
точке x , равный b , т.е. lim f ( x) b , то
функцию f (x) можно представить в виде
f ( x) b ( x) , где функция (x) – б/м функция
при x x .
0
x x0
0
Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если
функцию f (x) можно представить в виде
суммы постоянного числа b и некоторой
функции (x) – б/м при x x , т.е.
f ( x) b ( x) , то существует lim f ( x) b .
0
x x0

7. Основные теоремы о пределах

Теорема 3. Пусть lim f ( x) a и lim g ( x) b .
Тогда функция f ( x) g ( x) имеет в точке x
предел
lim f ( x) g ( x) a b lim f ( x) lim g ( x) .
x x0
x x0
0
x x0
x x0
x x0
Теорема 4. Пусть lim f ( x) a и lim g ( x) b .
Тогда функция f ( x) g ( x) имеет в точке x
предел
lim f ( x) g ( x) a b lim f ( x) lim g ( x) .
x x0
x x0
0
x x0
x x0
x x0

8. Основные теоремы о пределах

Следствие 1. Постоянный множитель можно
выносить за знак предела:
lim c f ( x) c lim f ( x) .
x x0
x x0
Следствие 2. Предел функции f (x) в степени
n ( n N ) :
lim f ( x) lim f ( x) .
n
x x0
n
x x0
Теорема 5. Пусть lim f ( x) a и lim g ( x) b 0 .
Тогда функция gf ((xx)) имеет предел:
x x0
x x0
f ( x) lim f ( x) a
.
lim
g ( x) lim g ( x) b
x x0
x x0
x x0

9. Предел дробно-рациональной функции

Дробно-рациональной функцией называется
функция вида f ( x) QP ((xx)) , где P (x) – многочлен
n -степени относительно переменной x, Q (x)
– многочлен k -степени.
n
n
k
k
x 3x 1
Пример 1. Вычислить lim
.
x 2x
2
x 1
3
Решение.
lim( x 3x 1)
x 3x 1
lim
x 2x
lim( x 2 x)
2
2
теорема 5
теорема 3
x 1
x 1
3
3
x 1

10. Предел дробно-рациональной функции

теорема 3
lim x lim 3x lim1
2
x 1
x 1
x 1
lim x lim 2 x
3
x 1
x 1
( lim x ) 3 lim x lim1 1 3 1 1 1 3 1 5
.
( lim x ) lim 2 lim x
1 2 1
1 2
3
2
2
x 1
x 1
x 1
3
x 1
3
x 1
x 1
x 2x 1
Пример 2. Вычислить lim
.
x 2 x 3x 2
2
x 1
3
2
Решение.
x 2x 1
0
( x 1)
lim
lim
x 2 x 3x 2 0
( x 1)( x x 2)
2
x 1
3
2
2
x 1
2

11. Предел дробно-рациональной функции

x 1
0
lim
0 .
x x 2 2
x 1
2
x x 1
Пример 3. Вычислить lim
.
x x x 3
2
x
4
2
Решение.
x x 1
1 x 1 x 1 x
lim
lim
x x x 3
1 1 x 1 x 3 x
2
x
4
2
2
0
0 .
1
x
3
2
4
3
4

12. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел

sin x
Теорема. lim
1 – первый замечательный
x
предел.
x 0
1
f ( x) 1
x
x
Рассмотрим функцию
. Эта функция
монотонно возрастает. Можно доказать, что
она имеет предел при x , т.е. существует
1
lim 1 e 2,71828... lim 1 x e .
x
x
1x
x
x 0
Этот предел называется вторым замечательным
пределом.

13. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть даны функции f (x) и g (x), б/м при x x .
0
Если
lim
x x0
f ( x)
0
g ( x)
, то говорят, что функция f (x)
имеет больший порядок малости при x x ,
чем функция g (x) .
0
Если
lim
x x0
f ( x)
g ( x)
, то говорят, что функция f (x)
имеет меньший порядок малости при x x ,
чем функция g (x) .
0

14. Сравнение бесконечно малых функций

Если
lim
x x0
f ( x)
a 0
g ( x)
, то говорят, что функции f (x)
и g (x) имеют одинаковый порядок малости
при x x . При этом, если a 1 , функции f (x)
и g (x) называют эквивалентными
(обозначение: f ( x) ~ g ( x) ) при x x .
0
0
Можно доказать:
x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x при x 0 .
Пример.
arcsin 3x arcsin 3x ~ 3x,
3x 3 .
lim
lim
sin 5 x
sin 5 x ~ 5 x
5x 5
x 0
x 0

15. Непрерывность функции

Функция y f (x) называется непрерывной в
точке x , если выполняются условия:
1) f (x) определена в точке x и некоторой ее
окрестности;
2) существует lim f ( x);
3) этот предел равен значению функции в
точке x : lim f ( x) f ( x ) .
Функция f (x) называется непрерывной в
точке x , если эта функция определена в
некоторой окрестности точки x и если
lim y 0 .
0
0
x x0
0
x x0
0
0
0
x x0

16. Непрерывность функции

Функция f (x) называется непрерывной на
отрезке (интервале), если она непрерывна в
каждой точке данного отрезка (интервала).
Существует понятие непрерывность слева
(справа). В этом случае в исследуемых точках
вычисляются односторонние пределы. Если не
выполняется хотя бы одно из условий данных
определений, то функция f (x) не будет
непрерывна в точке x , и точка x в этом
случае называется точкой разрыва функции
f (x) .
0
0

17. Непрерывность функции

Точки разрыва принято подразделять на два
типа.
Точка x (точка разрыва) называется точкой
разрыва I-го рода функции f (x) , если
существуют односторонние пределы этой
функции при x x слева и справа. Все
остальные точки разрыва относятся к точкам
разрыва II-го рода.
0
0

18. Непрерывность функции

Точка разрыва I-го рода x функции f (x)
называется устранимой точкой разрыва, если
существуют односторонние пределы функции
в точке f и(xони
) равны: x
lim f ( x) lim f ( x) .
0
0
x x0 0
x x0 0
Если lim f ( x) a lim f ( x) b , то говорят, что
функция f (x) совершает в точке x скачок на
величину h b a .
x x0 0
x x0 0
0

19. Операции над непрерывными функциями

Теорема 1. Пусть функции f (x) и g (x)
определены в точке x и некоторой ее
окрестности. Тогда, если функции f (x) и g (x)
непрерывны в точке x , то функции f ( x) g ( x) ,
f ( x) g ( x) будут также непрерывны в точке x .
Кроме того, если g ( x ) 0 , то функция gf ((xx))
непрерывна в точке x .
Теорема 2. Пусть функция u (x) непрерывна
в точке x и функция y f (u ) непрерывна в
точке u , где u – значение функции в точке x(
( xсложная
)
),uтогда
функция
y( x) f [ ( x)]
будет непрерывна в точке x .
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке [ a; b ]

Пусть функция f (x) определена на множестве
X . Наибольшим значением функции f (x)
называется такое число M , что для любого
x X f ( x) M и для любого M M
существует x X : f ( x) M .
1
1
Обозначение: max f ( x) M .
x X
Наименьшим значением функции f (x) на
множестве X называется такое число m , что
для любого x X f ( x) m и для любого
m m существует x X : f ( x) m .
1
1
Обозначение: min f ( x) m .
x X

21. Свойства функций, непрерывных на отрезке [ a; b ]

Наибольшее и наименьшее значения могут не
достигаться функцией.
Теорема 1. Пусть функция f (x) определена и
непрерывна на отрезке a; b . Тогда она
достигает на этом отрезке своего наименьшего
и своего наибольшего значения.
Теорема 2. Пусть функция f (x) непрерывна на
отрезке a; b и принимает различные по знаку
значения на его концах, т.е. f (a) f (b) 0. Тогда
существует хотя бы одно x a ; b такое, что
f (x ) 0 .
0
0

22. Свойства функций, непрерывных на отрезке [ a; b ]

Теорема 3 (о промежуточном значении).
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке
f ( x) M , min
f ( x) m . Тогда для
a; b и max
x a ; b
x a ; b
любого числа c m ; M существует x a ; b
такое, что f ( x) c.
Пусть дана функция y f (x) . Тогда обратной
функцией для f (x) называется функция f ( y):
для любого y Y выполняется f ( y) x, где
f ( x) y .
1
1

23. Свойства функций, непрерывных на отрезке [ a; b ]

Теорема 4. Пусть функция f (x) определена и
непрерывна на отрезке a; b и является на
всем этом отрезке либо возрастающей
функцией, либо убывающей. Тогда обратная
функция x f ( y) будет непрерывной на
отрезке c; d , где c; d – множество
значений функции f (x) .
1

24. Задания для самостоятельной работы. Контрольный опрос

Самостоятельно проработать материал по
пособию «Краткий курс лекций по высшей
математике. I семестр» (стр. 81 – 93).
Подготовить ответы на вопросы:
1. Свойства функций, имеющих предел.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции.
3. Предел дробно-рациональной функции.
4. Первый и второй замечательные пределы.

25. Задания для самостоятельной работы. Контрольный опрос

5. Непрерывность функции, операции над
непрерывными функциями.
6. Вычислить:
4x 2x 1
.
lim
x 3x x 2
3
x
4
2
Ответы в течение дня загружать в ЛК.

26. Литература

Тимофеев В.А., Тимофеев А.А. Краткий курс
лекций по высшей математике. I семестр.
Электронное учебно-методическое пособие по
дисциплине “Математика” для студентов направления
08.03.01 “Строительство” .
© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2020.