Лекция 3.1. Криволинейные интегралы. Определение криволинейных интегралов

1. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

1. Определение криволинейных интегралов
Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую
кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков
самоналегания. Предположим, что кривая определяется
параметрическими уравнениями
x = (t), у = (t), (a t b) (1)
и сначала будем считать ее не замкнутой и ограниченной
точками А и В.
Предположим далее, что
функция f(x, у) | две функции Р(х, у) и Q(x, у)
определены и непрерывны вдоль кривой L = АВ .
Разобьем сегмент [а, b] при помощи точек а = t0 <
< t1 < t2 < • • • < tn = b на n частичных сегментов.

2. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

Выберем на каждой частичной дуге МkМk+1
произвольную точку Nk( k, k) координаты,
которой отвечают некоторому значению k
параметра t, так что k = ( k), k = ( k),
причем tk k tk+1. lk длина k-й частичной
дуги МkМk+1 (k = 1, 2, ... , n).
Составим интегральную сумму
Составим еще две интегральные суммы
Назовем число I пределом интегральной суммы i (i = 1, 2, 3) при
стремлении к нулю наибольшей из длин lk , если для любого > 0
найдется > 0 такое, что | i – I| < , как только наибольшая из длин lk
меньше .

3. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

Определения:
Если существует предел интегральной суммы 1 при
стремлении к нулю наибольшей из длин lk , то этот
предел называется криволинейным интегралом
первого рода от функции f(x, y) по кривой L и
обозначается символом
Если существует предел интегральной суммы 2 [ 3]
при стремлении к нулю наибольшей из длин lk , то
этот предел называется криволинейным интегралом
второго рода от функции P(x, y) [Q(x, y)] по кривой L
и обозначается символом

4. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

2.
Существование
криволинейных
интегралов и сведение их к определенным
интегралам
Если кривая L = АВ является гладкой, задана
параметрически x = (t), y = (t), a t b, и не
содержит особых точек и если функции f(x, у),
Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вдоль этой кривой,
то справедливы следующие формулы, сводящие
криволинейные
интегралы
к
обычным
определенным интегралам:

5. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

Свойства:
1°. Линейное свойство
2°. Аддитивность
3°. Оценка модуля интеграла
4°. Формула среднего значения

6. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

Примеры. 1°. Вычислить массу эллипса L,
определяемого параметрическими уравнениями
х = a cost, у = bsint (0 t 2 )
при условии, что а > b > 0 и что линейная
плотность распределения массы равна = |у|.
2°. Вычислить криволинейный интеграл второго
рода
I =,
в котором L — парабола у = х2 при -1 х 1.

7. Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.

3. Формула Грина
Теорема (формула Грина):
Следствие 1:
Пример. Вычислить