Приведение уравнений фигур к каноническому виду при помощи квадратичных форм

1.

§27. Приведение уравнений фигур к
каноническому виду при помощи квадратичных
форм
п.1. Основные определения.
Квадратичной формой от n переменных
называется сумма, каждый член которой
является либо квадратом одной из
переменных, либо произведением двух
переменных, взятых с некоторым
коэффициентом
L( x1 , x2 ,..., xn ) a x a x ... a x
2
11 1
2
22 2
2
nn n
a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 ... an 2 x2 xn ...
n
n
an1 xn x1 ... ann 1 xn xn 1 aij xi x j .
i 1 j 1

2.

Теорема.
Собственные векторы, соответствующие
различным собственным значениям
симметрической матрицы ортогональны.
Теорема. При невырожденном линейном
преобразовании X CY матрица
квадратичной формы принимает вид
A C AC .
*
T

3.

Говорят, что квадратичная форма имеет
канонический вид, если она содержит только
квадраты переменных.
Матрица канонической квадратичной формы
является диагональной.
Пример.
L( x1 , x2 , x3 ) 2 x 5 x 3 x ;
2
1
2
2
2 0 0
A 0 5 0 .
0 0 3
2
3

4.

Теорема. Любая квадратичная форма, с
помощью невырожденного преобразования
переменных может быть приведена к
каноническому виду.

5.

п.2. Применение квадратичных форм
для исследования кривых второго
порядка.
Пусть кривая второго порядка задана
уравнением
2
2
a11 x 2a12 xy a22 y bx cy f 0.
Рассмотрим квадратичную форму
L( x, y ) a11 x 2a12 xy a22 y .
Канонический вид
2
L( x ', y ') 1 x '2 2 y '2 .
2

6.

Если
1 2 0,
то кривая имеет эллиптический вид;
если
1 2 0,
то кривая имеет гиперболический вид;
если
1 2 0,
то кривая имеет параболический вид.

7.

Пример. Определить вид кривой
2 x 2 xy 2 y 1 0.
Решение. Составим матрицу
2 1
.
1 2
2
Так как
1 2
2
2 1
3 0,
1 2
то кривая имеет эллиптический вид.

8.

Пример. Привести к каноническому виду
уравнение кривой
2
2
5 x 4 xy 8 y 8 x 14 y 5 0
Сделать рисунок.
Решение. Обозначим
L( x, y ) 5 x 2 4 xy 8 y 2 .
Матрица этой квадратичной формы имеет вид
5 2
.
2 8
Составим характеристическое уравнение
5
2
2
8
13 36 0.
2

9.

Собственные числа:
1 4, 2 9.
Найдем собственные векторы.
1 4.
x1 2 x2 0,
x1 2 x2 .
2 x1 4 x2 0,
Пусть
x2 t ,
тогда
x1 2t.

10.

Поэтому
2t 2
x
t , t R, t 0
t 1
— собственные векторы, соответствующие
собственному числу 1 4.
1
Нормируем эти векторы:
| x1 | ( 2) 2 12 5;
2
5
.
x1 '
1
5

11.

2 9.
4 x1 2 x2 0,
x2 2 x1.
2 x1 x2 0,
Пусть
x1 t ,
тогда
Поэтому
x2 2t.
t 1
x t , t R, t 0
2t 2
— собственные векторы, соответствующие
собственному числу 2 9.
2

12.

Нормируем эти векторы:
| x 2 | 12 22 5;
x2 '
1
5
.
2
5

13.

Матрица преобразования координат (матрица
поворота):
2
5
T
1
5
1
5
.
2
5
Формулы преобразования осей координат
x
y
2
x '
5
1
x '
5
1
y ',
5
2
y '.
5

14.

Подставив в уравнение данной кривой
выражения для x и y
2
2
1
1 1
2 1
2
2
2
5
x '
y ' 4
x '
y '
x '
y ' 8
x '
y '
5
5 5
5 5
5
5
5
1
2
2
1
8
x '
y ' 14
x '
y ' 5 0.
5
5
5
5
Так как с помощью указанного преобразования
координат квадратичная форма приводится к
каноническому виду, то получим
2
36
4x ' 9 y '
x '
y ' 5 0.
5
5
2
2

15.

Выделим полные квадраты
2
1
1 1
1 1
2
2
4x '
x ' 4 x '
x ' 4 x ' 2x '
2 2 5 80 80
5
2 5
2
1
1
1
1
4 x '
4 x '
;
80
20
4
5
4
5
2
2
36
1 4 4 4
2 4
2
9y '
y ' 9 y '
y ' 9 y ' 2 y '
2 5 5 5
5
5
2
2
2
2 4
2 36
9 y '
9 y '
.
5
5
5
5

16.

Подставим
2
2
1
2
1 36
4 x '
9 y '
20 5 5 0;
4 5
5
2
2
1
2 9
4 x '
9 y '
4.
4 5
5
Выполним параллельный перенос по
формулам
1
x ' x " 4 5 ,
y ' y " 2 .
5

17.

Окончательно получим
9
4x " 9 y " ;
4
x "2 y "2
1
9
1
16
4
2
2
— эллипс с полуосями
3
1
a , b .
4
2

18.

y
y'
x'
y"
1
1
x
4 5
1
y
x
x"
2
5

19.

Замечание.
В результате приведения к каноническому
виду возможны следующие случаи:
2
2
x
y
2 1 — эллипс;
2
a
b
2
2
x
y
2 1 — нет точек (мнимый эллипс);
2
a
b
x2 y 2
2 0 — одна точка;
2
a
b

20.

x2 y 2
2 1 — гипербола с действительной
2
a b
осью Ox;
x2 y2
2 1 — гипербола с действительной
2
a b
осью Oy;
2
2
x
y
2 0 — пара пересекающихся прямых;
2
a
b

21.

y 2 px — парабола (любые варианты);
2
y2 a2
— пара параллельных прямых;
y 2 a 2 — нет точек (пара мнимых
параллельных прямых);
y 0
2
— одна прямая.