Ранг матрицы. Теорема кронеккера-Копелли

1.

2.

Минор порядка к
Пример
2 9 1 6
A 6 4 3 7
7 5 8 2
Миноры первого порядка:
2 , 9 , 1 ,...
Миноры второго порядка:
2 9 2 9 6 4 2 1
,
,
,
,...
6 4 7 5 7 5 6 3
Миноры третьего порядка:
2 9 1 2 9 6 2 1 6 9 1 6
6 4 3, 6 4 7 , 6 3 7 , 4 3 7
7 5 8 7 5 2 7 8 2 5 8 2
Миноров четвертого и более высокого порядков не существует.

3.

Ранг матрицы
Пример 1.
1
a)
б)
1 2 6
А 0 7 3
0 0 4
1 2 6
В 0 0 2
0 0 7
1 2 6
0 7 3 1 7 4 28,
0 0 4
1 2 6
0 0 2 1 0 7 0,
0 0 7
r(A)=3
2 6
4,
0 2
r(B)=2

4.

Ранг матрицы
Пример 2.
2
4
0
1
4
5
A 3
1
7
5 10
0
2
3
0
2
4 1 4
5
0
5 0
2
4
1 4
A 3
1
7 ~ 3
1
7
5 10 0
5 10
0
2
3
0 2
3
0
1 4
1
0
~ 0
1
1
0
0
1
1 4
0
1
5
1 4
0
2
4
~ 0 11 22
5 10
0
2
3
0
5
1 4
0
2
4
~ 0 11 22 ~
0
5
10
0 5 10
5 1 4 5 1 4 5 1 4 5
2 0
1 2 0
1 2 0
1 2
2 ~ 0
0
0 ~ 0
0
0 ~ 0
0
0 A
2 0
1 2 0
0
0 0
0
0
2 0
1 2 0
1 2 0
0
0
1 1 0 4 1 0 ,
r A r A 2

5.

Базисный минор. Теоремы о рангах
r A C r A s ,
r C A r A s ,
s r A r C
C A r C A ,
s r A r A C C 1 r A C ,
1
r A C s
r C A s

6.

Подобные матрицы

7.

Теорема Кронекера-Капелли
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
am1x1 am 2 x2 ... amn xn bm
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
A
a
m1 am 2 amn
b1
b2
,
bm
(2)
a11
a
A 21
am1
a12
a22
am 2
a1n
a2n
amn

8.

Теорема Кронекера-Капелли: следствия
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
am1x1 am 2 x2 ... amn xn bm
(2)

9.

Применение теоремы Кронекера-Капелли
x1 x2 3 x3 2 x4 3 x5 1,
2 x 2 x 4 x x 3 x 2 ,
1
2
3
4
5
3x1 3x2 5 x3 2 x4 3x5 1,
2 x1 2 x2 8 x3 3x4 9 x5 2.
1
2
А
3
2
1
0
~
0
0
1 3 2 3 1
1 1 3 2 3 1 1
2 4 1 3 2
0 0 2 3 3 0 0
~
~
3 5 2 3 1
3 3 5 2 3 1 0
2 2 8 3 9 2 2
2 8 3 9 2
2
3 1
0 2 3 3 0
~
0 0 2 0 2
0 2
1
3 0
1
1
0
A
0
0
3
2
1
0
0
0
3 1
0 2 3 3 2
~
0 0 2 0 3
0 0
0
0 2
1
3
r A r A 3
2
3 1
0 2 3 3 0
~
0 0 2 0 2
0 0
4
0 0
1
3
1 3 2 3
2 4 1 3
A
3 5 2 3
2 8 3 9
2
3 1 1
0 2 3 3 0 0
~
0 4 4 6 2 0
2 8 3 9 2 0
1
1
0
0
0
1
3
1 3 2 3 1
0 2 3 3 0
A
0 0 2 0 2
0 0
0
0 4
3
0 2
0
0
0
0
2
1
3
0
2 2
0 4
1 3 2 3 1
0 2 3 3 0
~
0 4 4 6 2
0 2
1
3 0
r A r A 4
1 2 2 4 16 0
r A r A система несовместн а

10.

Применение теоремы Кронекера-Капелли
3 x1 4 x2 x3 2 x4 3,
6 x1 8 x2 2 x3 5 x4 7 ,
9 x 12 x 3x 10 x 13.
2
3
4
1
3 4 1 2 3
A 6 8 2 5 7 ~
9 12 3 10 13
3 4 1 2 3
0
0
0
1
1
~
9 12 3 10 13
3 4 1 2 3 4 1 2
A 6 8 2 5 ~ 0 0 0 1 A
9 12 3 10 0 0 0 0
3 4 1 2 3
0 0 0 1 1
0 0 0 4 4
1 2
0 1
3 4 1 2 3
~ 0 0 0 1 1 A
0 0 0 0 0
r A r A 2
1 1 1 0,
r A r A 2
r A r A 2 система совместна
3x1 4 x2 x3 2 x4 3,
x4 1.
3 x1 4 x2 x3 1,
x4 1.
x3 1 3 x1 4 x2 ,
x 4 1.
x1 a ,
x b,
2
x3 1 3a 4b ,
x 4 1,

11.

Некоторые рекомендации по построению общих решений