Экстремум функции двух переменных

1.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1.
Попова Елена Александровна
К. пед. н., доцент
доцент кафедры ММиИТ ТЭИ,
СФУ
[email protected]
15 апреля 2020
Красноярск

2.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
15 апреля 2020
Красноярск
2

3.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
15 апреля 2020
Красноярск
3

4.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y
15 апреля 2020
Красноярск
4

5.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х
'
15 апреля 2020
Красноярск
5

6.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
'
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
15 апреля 2020
Красноярск
6

7.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
'
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
f y' x, y
15 апреля 2020
Красноярск
7

8.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
'
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
f x, y х 3xy 30 x 18 y y
'
y
3
2
15 апреля 2020
Красноярск
'
8

9.

Экстремум функции двух переменных
Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
'
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
2
15 апреля 2020
Красноярск
'
9

10.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
х y 10
2 x y 6
2
2
15 апреля 2020
Красноярск
10

11.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
х y 10
2 x y 6
2
х1 3
y1 1
2
х2 1 х3 1
y 2 3 y3 3
15 апреля 2020
Красноярск
х 4 3
y 4 1
11

12.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
х y 10
2 x y 6
2
х1 3
y1 1
2
M 1 3; 1
х2 1
y2 3
M 2 1; 3
х3 1 M 1; 3 х4 3 M 3; 1
3
4
y 4 1
y3 3
15 апреля 2020
Красноярск
12

13.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
2
'
f x, y
''
xx
15 апреля 2020
Красноярск
13

14.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х
''
xx
2
2
15 апреля 2020
Красноярск
'
13

15.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х
f x, y
''
xx
2
2
'
''
yy
15 апреля 2020
Красноярск
14

16.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х
f x, y 6 x y 18
''
xx
''
yy
2
2
'
'
y
15 апреля 2020
Красноярск
16

17.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х
f x, y 6 x y 18
''
xx
''
yy
2
2
'
'
y
f xy'' x, y
15 апреля 2020
Красноярск
17

18.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х
f x, y 6 x y 18
''
xx
2
2
'
'
''
yy
y
f xy'' x, y f yx'' x, y
15 апреля 2020
Красноярск
18

19.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х
f x, y 6 x y 18
''
xx
2
2
'
'
''
yy
y
f xy'' x, y f yx'' x, y
15 апреля 2020
Красноярск
19

20.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
f x' x, y х 3 3xy 2 30 x 18 y х 3х2 3 y 2 30
'
f x, y х 3xy 30 x 18 y y 6 x y 18
'
y
3
'
2
f x, y 3х 3 y 30 х 6 x
f x, y 6 x y 18 6 x
''
xx
2
2
'
'
''
yy
y
f xy'' x, y f yx'' x, y
6y
15 апреля 2020
Красноярск
20

21.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
15 апреля 2020
Красноярск
21

22.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
В f 3, 1 6 3 18
''
yy
15 апреля 2020
Красноярск
22

23.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
В f 3, 1 6 3 18
''
yy
С f xy'' 3, 1 f yx'' 3, 1 6 1 6
15 апреля 2020
Красноярск
23

24.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
В f 3, 1 6 3 18
''
yy
С f xy'' 3, 1 f yx'' 3, 1 6 1 6
А В С 2 18 18 62 324 36 288
15 апреля 2020
Красноярск
24

25.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
В f 3, 1 6 3 18
''
yy
С f xy'' 3, 1 f yx'' 3, 1 6 1 6
А В С 2 18 18 62 324 36 288 0
15 апреля 2020
Красноярск
25

26.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
А 0
В f 3, 1 6 3 18
''
yy
С f xy'' 3, 1 f yx'' 3, 1 6 1 6
А В С 2 18 18 62 324 36 288 0
15 апреля 2020
Красноярск
26

27.

Пример 1. Найти экстремумы функции
z f x, y х3 3xy 2 30 x 18 y
Решение.
M 1 3; 1
– точка минимума.
А f 3, 1 6 3 18
''
xx
А 0
В f 3, 1 6 3 18
''
yy
С f xy'' 3, 1 f yx'' 3, 1 6 1 6
А В С 2 18 18 62 324 36 288 0
15 апреля 2020
Красноярск
27