Похожие презентации:
Теплопроводность через плоскую стенку
1. Современные проблемы теплоэнергетики
Теплопроводность через плоскуюстенку
2. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях первого рода
tConst
tc1
h
q
x
0
dx
tc2
x
3. Дифференциальное уравнение теплопроводности (частный случай)
Ранее мы получили общий видqv
t
2
дифференциального уравнения
(1)
a t
c .
теплопроводности:
В частном случае, для стационарного процесса t / 0 ;
при отсутствии внутренних источников теплоты q 0:
v
из (1) при a 0 следует: 2t 0,
2
2
2
t
t
t
или развернутое выражение
0
2
2
2
x y z
оператора Лапласа:
.
(2)
Для бесконечной пластины: h ;b , то есть:
2t / y2 0; 2t / z2 0 .
Дифференциальное уравнение
d 2t
0 .
теплопроводности запишется в виде:
(3)
2
dx
4. Условия однозначности
Для рассматриваемого случая добавляемусловия однозначности:
● Геометрические: вертикальная пластина h ;b ,
● Физические: Const;
● Начальные: для стационарного процесса не требуются,
● Граничные условия I рода: при x 0 t t Const;
Найти:
t f ( x) ?;q ?
при
c1
x t tc2 Const.
После первого интегрирования
дифференциального уравнения (3) имеем:
После разделения переменных в (5):
dt
c1;
dx
dt c1dx;
(4)
(5)
(6)
5. Температурное поле
t c1x c2.После 2-го интегрирования:
Для определения констант интегрирования
подставляем (4) в (7):
при x 0 t
при
x
t tc2 c1 c2 c1 tc1;
откуда с учетом (5) имеем:
Откуда получаем:
t tC1
c1
tc 2 tc1
tC1 tC 2
x.
(7)
tc1 c2 ;
(8)
.
(9)
6. Удельный тепловой поток
По закону Фурье:q
dt
,
dx
Подставляя (9) в (10), получим:
q (tc1 tc2 ),
или в форме закона Ома:
t
q .
R
(10)
7. Теплопроводность через трехслойную плоскую стенку
21
t
3
tc1
t'
q
t"
tc2
0
1
2
3
x
8. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку при граничных условиях первого рода
Расчетная схемаλ
T c1
1
λ
λ
2
n
T c2
T
c3
T
cn
T
δ1
δ2
δn
cn+1
9. Удельный тепловой поток
Теплообмен в каждом слое опишется формулой:tC 1 tC 2
,
q1 1
1
tC 2 tC 3
,
q2 2
2
tCn tCn 1
.
qn n
n
(1)
10. Удельный тепловой поток
Так как теплообмен стационарный, то: q1 q2 qn q (2)Для вывода формулы перепишем уравнение (1) с учетом
уравнения (2), получим:
q 1
tC1 tC 2 ,
1
q 2
,
tC 2 tC 3
2
q n
tCn tCn 1 .
n
11. Удельный тепловой поток
Складываем части отдельно, получим:tС1 tС 2 tС 2 tС 3
q 1
1
q 2
2
q n
n
tСт tСт 1
.
12. Удельный тепловой поток
Отсюда получим:q
tC1 tCn 1
1 2
1 2
n
n
13. Теплообмен в плоской стенке при граничных условиях третьего рода.
Расчетная схема:T ж1
T c1
α2
T c2
α1
T ж2
δ
14. Удельный тепловой поток
Теплообмен на правой и левой поверхности стенки опишетсязаконом Ньютона – Рихмана:
q1 1 t Ж1 tС1 ;
q2 2 tС 2 t Ж 2
Теплообмен внутри стенки:
q3
tС 2 tС 3
15. Удельный тепловой поток
q1 q2 q3 qРазность температур:
t Ж 1 tС 1 ,
1
q
tC 2 t Ж 2
,
2
q
tC 1 tC 2
.
q
16. Удельный тепловой поток
Складываем:t Ж 1 t С 1 t С 2 t Ж 2 tС 1 tС 2
q
q q
1 2
17. Удельный тепловой поток
Окончательно:t Ж1 t Ж 2
q
1 1
1
2
18. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку при граничных условиях третьего рода
Плотность теплового потока:q
t Ж1 t Ж 2
i 1
1 i 1 i 2
1
n
19. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях второго рода
По закону Фурье:dt
q
const
dx
Перепишем уравнение и проинтегрируем:
qdx dt ,
x
t
0
tC 1
q dx dt
20. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях второго рода
Получим:qx t tC1 ,
выразим отсюда t:
t
1
tC1 qx
t tC1
qx
21. Графический метод определения температур между слоями
ttc1
A
t'
C
B
t"
G
E
0
F
1
1
2
2
3
3
D
tc2
R
22. Определение температур между слоями
Треугольники АBC и ADE подобны между собой по равенствутрех углов. Из их подобия следует:
AC AE
tg
,
BC DE
то есть
или:
tg
tc1 t '
1
1
tc1 tc2
1 2 3
1 2 3
q,
AC tc1 t ' , откуда находится температура t ' .
Аналогично, из подобия треугольников AFG и ADE:
AG tc1 t".
Отсюда находится температура
t".
23. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку
Constt
tc1
r
r1
r2
0
q
dr
tc2
r
24. Дифференциальное уравнение тепло-проводности для цилиндрической стенки
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндрической стенкиОбщее выражение дифференциального уравнения
qv
теплопроводности: t
2
a t
c
.
(1)
Для стационарного процесса
t / 0;
при отсутствии внутренних источников теплоты qv 0,
с учетом этих условий уравнение (1) примет вид a 2t 0 .
Но a 0 , тогда частный вид дифференциального уравнения
теплопроводности: 2t 0.
Или через развернутое выражение оператора Лапласа:
2
2
2
t
1
t
1
t
t
2 2 2 0 .
2t 2
r r r r z
(2)
25. Условия однозначности
Добавляем условия однозначности:● Геометрические условия:
r2 (бесконечная цилиндрическая стенка);
● Физические условия: Const;
● Начальные условия: для стационарного процесса не
требуются;
● Граничные условия I рода:
при
при
r r1
t tc1 Const;
r r2
t tc2 Const.
(3)
26. Преобразование дифференциального уравнения
В соответствии с геометрическими условиями однозначности,в бесконечной цилиндрической стенке температура не изменяется по координатам z и , тогда уравнение (2) примет вид:
(4).
Найти: t f (r ) ?;Q ?.
2
d t 1 dt
0,
2
dr r dr
Граничные условия:
Обозначим
dt
U ,
dr
t r1 tC1 ,
t r2 tC 2 .
27. Преобразование дифференциального уравнения. Решение
Уравнение (4) примет вид:Проинтегрируем:
Получим:
dU 1
U 0
dr r
dU
dr
U r ,
ln U ln r ln C1
28. Решение
Найдем из полученного выраженияln(Ur ) ln C1;
dt
r C1 ,
dr
t C1 ln r C2
Ur C1
dr
dt C1 r ,
29. Решение
Решение подчиним граничным условиям:tС1 С1 ln r1 C2 ,
,
tC 2 C1 ln r2 C2 .
tС1 tС 2 С1 ln r1 C 2 C1 ln r2 C2
tС 1 t С 2
r1
C1 ln
r2
30. Решение
Отсюда следует:C1
tC 1 t c 2
r1
ln
r2
Решение примет вид:
tC 1 t C 2
C 2 tC 1
ln r1.
r1
ln
r2
r
tС1 tС 2 ln
r1
t tС 1
,
r2
ln
r1
31. Тепловой поток
По закону Фурье:Q
tC1 tC 2 2 l
Q
r2
ln
r1
Q
ql ,
l
Вт
м
где
dt
F , Вт
dr
или
Q
F 2 rl
tC1 tC 2 l
ql
r2
1
ln
2 r1
,
tC1 tC 2
d2
1
ln
2 d1
32. Теплообмен в цилиндрической стенке при граничных условиях второго рода
По закону Фурье:dt
Q 2 rl const
dr
Проинтегрируем данное выражение:
получим:
r
t
dr
Q 2 l dt
r
r1
tC 1
r
Q ln 2 l t tC1
r1
Q
r
t tC1
ln
2 l r1
33. Теплообмен при граничных условиях третьего рода
TТеплообмен на внутренней
и наружной поверхности
стенки описывается законом
Ньютона – Рихмана:
ql1 1 t Ж1 tС1 d1
ql 2 2 tС 2 t Ж 2 d2
Внутри стенки:
ql 3
tC1 tC 2
d2
1
ln
2 d1
Расчетная схема:
T ж1
α2
Т с1
α1
Т с2
d1
Т ж2
d2
d
.
34. Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Так как теплообмен стационарный, тоql
tC 2 t Ж 2
,
d 2 2
d2
1
tC1 tC 2 ql
ln .
2 d1
ql
t Ж 1 tС 1
,
d1 1
ql1 ql 2 ql 3 ql
35. Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Получим:t Ж 1 tС1 tС 2 t Ж 2 tС1 tС 2
1
d2
1
1
ql
ln
d1 1 d 2 2 2 d1
Уравнение теплопередачи через цилиндрическую стенку:
ql
t Ж1 t Ж 2
1
d2
1
1
ln
1d1 2 d1 2 d 2
36. Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Линейное термическое сопротивление теплопередачи черезцилиндрическую стенку:
d2
1
1
1 мК
Rl
ln
,
1d1 2 d1 2 d 2 Вт
Тогда уравнение теплопередачи:
ql
t Ж1 t Ж 2
Rl
37. Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Полный тепловой поток:Q
t Ж1 t Ж 2 l
d2
1
1
1
ln
1d1 2 d1 2 d 2
Q ql l
, Вт
38. Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Линейный коэффициент теплопередачи через цилиндрическуюстенку:
1 Вт
kl
,
Rl м К
Тогда уравнение теплопередачи:
ql kl t Ж1 t Ж 2
39. Плотность теплового потока
Q Втq , 2 ;
F м
F1 d1l;
F2 d 2l.
t Ж1 t Ж 2
,
На внутренней поверхности: q1
d1
1 d1 d 2
ln
1 2 d1 2 d 2
На внешней поверхности:
t Ж1 t Ж 2
q2
.
d2
d2 d2 1
ln
1d1 2 d1 2
40. Теплопроводность через трехслойную цилиндрическую стенку
21
t
3
tc1
t'
r1
r2
r3
r4
0
q
t"
tc2
r
41. Теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку
Уравнение теплопередачи:ql
t Ж1 t Ж 2
n
1
1
1 di 1
1
ln
1d1 2 i 1 i
di 2 d 2
, Вт / м
42. Критический диаметр цилиндрической стенки
Линейное термическое сопротивление теплопередачи черезцилиндрическую стенку:
d2
1
1
1 мК
Rl
ln
,
1d1 2 d1 2 d 2 Вт
Исследуем функцию вида:
Rl Rl (d 2 ).
Функция непрерывна и дифференцируема.
dRl
1
1
0.
2
d (d 2 ) 2 d 2 2 d 2
43. Критический диаметр цилиндрической стенки
Найдем критическую точку.Критическая точка:
d 2 Rl
d d 2
2
1 1
1
2
0 d2
d2 2 2 d2
2
2
d2
2
1
2
1 2
1
2 d 22 2 d 23 d 22 2 d 2 2
2 2
2
1
1 1 1 1
1
0
2 d2 2 2 2 2 2 2
44. Вопросы к зачету
1.2.
3.
4.
5.
Передача теплоты через плоскую стенку при
граничных условиях первого рода.
Теплопроводность в плоской стенке при
граничных условиях третьего рода.
Теплопроводность через многослойную плоскую
стенку при граничных условиях первого и
третьего рода.
Передача теплоты через цилиндрическую стенку
при граничных условиях первого рода.
Передача теплоты через цилиндрическую стенку
при граничных условиях третьего рода.
Критический диаметр цилиндрической стенки.