Применение производной в жизни

1. Тема:Применение производной в жизни.

2. Девиз. В мире не происходит ничего в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер

Эйлер Леонард
(1707—1783),
математик,
физик, механик,
астроном.

3.

С ее появлением математика
перешагнула из алгебры в
математический анализ.
2) Ньютон назвал ее
“флюксией” и обозначал
точкой.
3) Бывает первой, второй, … .

4.

Исторические сведения
Производная – одно из фундаментальных понятий
математики. Оно возникло в XV11 веке. Независимо друг
от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные
элементы дифференциального исчисления.
«Метод флюкций». Так Ньютон назвал свою работу,
посвященную основным понятиям математического
анализа. Функцию Ньютон назвал флюентой,
а производную – флюкцией. Обозначения Ньютона
для производных - х* (с точкой) и у* - сохранились
в физике до сих пор.
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем,
получило название дифференциального
исчисления. С его помощью был решен целый
ряд задач теоретической механики, физики и
астрономии.

5.

6. Задача № 1.

Заряд, протекающий через проводник,
меняется по закону
q=sin*(2t-10)
Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

7.

Решение:
(q)`= cos*(2t-10)*2= 2*cos*(2t-10)
Согласно условиям задачи, t равно 5
секундам , откуда следует:
(q)`= 2*cos*(2*5 – 10) = 2* cos 0 = 2 (А)
Ответ: I = 2 (А).

8. 2. ЗАДАНИЕ Старая сказка на новый лад Укусила лиса сыр и …сломала клык. Обозлилась лиса и бросила кусок сыра в ворону: «Чтоб

тебе!..».Попала ли лиса в ворону, если высота сыра,
брошенного вертикально вверх ,
меняется по закону
s (10 t 5t ) м
2
а ворона сидит на высоте 7метров?

9.

10. Нет, не долетит 2м

11.

12. З а д а ч а 3. Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. x(t) = 3000 + 100t.2 Найти скорость роста

популяции:
в момент t = 1 c.

13. Задача 4

Автомобиль приближается к мосту с
начальной скоростью 72 км/ч .У моста висит
дорожный знак «36 км/ч».За 7 секунд до
въезда на мост водитель нажал на
тормозную педаль. С разрешаемой ли
скоростью автомобиль въехал на мост, если
тормозной путь определяется формулой
4
s (20t t• ) м / с ?
2
36

14.

Да, т.к. скорость
через 7 сек. будет
равна 6 м/с.

15. Задача Дидоны

• Дидона –дочь тирского
царя,легендарная основательница и
первая царица Карфагена.Она
отплыла из финикиского города Тира
в Африку вместе с сокровищами
своего мужа,убитого братом Дидоны.
На пабережье Тунисского залива она
основала карфагенский кремль
Бирсу,купив у местного вождя
участок земли.

16.

17. Развалины Бирсы в Тунисе

18.

Легенда об основании Карфагена гласит, что
когда финикийский корабль пристал к берегу,
местные жители согласились продать
прибывшим столько земли, сколько можно
огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая
царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки,
связала их и получила верёвку длиной 2 000м. ,
огородила полученным ремнём большой участок
земли, примыкавший к побережью.
Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли
купить финикийцы?

19.

Переведём задачу на язык
математики.
A
x
B
AC+CD+DB=L
C
x
D
L - 2x
S = x(L-2x)

20.

Y = x(L-2x) → max
Y = Lx – 2x²
1. Y′ = L – 4x
Данный
2.
Y′
прямоугольник
является
3.
половиной
квадрата,
длинной
стороной
примыкающей к
берегу моря.
= 0 ; L = 4x
x = 0,25L
—
+
0,25L
max
4. AC = 0,25L ;DC = 0,5L

21. Рассказ «Много ли человеку земли нужно» Л.Н.Толстой

О крестьянине Пахоме, покупавшем землю
у башкирцев.
-А цена какая будет?- говорит Пахом.
-Цена у нас одна: 1000 рублей за день.
Не понял Пахом.
-Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?
-Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день
продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000
рублей.
Удивился Пахом.
-Да ведь это, - говорит, -в день обойти земли много
будет.
Засмеялся старшина.
-Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не
придешь в день к тому месту, с какого возьмешься,
пропали твои деньги.
Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца
приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь,
все твое.

22.

Мой университет - www.moimummi.ru

23. Много ли человеку земли надо?

Наибольшей ли площади выбрал участок
Пахом?
PABCD = 40
SABCD = ?

24. Какой из четырёхугольников имеет наибольшую площадь?

Стороны
a
b
P
40
40
40
40
40
Мой университет - www.moimummi.ru
40
S

25. Прямоугольник:

• P = 40 км
• a = x км
• b = (20-x) км
Ответ:
10км, 10км
S = x · (20-x) км²
D(S) = (0;20)
S(x) = 20x – x²
S’(x) = 20 – 2x = -2 (x - 10)
• -2*(х-10)=0 х=10
S’(x)
+
S(x)
0
10
max
20
х

26.

3. Окно имеет форму прямоугольника,
периметр которого равен 8 м. Каковы
должны быть размеры окна, чтобы оно
пропускало наибольшее количество
света?

27. 1.В чём различие задач? 2.Что общего?

28.

29. Знакомство с понятиями прикладных задач математики.

Задачи на нахождение наибольшего и
наименьшего значений какой-либо
величины, часто применяемые в
практической деятельности,
называются оптимизационными.

30.

Задачи на оптимизацию
I этап. Составление математической модели
II этап. Работа с составленной моделью
III этап. Ответ на вопрос задачи

31. Поиск оптимального решения

Наивысшая производительность труда

32. Поиск оптимального решения

Наименьшие потери

33. Поиск оптимального решения

Минимальные затраты времени

34. Поиск оптимального решения

Максимальная прибыль

35. Схема решения оптимизационных задач

1. Проанализировав условие задачи,
определить, наибольшее или наименьшее
значение какой величины требуется
найти (т.е. какую величину нужно
оптимизировать).
2. Принять за независимую переменную одну
из неизвестных величин и обозначить её
буквой x. Определить её границы
изменения.
3. Задать функцию y=f(x).
4. Найти средствами математики
наибольшее или наименьшее значение на
промежутке изменения х.
5. Интерпретировать результат для
рассматриваемой задачи.

36.

Задача3: Предприятие производит Х
единиц некоторой
однородной продукции в месяц.
Установлено, что
зависимость финансовых
накопления предприятия
от объема выпуска выражается
формулой
f(x)=-0,02x3 + 600x -1000.
Исследовать потенциал
предприятия.
.

37.

Решение:
Функция исследуется с помощью производной.
Получаем, что при Х=100 функция достигает
максимума.
Вывод:
Финансовые накопления предприятия растут
с увеличением объема производства
до 100 единиц,
при х =100 они достигают максимума и объем
накопления равен 39000 денежных единиц.
Дальнейший рост производства приводит к
сокращению финансовых накоплений.

38. Вывод:

Производная
функции успешно
применяется при
решении
оптимальных задач
в различных сферах
деятельности
человека.

39. Итоги урока

Продолжите фразу:
«Сегодня на уроке я узнал…»
«Сегодня на уроке я научился…»
«Сегодня на уроке я
познакомился…»
«Сегодня на уроке я повторил…»
«Сегодня на уроке я закрепил…»
«Сегодня на уроке я
совершенствовал…»