Решение иррациональных уравнений

1. Решение некоторых иррациональных уравнений.

2.

Необходимые умения и навыки:
1) умение решать линейные уравнения;
2) умение применять
формулу сокращенного умножения (ФСУ):
квадрат суммы (разности);
3) умение решать квадратные уравнения;
4) вычислительные умения и навыки.
20.04.2020
2

3.

Иррациональным уравнением называется уравнение,
содержащее переменную под знаком корня.
Рассмотрим некоторые виды иррациональных уравнений.
1.
f( x) a
a 0
Ответ : Ø
a 0
ОДЗ: f ( x ) 0
Условие существования
квадратного корня
При условии, что обе
части неотрицательны,
имеем право возвести их в
квадрат.
2
f ( x ) a2
f ( x ) a2
Осталось решить
полученное уравнение.
20.04.2020
3

4.

Условие существования
квадратного корня
Пример 1.
x 3 1
2
ОДЗ:
x2 3 0
x 3 1
2
2
2
x2 3 1
x 4
2
x1 2 -является решением
x 2 -является решением
2
Ответ : 2
20.04.2020
4

5.

Условие существования
квадратного корня
Пример 2.
x 3 1
2
ОДЗ:
x2 3 0
Но, правая часть отрицательна => Ответ : Ø
Условие существования
квадратного корня
Пример 3.
x 5 0
ОДЗ:
2
x 5 0
2
2
x2 5 0
x 5
2
20.04.2020
x 35 0
2
2
x1 5 -является решением
x2 5 -является решением
Ответ : 5
5

6.

Иррациональным уравнением называется уравнение,
содержащее переменную под знаком корня.
2.
f ( x ) g( x )
ОДЗ:
f(x) 0
g ( x ) 0 Условие
2
f ( x ) g2 ( x )
существования
корней
уравнения
При условии, что обе части
уравнения неотрицательны, имеем
право возвести их в квадрат.
f(x) g (x)
2
20.04.2020
Осталось решить полученное
уравнение с заданными условиями.
6

7.

Пример 4.
7 3 x x 7 ОДЗ:
7 3х 0
УСК:
7 3x
2
x 7
2
х 7 0
При условии, что обе части
уравнения неотрицательны, имеем
право возвести их в квадрат.
7 3 x x 2 14 x 49
x 2 14 x 49 3 x 7 0
Осталось решить
полученное уравнение с
заданными условиями.
x 2 17 x 42 0
x1 14 -не является решением
x 3 -является решением
Ответ : 3
2
20.04.2020
7

8.

Иррациональным уравнением называется уравнение,
содержащее переменную под знаком корня.
3.
f ( x ) g( x ) ОДЗ: f ( x ) 0
g( x ) 0
2
f(x)
g( x )
2
При условии, что обе части
уравнения неотрицательны, имеем
право возвести их в квадрат.
f ( x ) g( x )
Осталось решить полученное
уравнение с заданными условиями.
20.04.2020
8

9.

Пример 5.
7 3x x 7
ОДЗ: 7
3х 0
х 7 0
7 3x
2
x 7
7 3x x 7
4x 0
x 0 -является
2
При условии, что обе части
уравнения неотрицательны, имеем
право возвести их в квадрат.
Осталось решить
полученное уравнение с
заданными условиями.
решением
Ответ : 0
20.04.2020
9

10.

Иррациональным уравнением называется уравнение,
содержащее переменную под знаком корня.
f ( x ) g( x ) a ОДЗ: f ( x ) 0
g( x ) 0
4.
2
f ( x ) g( x ) a
2
При условии, что обе части
уравнения неотрицательны,
имеем право возвести их в
квадрат.
2
f 2 ( x ) g 2 ( x ) 2 f ( x ) g( x ) a
2
Уединим корень (оставим в левой
части, остальное перенесем) и еще
раз возведем обе части уравнения в
квадрат.
2
f ( x ) g( x ) a f ( x ) g ( x )
2
2
2
2
На практике намного проще. Рассмотрим пример.
20.04.2020
10

11.

Пример 6.
ОДЗ:
x 3 6 x 3
x 3 6 x
х 3 6 х 2
x 3 0
6 х 0
2
При условии, что обе части
3
уравнения неотрицательны,
имеем право возвести их в
квадрат.
( х 3 ) ( 6 х ) 3
2
2 ( х 3 ) ( 6 х ) 0
x1 3 -является решением
( х 3 ) ( 6 х ) ( 0 )
x 6 -является решением
2
( х 3 ) ( 6 х ) 0
Ответ : 3;6.
20.04.2020
2
2
11

12.

Пример 7.
ОДЗ:
x 1 x 3 2
x 1 x 3
2
2
2
x 1 0
х 3 0
При условии, что обе части
уравнения неотрицательны,
имеем право возвести их в
квадрат.
х 1 х 3 2 ( х 1) ( х 3 ) 4
2 ( х 1 ) ( х 3 ) 2 х 2
2
( х 1 ) ( х 3 ) ( 1 х )2 х 1 -является
х 2х 3 1 2х х
2
4х 4
20.04.2020
2
решением
Ответ : 1.
12

13.

Для отработки навыка решения таких
уравнений воспользуйся
задачником А. Г. Мордкович.
Если не получается ответ, обращайся за помощью.
20.04.2020
13