Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

1. Матрицы

Метод Гаусса
Формулы Крамера

2. Матрица Определение

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n –
столбцов, вида: a a a a
11 12
1i
1n
a 21a 22 a 2 j a 2 n
a a a a
ij
in
i1 i 2
a a a a
mj
mn
m1 m 2
называется матрицей размера m n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так: A (a ) ; i 1, m; j 1, n
ij

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных, когда с
помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к
равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого
последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все
остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
...............................................
am1 x1 am 2 x2 ... am n xn bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или правые части)

4. Типы уравнений

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет
решение, и несовместной, если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное
решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и
то же множество решений.

5. Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям системы
отнесем следующее:
1. перемена местами двух любых уравнений;
2. умножение обеих частей любого из уравнений на
произвольное число, отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного из
уравнений системы соответствующих частей
другого уравнения, умноженных на любое
действительное число.

6. Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с
тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
a11 x1 a12 x 2 a13 x3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
(1)
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме
первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое
уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
a
b
где a a ; j 1,2,3 ; b a
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них
уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид: x a x a x b (2)
(1)
1j
1j
(1)
1
1
11
11
(1)
1
12
(1)
2
13
(1)
3
1
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой
преобразованной системы. x a x a x b
(3)
a x a x b
(1)
1
12
(1)
22
(1)
2
2
13
(1)
23
(1)
3
3
1
(1)
2
a32 x 2 a33 x3 b3
(1)
(1)
(1)

7.

2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3).
Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе
уравнение системы (3), получим уравнение:
x2 a23 x3 b2
( 2)
где
a23
( 2)
a23
a22
(1)
;
(1)
b2
( 2)
b2
( 2)
(4)
(1)
a22
(1)
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на
Получим уравнение: a x b
b
Предполагая, что a 0, находим x a b
( 2)
33
( 2)
3
3
( 2)
( 2)
33
3
3
3
( 2)
33
3
(1)
a33 .

8.

В результате преобразований система приняла вид:
x1 a12 (1) x 2 a13 (1) x3 b1 (1)
( 2)
( 2)
x 2 a 23 x3 b2
( 3)
x3 b3
(5)
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют
прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом
метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и
находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.

9.

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое
уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и
решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса,
составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п
неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
x c x ... a x d
Такая система имеет единственное
x ... a x d
................
решение, которое находится в
x d
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
x c x ... c x d
Такая система имеет бесчисленное
x ... c x d
множество решений.
.....................
1
12
2
2
1n
n
2n
1
n
2
n
1
12 2
2
1n n
2n n
n
1
2
xk ... ck n xn d k

10. Рассмотрим на примере

1. Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
2. Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому
домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
3. Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего,
умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
Тогда
x3=-42/(-14)=3;
x2=8-2x3=2
x1=8-0,5x2-2x3=1

11. Метод Крамера

Метод Крамера—способ решения квадратных
систем линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной матрицы
(причём для таких уравнений решение существует и
единственно).

12. Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом

неизвестных:
Теорема. Cистема
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
…
an1x1+an2x2+…+annxn=bn

13. Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:

a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… …
an1 an2 … ann
≠0

14. В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

15. Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых

частей
• Пример. Решить систему уравнений :

16. Решение.

17. Найдите оставшиеся компоненты решения.

• Формулы Крамера не представляют практического значения в случае
систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения
конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку
они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время
как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного
определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение
формул Крамера заключается в том, что они дают явное
представление решения системы через ее коэффициенты. Например,
с их помощью легко может быть доказан результат
• Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A
является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при
условии, что det A не равно 0 .

18. Найдите оставшиеся компоненты решения.

• Кроме того, формулы Крамера начинают
конкурировать по вычислительной эффективности с
методом Гаусса в случае систем, зависящих от
параметра.
• зависящей от параметра
, определить предел
отношения компонент решения:

19. Решение.

• В этом примере определитель матрицы
системы равен
. По теореме Крамера
система совместна при . Для случая
применением метода Гаусса убеждаемся,
что система несовместна. Тем не менее,
указанный предел существует. Формулы
Крамера дают значения компонент решения
в виде
и, хотя при
каждая из них имеет бесконечный предел, их
отношение стремится к пределу конечному.

20. Ответ.

Приведенный пример поясняет также каким образом система
линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится
несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому
значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя
бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

21. Вывод

Рассмотренный в данной презентации
Метод Крамера позволяет решать линейные
системы, но удобнее решать системы
линейных уравнений с помощью метода
Гаусса,
который
находит
широкое
применение и содержится в пакетах
стандартных программ для ЭВМ.