Первообразная. Основное свойство первообразной

1. Первообразная. Основное свойство первообразной

2. Внимательно изучите теоретические сведения данной презентации и составьте конспект, опираясь на контрольные вопросы:

1) Какое действие является обратным для
дифференцирования? В чем его основная
задача?
2) Какая функция называется первообразной для
заданной функции?
3) Назовите основное свойство первообразной и
его геометрический смысл.
4) Составьте таблицу первообразных.
5) Запишите три основных правила нахождения
первообразных
6) Запишите примеры вычисления первообразных.
25.3.20

3. Дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные действия

Каждому математическому действию
соответ-ствует обратное ему действие. Так,
вычитание есть действие, обратное сложению,
деление – умноже-нию, извлечение корня –
возведению в степень и т.д.
Основной задачей дифференциального
исчисления является нахождение производной.
Для дифференцирования существует обратное
действие- интегрирование: нахождение
функции по заданной производной.
25.3.20

4.

Функция F(x)называется
первообразной для функции f(x) на
некотором промежутке, если для всех x
из этого промежутка
F ( x) f ( x)

5.

Основное свойство
первообразной
Если F(x)– первообразная для функции f(x) на
некотором промежутке, то функция F(x)+C также
является первообразной функции f(x) на этом
промежутке, где C –произвольная постоянная
Геометрическая интерпретация

6. Таблица первообразных

Функция
Первообразная
f(x) = k, где k-постоянная
f(x) = xn (n
Z, n≠-1)
F(x) = kx + C
F(x) = xn+1/n+1 + C
f(x) = 1/√х
F(x) = 2√х + С
f(x) = Sin x
F(x) = - cos x + C
f(x) = cos x
F(x) = Sin x + C
f(x) = 1/ cos2 x
F(x) = tg x + C
f(x) = 1/ sin2 x
F(x) = =ctg x + C
25.3.20

7.

Правила нахождения
первообразных

8.

Если F(x)– первообразная для функции f(x),
а G(x)– первообразная для функции g(x), то
F(x)+G(x)– первообразная для функции
f(x)+g(x)
Первообразная суммы равна сумме
первообразных

9.

Если F(x)– первообразная для функции f(x),
а а –константа, то аF(x)– первообразная
для функции аf(x)
Постоянный множитель можно
выносить за знак первообразной

10.

Если F(x) – первообразная для функции f(x),
k , то
0
а k и b- константы, причем
1
F (kx b) -первообразная для функции
k
f (kx b)

11.

x5
1
Пример 1. Показать, что функция F ( x)
5
является первообразной для функции
f ( x) x
4
Решение:
4
x
5x
4
F ( x) 1
x f ( x)
5
5
5

12.

Пример 2. Показать, что функция F ( x) 1 sin 2 x
является первообразной для функции
f ( x) 2 cos 2 x
Решение:
F ( x) 1 sin 2 x 2 cos 2 x f ( x)

13.

Пример 3. Найти первообразные для функции
f ( x) 5 x e
3
2 x 7
4 cos x
Решение:
4
x
1 2 x 7
F ( x) 5 e
4 sin x C
4 2