Приведение квадратичной формы к главным осям

1.

33.6. Приведение квадратичной формы к главным осям
Любая квадратичная форма ( x1 , ..., xn ) x A x
приводится к каноническому виду 1z12 ... n zn2
ортогональным преобразованием неизвестных
x Q z , Q ортогональная матрица, столбцами
которой служат компоненты собственных векторов
соответствующего симметрического преобразования;
0
1
T
матрица квадратичной
Q
A
Q
,
A
формы .
n
0
Всякая симметрическая матрица диагонализируема.
1

2.

Пример
2
x1
2
x2
2
2 x3
2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3

3.

Пример
2
x1
1 1 2
A 1 1 2
2 2 2
2
x2
2
2 x3
2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3

4.

Пример
2
x1
1 1 2
A 1 1 2
2 2 2
2
x2
2
2 x3
2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
λ – собственное значение А
| A E | 0

5.

Пример
2
x1
1 1 2
A 1 1 2
2 2 2
1
2
x2
2
2 x3
λ – собственное значение А
| A E | 0
1
| A E | 1 1
2
2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
2
2
2
( 2) ( 4)
λ1 λ 2 λ3 0

6.

Пример
2
x1
1 1 2
A 1 1 2
2 2 2
1
2
x2
2
2 x3
λ – собственное значение А
| A E | 0
1
| A E | 1 1
2
2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
2
2
2
( 2) ( 4)
λ1 λ 2 λ3 0
Собственные значения матрицы А: λ1,2 2, λ3 4 ;
Канонический вид квадратичной формы: 2 z 1 2 z2 4 z3
2
2
2

7.

Пример
2
x1
1 1 2
A 1 1 2
2 2 2
1
2
x2
2
2 x3
λ – собственное значение А
| A E | 0
1
| A E | 1 1
2
2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
2
2
( 2) ( 4)
2
λ1 λ 2 λ3 0
Собственные значения матрицы А: λ1,2 2, λ3 4 ;
Канонический вид квадратичной формы: 2 z 1 2 z2 4 z3
2
Для отыскания собственных векторов
решаем ОСЛУ (*0) : ( A E ) x 0
2
2

8.

С.з. 1, 2 2 :
1 1 2
A 2 , 3 E 1 1 2
2 2 4

9.

С.з. 1, 2 2 :
1 1 2 1 1 2
A 2 , 3 E 1 1 2 ~ 0 0 0
2 2 4 0 0 0

10.

С.з. 1, 2 2 :
1 1 2 1 1 2
A 2 , 3 E 1 1 2 ~ 0 0 0
0 0 0
2 2 4
1
2
v1 1 , v 2 0 – ФСР ОСЛУ (*0) : x1 x2 2 x3 0 ;
0
1
( x2, x3 свободные неизвестные)

11.

С.з. 1, 2 2 :
1 1 2 1 1 2
A 2 , 3 E 1 1 2 ~ 0 0 0
2 2 4 0 0 0
1
2
v1 1 , v 2 0 – ФСР ОСЛУ (*0) : x1 x2 2 x3 0 ;
0
1
( x2, x3 свободные неизвестные)
Общий вид собственного вектора матрицы А при
собственном значении 1, 2 2 : s v1 t v 2 , где s 0 ,
t 0 ;

12.

С.з. 1, 2 2 :
1 1 2 1 1 2
A 2 , 3 E 1 1 2 ~ 0 0 0
2 2 4 0 0 0
1
2
v1 1 , v 2 0 – ФСР ОСЛУ (*0) : x1 x2 2 x3 0 ;
0
1
( x2, x3 свободные неизвестные)
Общий вид собственного вектора матрицы А при
собственном значении 1, 2 2 : s v1 t v 2 , где s 0 ,
t 0 ;
Выбранные векторы неортогональны, а нам нужен
ортонормированный базис из собственных векторов А.

13.

Можно применить процесс ортогонализации:
2
1 1
1
(v2, f1)
f1 1 , f2 v2
f1 0 2 1 1
0
1 2 0 1
( f1, f1)

14.

Можно применить процесс ортогонализации:
2
1 1
1
(v2, f1)
f1 1 , f2 v2
f1 0 2 1 1
0
1 2 0 1
( f1, f1)

15.

Можно применить процесс ортогонализации:
2
1 1
1
(v2, f1)
f1 1 , f2 v2
f1 0 2 1 1
0
1 2 0 1
( f1, f1)
Нормируя эти векторы, получим первые два вектора
искомого ортонормированного базиса:
1
1
1
1
1
1
h1
f1
1 , h2
f 1
2 0
3 1
| f1 |
| f2 |

16.

Можно применить процесс ортогонализации:
2
1 1
1
(v2, f1)
f1 1 , f2 v2
f1 0 2 1 1
0
1 2 0 1
( f1, f1)
Нормируя эти векторы, получим первые два вектора
искомого ортонормированного базиса:
1
1
1
1
1
1
h1
f1
1 , h2
f 1
2 0
3 1
| f1 |
| f2 |
Третий вектор искомого базиса можно угадать ‒
он должен быть ортогонален найденным.

17.

Можно применить процесс ортогонализации:
2
1 1
1
(v2, f1)
f1 1 , f2 v2
f1 0 2 1 1
0
1 2 0 1
( f1, f1)
Нормируя эти векторы, получим первые два вектора
искомого ортонормированного базиса:
1
1
1
1
1
1
h1
f1
1 , h2
f 1
2 0
3 1
| f1 |
| f2 |
Третий вектор искомого базиса можно угадать ‒
он должен быть ортогонален найденным.
Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие
различным собственным значениям, попарно ортогональны.

18.

5 1 2 1 5 2
С.з. 3 4 : A 3 E 1 5 2 ~ 5 1 2 ~
2 2 2 2 2 2

19.

5 1 2 1 5 2
С.з. 3 4 : A 3 E 1 5 2 ~ 5 1 2 ~
2 2 2 2 2 2
1 5 2
~ 0 24 12
0 12 6

20.

5 1 2
С.з. 3 4 : A 3 E 1 5 2 ~
2 2 2
1 5 2 1 5 2 1 1
~ 0 24 12 ~ 0 2 1 ~ 0 2
0 12 6 0 0 0
0 0
1 5 2
5 1 2 ~
2 2 2
0
1 .
0

21.

5 1 2 1 5 2
С.з. 3 4 : A 3 E 1 5 2 ~ 5 1 2 ~
2 2 2 2 2 2
1 5 2 1 5 2 1 1 0
~ 0 24 12 ~ 0 2 1 ~ 0 2 1 .
0 12 6 0 0 0
0
0
0
1
x1 x2 0 ,
Вектор u 1 – ФСР ОСЛУ (*0) :
2 x2 x3 0
2
(при свободном неизвестном x 1) .
2

22.

5 1 2 1 5 2
С.з. 3 4 : A 3 E 1 5 2 ~ 5 1 2 ~
2 2 2 2 2 2
1 5 2 1 5 2 1 1 0
~ 0 24 12 ~ 0 2 1 ~ 0 2 1 .
0 12 6 0 0 0
0
0
0
1
x1 x2 0 ,
Вектор u 1 – ФСР ОСЛУ (*0) :
2 x2 x3 0
2
(при свободном неизвестном x 1) .
2
1/ 6
‒ единичный собственный
1
h3
u 1/ 6
|u |
2 / 6 вектор матрицы А при
собственном значении 4 .
3

23.

Столбцами искомой ортогональной матрицы перехода
Q (матрицы замены переменных) служат найденные
единичные собственные векторы матрицы А:

24.

Столбцами искомой ортогональной матрицы перехода
Q (матрицы замены переменных) служат найденные
единичные собственные векторы матрицы А:
1/ 2 1/ 3 1/ 6
Q 1/ 2 1/ 3 1/ 6
0
1
/
3
2
/
6

25.

Столбцами искомой ортогональной матрицы перехода
Q (матрицы замены переменных) служат найденные
единичные собственные векторы матрицы А:
Ответ:
2
2 z1
2
2 z2
2
4 z3
x1 1 / 2 1 / 3 1 / 6 z 1
x2 1 / 2 1 / 3 1 / 6 z2
x 0
1 / 3 2 / 6 z3
3

26.

Столбцами искомой ортогональной матрицы перехода
Q (матрицы замены переменных) служат найденные
единичные собственные векторы матрицы А:
Ответ:
2
2 z1
2
2 z2
2
4 z3
x1 1 / 2 1 / 3 1 / 6 z 1
x2 1 / 2 1 / 3 1 / 6 z2
x 0
1 / 3 2 / 6 z3
3
Знаки единичных векторов h 1 u обычно выбирают
|u |
так, чтобы det Q 1.

27.

34. Кривые второго порядка
27

28.

34. Кривые второго порядка
34.1. Общее уравнение
O, i , j – прямоугольная
декартова
система координат
28

29.

34. Кривые второго порядка
34.1. Общее уравнение
O, i , j – прямоугольная
декартова
система координат
Кривой второго порядка называется множество
точек плоскости, задаваемое уравнением
a11x a22 y 2a12 xy 2b1x 2b 2 y c 0.
2
2
29

30.

34. Кривые второго порядка
34.1. Общее уравнение
O, i , j – прямоугольная
декартова
система координат
Кривой второго порядка называется множество
точек плоскости, задаваемое уравнением
a11x a22 y 2a12 xy 2b1x 2b 2 y c 0.
~
x
x
34.2. Заменой переменных Q уравнение
~
y
y
2
2
можно упростить, приведя квадратичную форму
a11x 2 2a12 xy a22 y 2 к главным осям (п. 33.6):
30

31.

1~
x 2 2 ~
y 2,
31

32.

1~
x 2 2 ~
y 2,
~ ~
выбирая на плоскости новый базис i , j :
~
~
~ ~
| i | | j | 1; i j
32

33.

1~
x 2 2 ~
y 2,
~ ~
выбирая на плоскости новый базис i , j :
~
~
~
~
~
i q11 i q21 j
| i | | j | 1; i j
~
j q12 i q22 j
33

34.

1~
x 2 2 ~
y 2,
~ ~
выбирая на плоскости новый базис i , j :
~
~
~
~
~
i q11 i q21 j
| i | | j | 1; i j
~
j q12 i q22 j
q11 q12
-- собственные векторы матрицы
q21 q22
a11 a12 квадратичной
A
a21 a22 формы φ,
соответствующие собственным значениям λ1 и λ2.
34

35.

34.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
~
~
x0
x
x
ˆ
~
~
ˆ
O ( x0; y0 ) − заменой переменных
~
~
y
y
ˆ
y0
35

36.

34.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
~
~
x0
x
x
ˆ
~
~
ˆ
O ( x0; y0 ) − заменой переменных
~
~
y
y
ˆ
y0
уравнение кривой приводят к каноническому виду
− одному из девяти:
36

37.

34.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
~
~
x0
x
x
ˆ
~
~
ˆ
O ( x0; y0 ) − заменой переменных
~
~
y
y
ˆ
y0
уравнение кривой приводят к каноническому виду
− одному из девяти:
1)
2)
xˆ 2 yˆ 2
− эллипс
1
a 2 b2
(a b 0)
37

38.

34.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
~
~
x0
x
x
ˆ
~
~
ˆ
O ( x0; y0 ) − заменой переменных
~
~
y
y
ˆ
y0
уравнение кривой приводят к каноническому виду
− одному из девяти:
1)
2)
xˆ 2 yˆ 2
− эллипс
1
a 2 b2
(a b 0)
действительный (+)
мнимый (−) ;
38

39.

34.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
~
~
x0
x
x
ˆ
~
~
ˆ
O ( x0; y0 ) − заменой переменных
~
~
y
y
ˆ
y0
уравнение кривой приводят к каноническому виду
− одному из девяти:
1)
2)
xˆ 2 yˆ 2
− эллипс
1
a 2 b2
(a b 0)
действительный (+)
мнимый (−) ;
yˆ 2
3)
2 1 − гипербола (a, b 0) ;
2
a
b
xˆ 2
39

40.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
1−5
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
− уравнения центральных кривых второго порядка.
6) yˆ 2 2 p xˆ − парабола (p > 0);
7) 2
yˆ a 2 − пара
8)
параллельных
прямых
9)
действительных (+)
мнимых (−) (a 0) ;
yˆ 2 0 − пара совпавших прямых.
40

41.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
41

42.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
42

43.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
1−5
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
− уравнения центральных кривых второго порядка.
43

44.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
1−5
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
− уравнения центральных кривых второго порядка.
6) yˆ 2 2 p xˆ − парабола (p > 0);
44

45.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
1−5
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
− уравнения центральных кривых второго порядка.
6) yˆ 2 2 p xˆ − парабола (p > 0);
7) 2
yˆ a 2 − пара
8)
параллельных
прямых
45

46.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
1−5
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
− уравнения центральных кривых второго порядка.
6) yˆ 2 2 p xˆ − парабола (p > 0);
7) 2
yˆ a 2 − пара
8)
параллельных
прямых
действительных (+)
мнимых (−) (a 0) ;
46

47.

4) xˆ 2 yˆ 2
− пара
0
5) a 2 b 2 пересекающихся
прямых
1−5
действительных (−)
мнимых (+)
(a b 0) ;
− уравнения центральных кривых второго порядка.
6) yˆ 2 2 p xˆ − парабола (p > 0);
7) 2
yˆ a 2 − пара
8)
параллельных
прямых
9)
действительных (+)
мнимых (−) (a 0) ;
yˆ 2 0 − пара совпавших прямых.
47

48.

34.4. Эллипс действительный
y2
2 1
2
a
b
x2
48

49.

34.4. Эллипс действительный
y
b
−a
y2
2 1
2
a
b
x2
полуоси a b 0 ;
М (х; у)
a
x
−b
49

50.

34.4. Эллипс действительный
y
b
−a
полуоси a b 0 ;
М (х; у)
a
−b
y2
2 1
2
a
b
x2
(при a = b − окружность
радиуса a);
x
c a 2 b2 ;
50

51.

34.4. Эллипс действительный
y
полуоси a b 0 ;
b
−a
F1
М (х; у)
F2
−b
y2
2 1
2
a
b
x2
a
(при a = b − окружность
радиуса a);
x
c a 2 b2 ;
F1,2 ( c; 0) фокусы;
51

52.

34.4. Эллипс действительный
y
полуоси a b 0 ;
b
−a
F1
М (х; у)
F2
−b
y2
2 1
2
a
b
x2
a
(при a = b − окружность
радиуса a);
x
c a 2 b2 ;
F1,2 ( c; 0) фокусы;
M Э | MF1 | | MF2 | 2a
52

53.

c
e 1 эксцентриситет;
a
y
b
−a
F1
М
F2
a
x
−b
53

54.

c
e 1 эксцентриситет;
a
y
b
−a
F1
М
F2
| M F1,2 | a ex
a
x
−b
54

55.

c
e 1 эксцентриситет;
a
y
a
d1, 2 : x директрисы:
e
b
−a
d1
F1
М
F2
−b
| M F1,2 | a ex
x
a
d2
55

56.

c
e 1 эксцентриситет;
a
y
a
d1, 2 : x директрисы:
e
b
−a
d1
F1
М
F2
−b
| M F1,2 | a ex
x
a
d2
| M F1,2 |
M Э
e
(M , d1,2)
( M , d1 ) − расстояние от точки М до директрисы d1
56

57.

Касательная к эллипсу:
y
М0 (х0; у0)
−a
a
x
57

58.

Касательная к эллипсу:
y
L
М0 (х0; у0)
N
−a
F1
F2
a
x
Свойство касательной: LM 0 F1 NM 0 F2 .
58

59.

Касательная к эллипсу:
y
L
Уравнение
касательной
в точке
М0 (х0; у0)
N
−a
F1
F2
a
x
M0(x0; y0) Э :
x x0 y y0
2 1
2
a
b
Свойство касательной: LM 0 F1 NM 0 F2 .
59

60.

34.5. Гипербола
y2
2 1
2
a
b
x2
полуоси a, b 0 ;
60

61.

34.5. Гипербола
y2
2 1
2
a
b
x2
полуоси a, b 0 ;
c a 2 b2 ;
c
e 1
a
эксцентриситет;
61

62.

34.5. Гипербола
y2
2 1
2
a
b
x2
полуоси a, b 0 ;
c a 2 b2 ;
c
e 1
a
эксцентриситет;
b
y x асимптоты;
a
62

63.

y2
2 1
2
a
b
x2
34.5. Гипербола
d1
d2
полуоси a, b 0 ;
c a 2 b2 ;
c
e 1
a
эксцентриситет;
b
y x асимптоты;
a
F1,2 ( c; 0) фокусы;
a
d1, 2 : x директрисы:
e
63

64.

34.5. Гипербола
d1
M Г | MF1 | | MF2 | 2a
d2
64

65.

34.5. Гипербола
d1
M Г | MF1 | | MF2 | 2a
d2
| M F1, 2 |
e;
( M , d1, 2 )
65

66.

34.5. Гипербола
d1
M Г | MF1 | | MF2 | 2a
d2
| M F1, 2 |
e;
( M , d1, 2 )
| M F1,2 | a ex
66

67.

34.5. Гипербола
d1
M Г | MF1 | | MF2 | 2a
d2
| M F1, 2 |
e;
( M , d1, 2 )
| M F1,2 | a ex
Уравнение касательной
в точке M 0 ( x0 ; y0 ) Г :
x x0 y y0
1
a2
b2
67

68.

34.5. Парабола
y2 2 p x
68

69.

34.5. Парабола
y2 2 p x
p
d : x директриса:
2
69

70.

34.5. Парабола
y2 2 p x
p
d : x директриса:
2
p
F ; 0 фокус;
2
M П | F M | ( M , d )
70

71.

34.5. Парабола
y2 2 p x
p
d : x директриса:
2
p
F ; 0 фокус;
2
M П | F M | ( M , d )
Уравнение касательной
в точке M 0(x0; y0) П :
y y0 p x p x0
71

72.

~ ~
ˆ
34.6. Система координат O, i , j , в которой
уравнение кривой второго порядка имеет
канонический вид, называется канонической.
72

73.

~ ~
ˆ
34.6. Система координат O, i , j , в которой
уравнение кривой второго порядка имеет
канонический вид, называется канонической.
Каноническая система координат определяется,
вообще говоря, неоднозначно.
73

74.

35. Поверхности второго порядка
74

75.

35. Поверхности второго порядка
35.1. Общее уравнение
O, i , j, k – п.д.с.к.
75

76.

35. Поверхности второго порядка
35.1. Общее уравнение
O, i , j, k – п.д.с.к.
Поверхностью второго порядка называется
множество точек пространства, задаваемое уравнением
a11x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
2b1x 2b2 y 2b3 z c 0
76

77.

35. Поверхности второго порядка
35.1. Общее уравнение
O, i , j, k – п.д.с.к.
Поверхностью второго порядка называется
множество точек пространства, задаваемое уравнением
a11x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
2b1x 2b2 y 2b3 z c 0
~
x
x
y Q ~
35.2. Заменой переменных
y (п. 33.6)
~
(Q ‒ ортогональная матрица) z
z
77

78.

35. Поверхности второго порядка
35.1. Общее уравнение
O, i , j, k – п.д.с.к.
Поверхностью второго порядка называется
множество точек пространства, задаваемое уравнением
a11x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
2b1x 2b2 y 2b3 z c 0
~
x
x
y Q ~
35.2. Заменой переменных
y (п. 33.6)
~
(Q ‒ ортогональная матрица) z
z
уравнение можно упростить,
приведя квадратичную форму
78

79.

~
~
~
2
2
2,
x
y
z
к главным осям,
1
2
3
~ ~ ~
выбирая в пространстве новый базис i , j , k :
~ ~ ~
~ ~ ~ ~
| i | | j | | k | 1; i j k i .
35.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
Oˆ ( ~
x0 ; ~
y0 ; ~
z0 )
~
~
ˆ
x
x
x0
− заменой
~
y yˆ ~
y0
переменных ~ ~
z zˆ z0
уравнение поверхности приводят к
каноническому виду − одному из семнадцати:
79

80.

~
~
~
2
2
2,
x
y
z
к главным осям,
1
2
3
80

81.

~
~
~
2
2
2,
x
y
z
к главным осям,
1
2
3
~ ~ ~
выбирая в пространстве новый базис i , j , k :
~ ~ ~
~ ~ ~ ~
| i | | j | | k | 1; i j k i .
81

82.

~
~
~
2
2
2,
x
y
z
к главным осям,
1
2
3
~ ~ ~
выбирая в пространстве новый базис i , j , k :
~ ~ ~
~ ~ ~ ~
| i | | j | | k | 1; i j k i .
35.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
Oˆ ( ~
x0 ; ~
y0 ; ~
z0 )
82

83.

~
~
~
2
2
2,
x
y
z
к главным осям,
1
2
3
~ ~ ~
выбирая в пространстве новый базис i , j , k :
~ ~ ~
~ ~ ~ ~
| i | | j | | k | 1; i j k i .
35.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
Oˆ ( ~
x0 ; ~
y0 ; ~
z0 )
~
~
ˆ
x
x
x0
− заменой
~
y yˆ ~
y0
переменных ~ ~
z zˆ z0
уравнение поверхности приводят к
каноническому виду
83

84.

~
~
~
2
2
2,
x
y
z
к главным осям,
1
2
3
~ ~ ~
выбирая в пространстве новый базис i , j , k :
~ ~ ~
~ ~ ~ ~
| i | | j | | k | 1; i j k i .
35.3. Выбирая, если нужно, новое начало координат,
Oˆ ( ~
x0 ; ~
y0 ; ~
z0 )
~
~
ˆ
x
x
x0
− заменой
~
y yˆ ~
y0
переменных ~ ~
z zˆ z0
уравнение поверхности приводят к
каноническому виду − одному из семнадцати:
84

85.

1) xˆ
2
2
a
2)
yˆ 2
b2
zˆ 2
c2
Эллипсоиды:
1
действительный (+)
(a b c 0) мнимый (−) ;
85

86.

1) xˆ
2
2
a
2)
3) xˆ
2
2
a
4)
yˆ 2
b2
yˆ 2
b2
zˆ 2
c2
zˆ 2
Эллипсоиды:
1
действительный (+)
(a b c 0) мнимый (−) ;
Гиперболоиды:
1
c 2 (a b 0)
однополостный (+)
двуполостный (−);
86

87.

1) xˆ
2
2
a
2)
3) xˆ
2
2
a
4)
5) xˆ 2
6) a
2
yˆ 2
b2
yˆ 2
b2
yˆ 2
b2
zˆ 2
c2
zˆ 2
Эллипсоиды:
1
(a b c 0) мнимый (−) ;
Гиперболоиды:
1
c 2 (a b 0)
zˆ 2
действительный (+)
однополостный (+)
двуполостный (−);
Конусы:
действительный (−) (a b 0),
0
c2
мнимый (+) (a b c 0);
87

88.

Если две полуоси равны друг другу (a = b или …) ,
то эллипсоид называется эллипсоидом вращения
88

89.

Если две полуоси равны друг другу (a = b или …) ,
то эллипсоид называется эллипсоидом вращения
‒ его можно получить вращением эллипса
вокруг одной из осей:
89

90.

Если две полуоси равны друг другу (a = b или …) ,
то эллипсоид называется эллипсоидом вращения
‒ его можно получить вращением эллипса
вокруг одной из осей:
2
2
2
y
x
z
эллипсоид вращения
2 2 1
2
a
a
c
получен вращением эллипса
90

91.

Если две полуоси равны друг другу (a = b или …) ,
то эллипсоид называется эллипсоидом вращения
‒ его можно получить вращением эллипса
вокруг одной из осей:
2
2
2
y
x
z
эллипсоид вращения
2 2 1
2
a
a
c
получен вращением эллипса
y2 z2
2 1
2
a
c
вокруг оси Oz.
91

92.

3) Однополостный гиперболоид
x2
y2
a
b2
2
z2
c2
1
(a b 0) :
92

93.

4) Двуполостный гиперболоид
2
2
2
x y z
1
a2 b2 c2
(a b 0) :
93

94.

5) Конус действительный
2
2
y
x
z2
0
2
2
2
a
b
c
(a b 0) :
94

95.

5) Конус действительный
2
x2 y
z2
2 2 0
2
a
b
c (a b 0) :
В сечении
действительного
конуса
плоскостями,
параллельными
плоскости Охy,
получаются
эллипсы.
z
O
x
y
95

96.

z
В сечении
действительного
конуса
плоскостями,
проходящими
через ось Oz,
получаются
пары
пересекающихся
прямых.
O
x
y
96

97.

z
В сечении
действительного
конуса
плоскостями,
параллельными
оси Oz,
получаются
гиперболы…
O
x
y
97

98.

Параболоиды:
7) xˆ 2
8) a
2
ˆy 2
b
2
2z
эллиптический (+)
(a b 0);
гиперболический (−)

99.

Параболоиды:
7) xˆ 2
8) a
2
ˆy 2
b
2
2z
эллиптический (+)
(a b 0);
гиперболический (−)
7) Эллиптический параболоид
2
2
y
x
2
z
a 2 b2
(a b 0):
99

100.

8) Гиперболический параболоид
2
y
x
2 2z
2
a b
(a b 0) :
2
100

101.

8) Гиперболический параболоид
2
y
x
2 2z
2
a b
(a b 0) :
2
z
x
y
101

102.

Цилиндры:
9)
10)
2
2
эллиптические
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
102

103.

Цилиндры:
9)
10)
2
2
эллиптические
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
xˆ 2 yˆ 2
11) гиперболический: 2 2 1;
a b
103

104.

Цилиндры:
9)
10)
2
2
эллиптические
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
xˆ 2 yˆ 2
11) гиперболический: 2 2 1;
a b
2
14) yˆ 2 p xˆ ( p 0) − параболический;
104

105.

Цилиндры:
9)
10)
2
2
эллиптические
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
xˆ 2 yˆ 2
11) гиперболический: 2 2 1;
a b
2
14) yˆ 2 p xˆ ( p 0) − параболический;
пары плоскостей:
105

106.

Цилиндры:
9)
10)
2
2
эллиптические
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
xˆ 2 yˆ 2
11) гиперболический: 2 2 1;
a b
2
14) yˆ 2 p xˆ ( p 0) − параболический;
12)
13)
пары плоскостей:
пересекающихся
2
xˆ 2 yˆ
0
a 2 b2
(a b 0)
действительных (−),
мнимых (+);

107.

Цилиндры:
9)
10)
2
эллиптические
2
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
xˆ 2 yˆ 2
11) гиперболический: 2 2 1;
a b
2
14) yˆ 2 p xˆ ( p 0) − параболический;
12)
13)
15)
16)
пары плоскостей:
пересекающихся
2
xˆ 2 yˆ
0
a 2 b2
(a b 0)
параллельных
yˆ a (a 0)
2
2
действительных (−),
мнимых (+);
действительных (−),
мнимых (+);
107

108.

Цилиндры:
9)
10)
2
эллиптические
2
yˆ
xˆ
2 1
2
a
b
действительный (−),
мнимый (+)
(a b 0) ;
xˆ 2 yˆ 2
11) гиперболический: 2 2 1;
a b
2
14) yˆ 2 p xˆ ( p 0) − параболический;
12)
13)
пары плоскостей:
пересекающихся
2
xˆ 2 yˆ
0
a 2 b2
(a b 0)
параллельных
15)
16)
yˆ a (a 0)
17)
yˆ 0 − совпавших.
2
2
действительных (−),
мнимых (+);
действительных (−),
мнимых (+);
2
108

109.

9) Действительный
эллиптический
цилиндр:
2
2
y
x
1
,
a 2 b2
(a b 0) ;
109

110.

2
11) Гиперболический
цилиндр
2
y
x
(a, b 0):
1
a2 b2
110

111.

2
11) Гиперболический
цилиндр
2
y
x
(a, b 0):
1
a2 b2
111

112.

14) Параболический
цилиндр:
y2 2 p x, p 0:
112

113.

~ ~~
ˆ
35.4. Система координат O, i , j , k ,
в которой
уравнение поверхности второго порядка имеет
канонический вид, называется канонической.
113

114.

~ ~~
ˆ
35.4. Система координат O, i , j , k ,
в которой
уравнение поверхности второго порядка имеет
канонический вид, называется канонической.
Каноническая система координат определяется,
вообще говоря, неоднозначно.
114

115.

36. Квадрики в евклидовых пространствах
36.1. Общее уравнение и матрица
Квадрикой в евклидовом пространстве называется
множество точек, задаваемое уравнением
n
n
n
a i j xi x j 2 b j x j c 0 ,
i 1 j 1
где
i 1
хi – координаты соответствующих векторов x
в ортонормированном базисе e (e1, ..., en )
евклидова пространства Е: x x1 e1 ... xn en .
Расширенной матрицей этой квадрики называют
115

116.

b1 Уравнение квадрики
можно переписать
~
A
. в матричном виде,
an1 an n bn
b b
x
c
1
1
n
~
( x1 , x2 , , xn ,1) A 0 ,
xn
1
а также в функциональной форме ( x ) 2 l ( x ) c 0 ,
где и b ─ квадратическая и линейная функции,
, l : E E , ( x ) x A x , l ( x ) b x .
матрицу a11 a1n
116

117.

36.2. Уравнение всякой квадрики в евклидовом
пространстве можно привести к одному из трёх
(a) 1z12 ... r zr2 0 ,
видов:
(b) 1z12 ... r zr2 0 ,
(c) 1z12 ... r zr2 2 zr 1 0 ,
i 0 , 1 i r ;
, 0 ,
преобразованием неизвестных x T z c ,
T ортогональная матрица,
c координаты вектора сдвига
к новому началу координат.
117

118.

Благодаря п. 33.6 можем считать, что квадратичная
форма (x ) приведена к главным осям
1 y12 ... r yr2 , i 0 (1 i r )
преобразованием неизвестных x Q y , Q
матрица перехода к ортонормированному базису f ,
fk собственный вектор соотв. симметрического
преобразования при собственном значении λk .
Тогда линейная часть уравнения
квадрики преобразуется по известному правилу
l ( x ) b 1 y 1 ... bn yn ,
(b 1, ..., bn ) (b1, ..., bn ) Q ,
118

119.

и всё уравнение в новых неизвестных приобретает
вид
1 y12 ... r yr2 2b 1 y1 ... 2b n yn c 0 .
Выделяя полные квадраты,
2
2
b
b
(
b
)
i
i
i
2
2
i yi 2b i yi i yi 2 yi
i
i i
2
2
b i
b
(
b
)
i
i
(1 i r ),
i yi
, и полагая zi yi
i
i
i
получаем уравнение
1z12 ... r zr2 2b r 1 yr 1 ... 2b n yn c 0 .
119

120.

Если b r 1 ... b n 0 , то уравнение приведено
Иначе положим
к виду (a) или (b).
u b r 1 f r 1 ... b n f n 0 собственный вектор
при нулевом собственном значении, ортогональный
1
векторам f1, ..., f r . Систему векторов f1, ..., f r ,
u
|u |
дополним до ортонормированного базиса g ,
в котором уравнение квадрики приобретает вид
1z12 ... r zr2 2 yr 1 c 0 , 0 ,
и остается обозначить 2v yr 1 c 2 zr 1 .
120