Уравнения с модулем

1.

Цель: повторить , обобщить и
систематизировать знания учащихся о
модуле и его свойствах, умения решать
различные уравнения , содержащие
модуль.

2. Определение модуля

а, если а 0,
а
а, если а 0.
ab a b
x
x
, y 0.
y
y
x x
2
2
x2 x
x y x
2
y
log a x 2 2 log a x

3. Геометрический смысл модуля

Геометрически x есть расстояние
от точки х числовой оси до начала
отсчёта – точки О.
x
x
0
x 0
x
x a
есть расстояние между
точками х и а числовой оси.
x
x
0
x a
x
0
a
x
a x 0

4.

1.Простейшее уравнение,
содержащее модуль, где b>0:
f ( x) b,
f ( x) b
f ( x) b.
2.Уравнение более общего вида,
содержащее модуль:
g ( x) 0,
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x).

5. Простейшие уравнения вида ,b>0.

Простейшие уравнения вида f ( x) b ,b>0.
1.
По определению модуля
2 x 3 5,
2 x 8,
x 4,
2x 3 5
2 x 3 5 2 x 2 x 1.
Ответ : 1;4

6. Уравнения более общего вида

f ( x) g ( x)
Условие
g ( x) 0
2 x 0,
x 2,
x 2,
x 2,
3. x 4 3(2 x) x 4 3(2 x), x 4 6 3x, 4 x 2, x 0,5, x 0,5.
x 4 3(2 x) x 4 6 3x 2 x 10 x 5
Ответ : 0,5.

7. Уравнения вида

f ( x) g ( x) .
уравнение
f ( x) g ( x) 0, f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( f ( x) g ( x))( f ( x) g ( x)) 0
f ( x) g ( x) 0. f ( x) g ( x).
2
2
4
x ,
6 x 5 7 3 x ,
9 x 12,
3
12. 6 x 5 7 3 x
6 x 5 (7 3 x) 3 x 2
x 2 .
3
2 1
Ответ : ,1 .
3 3

8. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

Иррациональное уравнение
2 x 5 3x 10,
8. 4 x 20 x 25 3x 10 (2 x 5) 3x 10
3x 10 0
2
2
x 3,
2 x 5 3x 10, 5 x 15,
x 5,
2 x 5 3x 10, x 5,
x 5.
1
3x 10 0
3x 10
x
3
3
Ответ : 5.

9. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

f ( x) b f ( x) b
2
log a f ( x) b 2 log a f ( x) b
2

10. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль

Логарифмическое уравнение
x 27,
9. log 3 x 6 2 log 3 x 6 log 3 x 3 x 27
x 27.
Ответ : 27;27.
2

11. Иррациональные уравнения, содержащие модуль.

В силу того, что
однозначно
.
x 2,5 модуль x 4
раскрывается
2
2
5
9
x
x
4
4
x
2
0
x
2
5
,
2
5
9
x
x
4
5
2
x
2
5
9
x
x
4
2
x
5
2
x
5
0
;
x
0
,
2
2 2
2
9
x
x
4
4
x
2
0
x
,
9
x
3
6
x
4
x
2
0
x
0
,
5
x
1
6
x
0
,
1
x
0
.
x
3
,
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;
5
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;

12. Замена модуля.

x 2 1 t,
x2 1 t,
2
( x 2 1) 2 7 x 2 1 18 0 x 2 1 7 x 2 1 18 0 t 0,
t 0,
t 2 7t 18 0 t 9,
t 2
2
2
x 10,
x
1
9
,
x
10,
2
2
x 1 9 2
2
x 10
x 1 9 x 8
x 10.
Îòâåò : 10 ; 10.

13.

Уравнения, содержащие несколько модулей
и те, которые не сводятся к виду │f(x) │= g(x) решаются
с помощью метода интервалов:
1.Найдём значения x, при которых значение выражений,
стоящих под знаком модуля, равны нулю.
2.Найденные значения x разбивают ОДЗ на промежутки.
3.Запишем на каждом из промежутков уравнение без
знаков модуля. Получим совокупность систем.

14. Уравнения, содержащие несколько модулей. ( Решаемые с помощью метода интервалов)

10. x 1 x 2 x 3
1.Найдём значения х, при которых значения
выражений, стоящих под знаком модуля, равны 0:
х -1 = 0 при х = 1.
х – 2=0 при х = 2.
2. Эти значения разбивают ОДЗ на промежутки:
( ;1), 1;2 , (2; ).
3.Запишем на каждом из промежутков данное
уравнение без знаков модуля.
Получим совокупность систем.

15. Уравнение, содержащее несколько модулей.

Метод интервалов
x 1,
x 1,
x 1,
(
x
1
)
(
x
2
)
x
3
,
x
1
x
2
x
3
,
3x 0,
1 x 2,
1 x 2,
1 x 2, x 0,
x 1 x 2 x 3
( x 1) ( x 2) x 3,
x 1 x 2 x 3,
x 2,
x 6.
x
2
,
x
2
,
x 2,
( x 1) ( x 2) x 3
x 1 x 2 x 3
x 6
Îòâåò : 0;6.

16. Домашнее задание: Решите уравнения

1. 2 x 3 5
2. 1
x 3
5
4
3. x 4 3( 2 x )
4. 8 5 x 2
5. 36 5 x x 3 6 x
6.( x 2 1) 7 x 2 1 18 0
7. x 2 x 3 5
8. 4 x 2 20 x 25 3 x 10
9.9 log 3 x 2 6
10. x 1 x 2 x 3
11. log 22 ( x ) 3 log 2 x 2 5 0
12. 6 x 5 7 3 x
13. 8 x 1 4 x `13
14. 25 9 x x 4 5 2 x