Степенные ряды (СР)

1.

Степенные ряды (СР)
an x x0 , x
n
n 0
Исследование сходимости ряда an x x0 , x
n
n 0
эквивалентно
исследованию сходимости ряда an x n , x
n 0
Частичные суммы СР являются многочленами.
1

2.

Сходимость степенного ряда
Любой степенной ряд an x n при x 0 сходится абсолютно.
n 0
Лемма Абеля.
Если последовательность an x n ограничена и x 0 , то
ряд an x n сходится абсолютно для x x .
n 0
Возьмем любое x , для которого x x .
xn
xn
an x an x n C n , C
x
x
a x ограничена
n
n
n
n
.
ряд an x n
n 0
n
x
x
1 ряд C
сходится.
x
x
n 0
сх-ся абсолютно.
2

3.

Теорема Коши – Адамара.
Положим : lim n an , 0 ; r :
n
1
. Тогда:
а) при r 0 ряд an x n расходится x 0 ;
n 0
б) при r ряд an x n сходится абсолютно;
n 0
в) при 0 r ряд an x n сходится абсолютно для x x r и
n 0
расходится для x x r .
Следствие. Для каждого СР r такое что ряд an x n .
n 0
– при x r – сходится абсолютно,
– при x r – расходится.
З а м е ч а н и е 1. Число r – радиус сходимости ряда an x n ,
n 0
r, r – интервал сходимости ряда an x n .
n 0
З а м е ч а н и е 2 . При x r ряд может как сходиться, так и расходиться.
3

4.

Теорема. Радиус сходимости СР может быть вычислен как по формуле
an
1
n
lim an , так и по формуле r lim
.
n
n
r
an 1
По признаку Даламбера для ряда an x n получим
n 0
lim
n
an 1 x n 1
an x
n
an 1 x
x
lim
.
n a
r
n
x
x
1 и расходится при
1 .
ряд an x сходится абсолютно при
r
r
n 0
n
7

5.

Теорема Абеля о равномерной сходимости.
Ряд ak x k сходится равномерно
k 0
на любом отрезке вида q, q , содержащемся во множестве сходимости.
Пусть r – радиус сходимости ряда ak x k и q 0, r .
k 0
1. Множество сходимости ряда r , r , или r , r , или r , r .
Тогда q r и ряд an x n сходится равномерно на q, q по признаку Вейерштрасса:
n 0
1) x q, q an x ak q k
n
n 0
k 0
2) числовой ряд ak q k сходится абсолютно в силу теоремы Коши-Адамара.
k 0
2. Множество сходимости ряда r , r .
k
x
Ряд ak x ak r сходится равномерно на r , r по признаку Абеля:
r
k 0
k 0
k
k
1) ak r k сходится равномерно (как числовой сходящийся),
k 0
k
x
2) монотонна по k ,
r
3) x r , r
k
x
1.
r
8

6.

Теорема. Сумма степенного ряда непрерывна на множестве сходимости.
Пусть S x – сумма СР, A – его множество сходимости.
Зафиксируем любое x внутри множества A и выберем некоторый
отрезок , A , такой что x , . На этом отрезке члены ряда непрерывны, а сам ряд сходится равномерно в силу теоремы Абеля. Тогда,
согласно теореме о непрерывности ФР, его сумма непрерывна на этом
отрезке, а значит, и в точке x .
9

7.

Теорема. Пусть ak x k S x , x A , – степенной ряд с радиусом сходиk 0
мости r и множеством сходимости A . Тогда:
x
1) x A
ak k 1
x ;
k 0 k 1
S u du
0
2) S x C
1
r , r и x r, r S x ka x
k 1
k
k 1
,
причем радиус сходимости полученных рядов равен r.
Доказательство следует из теоремы Абеля и теорем о почленном интегрировании и дифференцировании ФР.
Утверждение о радиусе сходимости следует из теоремы Коши – Адамара:
k
a
1) lim k k 1 lim k ak 1 lim k 1 ak lim k ak k 1 lim k ak ;
k
k
k
k
k
k
2) lim k k 1 ak 1 lim k ak 1 lim k 1 ak lim k ak
k
k
k
k
k
k 1
lim k ak .
k
10

8.

Свойства степенного ряда
СР на любом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости, сходится абсолютно и равномерно.
Сумма СР непрерывна на всем множестве сходимости.
На множестве сходимости СР можно интегрировать и дифференцировать
почленно произвольное число раз. Радиус сходимости у полученных при
этом СР будет совпадать с радиусом сходимости исходного ряда.
11

9.

Разложение функции в степенной ряд
Функция f x на x0 r , x0 r может быть разложена в СР, если существует СР
a x x , сходящийся к f x в указанном интервале.
k 0
k
k
0
Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд. Для того чтобы функция f x могла быть разложена в степенной ряд на интервале x0 r , x0 r , необходимо,
чтобы эта функция имела на указанном интервале производные любого порядка.
S x0
Теорема. Если ak x x0 S x на множестве x0 r , x0 r , то k 0 ak
.
k
!
k 0
k
k
Подставляя x x0 в формулу ak x x0 S x , получим a0 S x0 .
k
k 0
После почленного диффер-ния получим
S x kak x x0
k 1
k 1
a1 S x0 . и т.д.
Теорема. Если функция f x может быть на интервале x0 r , x0 r разложена в СР,
то этот ряд единственен (т.е. ряд Тейлора).
Теорема является следствием предыдущей теоремы, так как коэффициенты СР12(если
он существует) определяются однозначно.

10.

З а м е ч а н и е . Существуют функции, имеющие на x0 r , x0 r непрерывные производные любого порядка, но не разложимые на этом интервале в степенной ряд, например,
2
e 1/ x , x 0,
f x
0, x 0.
f 0 0 и f x e 1/ x 0 f x – непр. в нуле.
2
x 0
2 1/ x2
e
0 и f x – непр. в нуле f x непр. в нуле и f 0 0 .
x 0
x3
2
2
6
4
f x 4 e 1/ x 6 e 1/ x 0 и f x – непр. в нуле f x непр. в нуле и f 0 0 .
x 0
x
x
2
2
2
24
36
8
f x 5 e 1/ x 7 e 1/ x 9 e 1/ x 0 и f x – непр. в 0 f x непр. в 0 и f 0 0 .
x 0
x
x
x
…. и т.д
f x
Итак, функция f имеет в любой точке x R производные всех порядков, причем в нуле
все ее производные равны 0 ak x 0 x k
k
k 0
k 0
Согласно теореме Коши – Адамара радиус сходимости этого ряда r , т.е. ряд сходится при любом x , но сумма его есть тождественный нуль и ни в какой точке, кроме
нуля, не равна f x . Поскольку единственным степенным рядом, представляющим в некоторой окрестности нуля функцию f x , может быть только ее ряд Тейлора в точке x0 0 ,
функция f x не представляется степенным рядом в окрестности нуля.
13

11.

Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд
Пусть x0 , 0 r . Тогда, если функция f x удовлетворяет условиям:
x r, x r ;
1) f x
2) C
k 1 x x0 r , x0 r f x C k ,
0
0
k
то
x x0 r , x0 r
f x0
k
f x
x
x
0 ,
k!
k 0
k
причем для r сходимость ряда равномерна на x0 r , x0 r , а для r
сходимость равномерна на любом интервале вида x0 r , x0 r , r .
*
14

12.

Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении
многочленами непрерывной функции.
Всякая непрерывная функция может быть равномерно приближена
последовательностью
многочленов,
т.е.
если
f x C a, b , то существует последовательность многочле-
нов Pn x , равномерно сходящаяся на a, b к функции f x .
*
16

13.

Некоторые примеры разложений функций в степенной ряд
f x e x , x0 0
n
n
f x e x h 0 x h, h n 0 0 f x eh
функция e x раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале,
а значит, и на всей действительной оси.
xk
n
0
x
f 0 e 1 e .
k 0 k !
f x cos x , x0 0
k
k
f x cos x
1
2
функция cos x раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале,
а значит, и на всей действительной оси.
k
k ( 1)m , k 2m
1 x 2 k
n
f 0 cos
m
cos x
.
2 0, k 2m 1
2k !
k 0
20

14.

f x ch x , x0 0
k
k
1
x
e x e x
x2k
x
x
x
e
chx
e
.
k!
2
k 0
k 0 k !
k 0 2 k !
В силу единственности разложения функции в СР правая часть формулы
является рядом Тейлора функций ch x .
k
f x cos 2 x , x0 1
1 cos 2 x
2
k 2 k 1
k
2k
1
2
1 1 1 2 x
1
f x
ak x 2 k , ak
2 2 k 0
2 k 0
2k !
2k !
В силу единственности разложения функции в СР правая часть формулы
является рядом исходной функций.
Учитывая, что cos 2 x
21

15.

f x x 2 3 e x , x0 1
Пусть y x 1 , тогда f x y 1 3 e y 1
2
e y 2 2 y 4 e y
y k 2 2 y k 1 4 y k
e
k
!
k
!
k
!
k 0
k 0
k 0
ym
2 yn
4 y k
e
m 2 m 2 ! n 1 n 1 ! k 0 k !
ym
2 yn
4 yk
e
2y
4 4 y
k 2 k !
m 2 m 2 ! n 2 n 1 !
k
k
e 4 6 y ak y e 2 6 x ak x 1 ,
k 2
k 2
1
2
4 k2 k 4
где ak
k!
k 2 ! k 1 ! k !
В силу единственности разложения функции в СР правая часть формулы
22
является рядом исходной функций.

16.

f x ln 1 x , x0 0.
1
k
f x
1 x k , x 1.
1 x k 0
Интегрируя этот ряд от 0 до x , x 1, получим
1 x .
k k
f x ln 1 x 1 t dt
k 1
k 0
0 k 0
Рассмотрим полученный ряд в граничных точках интервала сходимости:
k
1
– x 1 – сходящийся ряд Лейбница
,
k
1
k 0
1
– x 1 – расходящийся гармонический ряд
,
k 0 k 1
x
следовательно, ряд
k 0
k
k 1
1 x k 1 сходится на множестве
k
k 1
1,1 .
Функция f x непрерывна при x 1 , поэтому сумма ряда
1 x k 1 , являk
k 1
ясь непрерывной функцией на множестве 1,1 , совпадает с ней и в точке x 1 .
k 0
23

17.

f x arccos x , x0 0, x 1.
При x 1
x
arccos x arccos 0
0
2k 1 !! 2 k
1
t dt
2
k 1 2k !!
1 t
0
dt
x
2k 1 !! x 2 k 1
x
k 1 2k !! 2k 1
Следовательно,
2k 1 !! x 2 k 1
arccos x x
.
2
k 1 2k !! 2k 1
24

18.

f x arctg x , x0 0.
При x 1
2 k 1
dt
k 2k
k x
.
arctg x
1 t dt 1
2
1
t
2
k
1
k 0
0
0 n 0
x
x
(*)
Полученный ряд при x 1 по признаку Лейбница сходится.
f x непрерывна при x 1
x 2 k 1
сумма ряда 1
, являясь непрерывной функцией на 1,1 ,
2k 1
k 0
совпадает с ней и в концевых точках x 1 .
k
Замечание.
Хотя функция f x arc tg x определена на
, ее разложение в СР (*)
x 2 k 1
справедливо только на 1,1 . Вне этого отрезка ряд 1
расходится
2
k
1
k 0
согласно теореме Коши – Адамара.
25
k

19.

1
, x0 0 .
f x 2
x 2 9 x
Представим функцию f x в виде
1 x
9
1
f x 2
2
.
83 x 2 x 2 9 x
Учитывая, что
2k
1
1
x2
k x
1 k при
1,
x 2 2 k 0
2
2
1
2
k
x
1
1 x
xk
k 1 при 1,
9
9 x 9 k 0 9 k 0 9
1
1
x2 2 2
при x 2 получим
k 2 k 1
k
1 x 2 k x k
1 1 x
f x
9
k 1 ak x k ,
k 1
k 1
83 k 0
2
2
k 0
k 0 9
k 0
где
m
m
1 9 1
1
1 1
1
a2 m m 1 2 m 1 , a2 m 1 m 1 2 m 2 , m 0,1, 2... .
83 2
9
83 2
9
26

20.

5 x3
, x0 0 .
f x ln
2
4 x
Раскладывая в ряд каждую из функций ln 5 x3 и ln 4 x 2 , получим
3k
3
1
x
x
x3
3
ln 5 x ln 5 ln 1 ln 5
, 1
1,
k
5
5 k
5
k 1
k 1
2k
2
1
x
x
ln 4 x 2 ln 4 ln 1 ln 4
k
4
4
k
k 1
x2k
x2
ln 4 k , 1
1.
4
4
k
k 1
Следовательно, если 2 x 2 , то
k 1 3 k
1
x
x2k
3
2
k
f x ln 5 x ln 4 x ln 5 ln 4
a
x
,
k
k
k
5 k
k 1
k 1 4 k
k 0
k
1
1 1 2 2 3
k при k 6 ,
a0 ln 5 ln 4 , ak
k
k
2
3
4
5
2 k 1
1
a
k
k
3
k
1
3
5 k
3
при k 3 и k 2 , ak
2
k
2
4 k
при k 2 и k 3 .
27

21.

П р и м е р 4.9. Найдем разложение в степенной ряд «неберущегося»
(в элементарных функциях) интеграла и вычислим его с точностью до 10 3
в точке x 1 .
x
x e t dt .
2
0
Подынтегральная функция e x раскладывается во всюду сходящийся
СР следующим образом:
k 2k
1
x
2
e x
.
k!
k 0
СР внутри множества сходимости можно интегрировать почленно:
2
x
1 t 2 k
1 t 2 k
1 x 2 k 1
x
dt
dt
.
k!
k!
k 0 0
k 0 k ! 2k 1
0 k 0
Для 1 получим числовой ряд лейбницевского типа
k
1
1 1 1
1
1
1
1
...
3 10 42 216 1320
k 0 k ! 2k 1
x
Так как r5 1
k
k
k
(*)
1
104 , то 1 S5 1 0.746 и все три знака верные.
1320
28

22.

П р и м е р 4.11. Найдем выражение для производной n -го порядка
1
функции y 2
в точке x 2 .
9 x 36 x 40
Построим разложение в окрестности точки x 2 :
y
1
1
1
1
2
2
9
2
9 x 36 x 40 9 x 2 4 4 1 x 2
4
2k
1
k 3
2k
1 x 2 .
4 k 0
2
Так как полученный степенной ряд можно дифференцировать
в достаточно малой окрестности точки x 2 , в самой точке x 2
получим
y
2 k 1
2k
1
2
k
!
2
2 0 , y 2 k 2
.
k
4
3
29