Теплотехника
Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях первого рода
Дифференциальное уравнение теплопроводности (частный случай)
Условия однозначности
Температурное поле
Удельный тепловой поток
Теплопроводность через трехслойную плоскую стенку
Теплопроводность через многослойную плоскую стенку при граничных условиях первого рода
Удельный тепловой поток
Удельный тепловой поток
Удельный тепловой поток
Удельный тепловой поток
Теплообмен в плоской стенке при граничных условиях третьего рода.
Удельный тепловой поток
Удельный тепловой поток
Удельный тепловой поток
Удельный тепловой поток
Теплопроводность через многослойную плоскую стенку при граничных условиях третьего рода
Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях второго рода
Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях второго рода
Графический метод определения температур между слоями
Определение температур между слоями
Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку
Дифференциальное уравнение тепло-проводности для цилиндрической стенки
Условия однозначности
Преобразование дифференциального уравнения
Преобразование дифференциального уравнения. Решение
Решение
Решение
Решение
Тепловой поток
Теплообмен в цилиндрической стенке при граничных условиях второго рода
Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Теплообмен при граничных условиях третьего рода
Плотность теплового потока
Теплопроводность через трехслойную цилиндрическую стенку
Теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку
Критический диаметр цилиндрической стенки
Критический диаметр цилиндрической стенки
Критический диаметр тепловой изоляции
Термическое сопротивление теплопере- дачи через изолированный трубопровод
Зависимость линейного термического сопротивления от диаметра изоляции
.
.
.
876.00K
Категория: ФизикаФизика

Теплотехника. Теплопроводность через плоскую стенку

1. Теплотехника

Теплопроводность через плоскую
стенку

2. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях первого рода

t
Const
tc1
h
q
x
0
dx
tc2
x

3. Дифференциальное уравнение теплопроводности (частный случай)

Ранее мы получили общий вид
qv
t
2
дифференциального уравнения
(1)
a t
c .
теплопроводности:
В частном случае, для стационарного процесса t / 0 ;
при отсутствии внутренних источников теплоты q 0:
v
из (1) при a 0 следует: 2t 0,
2
2
2
t
t
t
или развернутое выражение
0
2
2
2
x y z
оператора Лапласа:
.
(2)
Для бесконечной пластины: h ;b , то есть:
2t / y2 0; 2t / z2 0 .
Дифференциальное уравнение
d 2t
0 .
теплопроводности запишется в виде:
(3)
2
dx

4. Условия однозначности

Для рассматриваемого случая добавляем
условия однозначности:
● Геометрические: вертикальная пластина h ;b ,
● Физические: Const;
● Начальные: для стационарного процесса не требуются,
● Граничные условия I рода: при x 0 t t Const;
Найти:
t f ( x) ?;q ?
при
c1
x t tc2 Const.
После первого интегрирования
дифференциального уравнения (3) имеем:
После разделения переменных в (5):
dt
c1;
dx
dt c1dx;
(4)
(5)
(6)

5. Температурное поле

t c1x c2.
После 2-го интегрирования:
Для определения констант интегрирования
подставляем (4) в (7):
при x 0 t
при
x
t tc2 c1 c2 c1 tc1;
откуда с учетом (5) имеем:
Откуда получаем:
t tC1
c1
tc 2 tc1
tC1 tC 2
x.
(7)
tc1 c2 ;
(8)
.
(9)

6. Удельный тепловой поток

По закону Фурье:
q
dt
,
dx
Подставляя (9) в (10), получим:
q (tc1 tc2 ),
или в форме закона Ома:
t
q .
R
(10)

7. Теплопроводность через трехслойную плоскую стенку

2
1
t
3
tc1
t'
q
t"
tc2
0
1
2
3
x

8. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку при граничных условиях первого рода

Расчетная схема
λ
T c1
1
λ
λ
2
n
T c2
T
c3
T
cn
T
δ1
δ2
δn
cn+1

9. Удельный тепловой поток

Теплообмен в каждом слое опишется формулой:
tC 1 tC 2
,
q1 1
1
tC 2 tC 3
,
q2 2
2
tCn tCn 1
.
qn n
n
(1)

10. Удельный тепловой поток

Так как теплообмен стационарный, то: q1 q2 qn q (2)
Для вывода формулы перепишем уравнение (1) с учетом
уравнения (2), получим:
q 1
tC1 tC 2 ,
1
q 2
,
tC 2 tC 3
2
q n
tCn tCn 1 .
n

11. Удельный тепловой поток

Складываем части отдельно, получим:
tС1 tС 2 tС 2 tС 3
q 1
1
q 2
2
q n
n
tСт tСт 1
.

12. Удельный тепловой поток

Отсюда получим:
q
tC1 tCn 1
1 2
1 2
n
n

13. Теплообмен в плоской стенке при граничных условиях третьего рода.

Расчетная схема:
T ж1
T c1
α2
T c2
α1
T ж2
δ

14. Удельный тепловой поток

Теплообмен на правой и левой поверхности стенки опишется
законом Ньютона – Рихмана:
q1 1 t Ж1 tС1 ;
q2 2 tС 2 t Ж 2
Теплообмен внутри стенки:
q3
tС 2 tС 3

15. Удельный тепловой поток

q1 q2 q3 q
Разность температур:
t Ж 1 tС 1 ,
1
q
tC 2 t Ж 2
,
2
q
tC 1 tC 2
.
q

16. Удельный тепловой поток

Складываем:
t Ж 1 t С 1 t С 2 t Ж 2 tС 1 tС 2
q
q q
1 2

17. Удельный тепловой поток

Окончательно:
t Ж1 t Ж 2
q
1 1
1
2

18. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку при граничных условиях третьего рода

Плотность теплового потока:
q
t Ж1 t Ж 2
i 1
1 i 1 i 2
1
n

19. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях второго рода

По закону Фурье:
dt
q
const
dx
Перепишем уравнение и проинтегрируем:
qdx dt ,
x
t
0
tC 1
q dx dt

20. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку при граничных условиях второго рода

Получим:
qx t tC1 ,
выразим отсюда t:
t
1
tC1 qx
t tC1
qx

21. Графический метод определения температур между слоями

t
tc1
A
t'
C
B
t"
G
E
0
F
1
1
2
2
3
3
D
tc2
R

22. Определение температур между слоями

Треугольники АBC и ADE подобны между собой по равенству
трех углов. Из их подобия следует:
AC AE
tg
,
BC DE
то есть
или:
tg
tc1 t '
1
1
tc1 tc2
1 2 3
1 2 3
q,
AC tc1 t ' , откуда находится температура t ' .
Аналогично, из подобия треугольников AFG и ADE:
AG tc1 t".
Отсюда находится температура
t".

23. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Const
t
tc1
r
r1
r2
0
q
dr
tc2
r

24. Дифференциальное уравнение тепло-проводности для цилиндрической стенки

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндрической стенки
Общее выражение дифференциального уравнения
qv
теплопроводности: t
2
a t
c
.
(1)
Для стационарного процесса
t / 0;
при отсутствии внутренних источников теплоты qv 0,
с учетом этих условий уравнение (1) примет вид a 2t 0 .
Но a 0 , тогда частный вид дифференциального уравнения
теплопроводности: 2t 0.
Или через развернутое выражение оператора Лапласа:
2
2
2
t
1
t
1
t
t
2 2 2 0 .
2t 2
r r r r z
(2)

25. Условия однозначности

Добавляем условия однозначности:
● Геометрические условия:
r2 (бесконечная цилиндрическая стенка);
● Физические условия: Const;
● Начальные условия: для стационарного процесса не
требуются;
● Граничные условия I рода:
при
при
r r1
t tc1 Const;
r r2
t tc2 Const.
(3)

26. Преобразование дифференциального уравнения

В соответствии с геометрическими условиями однозначности,
в бесконечной цилиндрической стенке температура не изменяется по координатам z и , тогда уравнение (2) примет вид:
(4).
Найти: t f (r ) ?;Q ?.
2
d t 1 dt
0,
2
dr r dr
Граничные условия:
Обозначим
dt
U ,
dr
t r1 tC1 ,
t r2 tC 2 .

27. Преобразование дифференциального уравнения. Решение

Уравнение (4) примет вид:
Проинтегрируем:
Получим:
dU 1
U 0
dr r
dU
dr
U r ,
ln U ln r ln C1

28. Решение

Найдем из полученного выражения
ln(Ur ) ln C1;
dt
r C1 ,
dr
t C1 ln r C2
Ur C1
dr
dt C1 r ,

29. Решение

Решение подчиним граничным условиям:
tС1 С1 ln r1 C2 ,
,
tC 2 C1 ln r2 C2 .
tС1 tС 2 С1 ln r1 C 2 C1 ln r2 C2
tС 1 t С 2
r1
C1 ln
r2

30. Решение

Отсюда следует:
C1
tC 1 t c 2
r1
ln
r2
Решение примет вид:
tC 1 t C 2
C 2 tC 1
ln r1.
r1
ln
r2
r
tС1 tС 2 ln
r1
t tС 1
,
r2
ln
r1

31. Тепловой поток

По закону Фурье:
Q
tC1 tC 2 2 l
Q
r2
ln
r1
Q
ql ,
l
Вт
м
где
dt
F , Вт
dr
или
Q
F 2 rl
tC1 tC 2 l
ql
r2
1
ln
2 r1
,
tC1 tC 2
d2
1
ln
2 d1

32. Теплообмен в цилиндрической стенке при граничных условиях второго рода

По закону Фурье:
dt
Q 2 rl const
dr
Проинтегрируем данное выражение:
получим:
r
t
dr
Q 2 l dt
r
r1
tC 1
r
Q ln 2 l t tC1
r1
Q
r
t tC1
ln
2 l r1

33. Теплообмен при граничных условиях третьего рода

T
Теплообмен на внутренней
и наружной поверхности
стенки описывается законом
Ньютона – Рихмана:
ql1 1 t Ж1 tС1 d1
ql 2 2 tС 2 t Ж 2 d2
Внутри стенки:
ql 3
tC1 tC 2
d2
1
ln
2 d1
Расчетная схема:
T ж1
α2
Т с1
α1
Т с2
d1
Т ж2
d2
d
.

34. Теплообмен при граничных условиях третьего рода

Так как теплообмен стационарный, то
ql
tC 2 t Ж 2
,
d 2 2
d2
1
tC1 tC 2 ql
ln .
2 d1
ql
t Ж 1 tС 1
,
d1 1
ql1 ql 2 ql 3 ql

35. Теплообмен при граничных условиях третьего рода

Получим:
t Ж 1 tС1 tС 2 t Ж 2 tС1 tС 2
1
d2
1
1
ql
ln
d1 1 d 2 2 2 d1
Уравнение теплопередачи через цилиндрическую стенку:
ql
t Ж1 t Ж 2
1
d2
1
1
ln
1d1 2 d1 2 d 2

36. Теплообмен при граничных условиях третьего рода

Линейное термическое сопротивление теплопередачи через
цилиндрическую стенку:
d2
1
1
1 мК
Rl
ln
,
1d1 2 d1 2 d 2 Вт
Тогда уравнение теплопередачи:
ql
t Ж1 t Ж 2
Rl

37. Теплообмен при граничных условиях третьего рода

Полный тепловой поток:
Q
t Ж1 t Ж 2 l
d2
1
1
1
ln
1d1 2 d1 2 d 2
Q ql l
, Вт

38. Теплообмен при граничных условиях третьего рода

Линейный коэффициент теплопередачи через цилиндрическую
стенку:
1 Вт
kl
,
Rl м К
Тогда уравнение теплопередачи:
ql kl t Ж1 t Ж 2

39. Плотность теплового потока

Q Вт
q , 2 ;
F м
F1 d1l;
F2 d 2l.
t Ж1 t Ж 2
,
На внутренней поверхности: q1
d1
1 d1 d 2
ln
1 2 d1 2 d 2
На внешней поверхности:
t Ж1 t Ж 2
q2
.
d2
d2 d2 1
ln
1d1 2 d1 2

40. Теплопроводность через трехслойную цилиндрическую стенку

2
1
t
3
tc1
t'
r1
r2
r3
r4
0
q
t"
tc2
r

41. Теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку

Уравнение теплопередачи:
ql
t Ж1 t Ж 2
n
1
1
1 di 1
1
ln
1d1 2 i 1 i
di 2 d 2
, Вт / м

42. Критический диаметр цилиндрической стенки

Линейное термическое сопротивление теплопередачи через
цилиндрическую стенку:
d2
1
1
1 мК
Rl
ln
,
1d1 2 d1 2 d 2 Вт
Исследуем функцию вида:
Rl Rl (d 2 ).
Функция непрерывна и дифференцируема.
dRl
1
1
0.
2
d (d 2 ) 2 d 2 2 d 2

43. Критический диаметр цилиндрической стенки

Найдем критическую точку.
Критическая точка:
d 2 Rl
d d 2
2
1 1
1
2
0 d2
d2 2 2 d2
2
2
d2
2
1
2
1 2
1
2 d 22 2 d 23 d 22 2 d 2 2
2 2
2
1
1 1 1 1
1
0
2 d2 2 2 2 2 2 2

44. Критический диаметр тепловой изоляции

Теплоизоляционными называются материалы,
теплопроводность которых не превышает величины
0,25 Вт/(мК).
● Естественная изоляция (природная): асбест, слюда, пробка.
● Предварительно обработанная: асбослюда, шлаковата,
стекловата, пенопласт, пеношлакобетон.
Теплоизоляционные свойства последним из перечисленных
материалов придает наличие в них мелких воздушных пузырьков или прослоек воздуха. В них из-за малости размеров,
конвекция отсутствует и теплота передается только теплопропроводностью, порядок которой для воздуха при атмосферных
условиях порядка 0,025 Вт/(мК), то есть на порядок ниже
величины, приведенной выше для теплоизоляции.

45. Термическое сопротивление теплопере- дачи через изолированный трубопровод

Термическое сопротивление теплопередачи через изолированный трубопровод
Линейное термическое сопротивление теплопередачи
через двухслойную цилиндрическую стенку:
d
1
1 d2
1
1
(1)
R
n
n из
.
1d1 2 d1 2 из d 2 2 dиз
В выражении (1):
при: dиз var
R1
R 2 R3
1
1 d2
n Const;
1d1 2 d1
1
2 из
n
(2)
dиз
1
var. (3)
d 2 2 dиз
Из (3) видно, что с увеличением диаметра изоляции d
из
R
термическое сопротивление R растет, а
3 падает.
2

46. Зависимость линейного термического сопротивления от диаметра изоляции

Геометрическая интерпретация
R
R
R2
d2
dкр
0
R3
R1
dиз

47. .

Исследование функции (3)
на минимум
.
Из предыдущих двух слайдов следует, что минимальному
термическому сопротивление при d
соответствуют
кр
максимальные теплопотери.
Для определения критического диаметра изоляции надо
исследовать функцию (3) на минимум, а именно:
.
d
d
1
1
[
n( из )
] 0
,
d (dиз ) 2 из
d 2 2 dиз
или в виде
d
1
1
[
( ndиз nd2 )
] 0.
d (dиз ) 2 из
2 dиз
Тогда при
из Const;d2 Const; 2 Const,
и с учетом
1 1
x x
( nx)' ;( )'
1
;( nd2 )' 0,
2
x
имеем:

48. .

Выбор эффективной изоляции
трубопроводов
.
1
1
1
0.
2
2 из d кр 2 d кр
.
После сокращения на
или
2dкр 2 из 0,
:
dкр
1
2 из
1
0,
2 d кр
откуда критический диаметр изоляции:
dкр
2 из
2
.
Из следующего слайда видно, что при
эффективная
а при
dкр d2
q 2 q 1
,
- малоэффективная.
dкр d2
- изоляция

49. .

Критический диаметр изоляции
.
.
q
q 1max
rкр1
q 1
q 2max
q 2
rкр2
0
r1
r
r2
rиз
English     Русский Правила