Уравнение Бернулли

1.

§8. Уравнения Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y + p(x) y = f(x) y n ,
(1)
где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции,
n 0 , n 1 (иначе это будет линейное уравнение).
Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.
Для этого надо
1) обе части уравнения (1) разделить на y n ,
2) сделать замену z = y 1 – n .
Замечания.
1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно
будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее
при C = ) и особым при 0 < n < 1 .
1

2.

2) Решив получившееся после замены линейное уравнение
методом Бернулли, получим:
z = u(x) v(x) ,
1
y
y
n 1
n 1
u ( x) v( x) ,
1
1
,
u ( x) v( x)
1
n 1
1
y
u ( x)
1
n 1
1
v( x)
u~( x) v~ ( x) .
Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу
искать в виде произведения двух функций методом Бернулли,
не приводя предварительно к линейному уравнению.
2

3. Пример

6x
Уравнение Бернулли
e
y y 2
6x
2
y
y e y
y
2
3
6x
y y y e
1
3
2
2
z y z 3 y y y y z
3
1
6x
6x
z z e z 3z 3e
3
z u v z u v u v
6x
u v u v 3uv 3e
6x
u v u(v 3v) 3e

4. Пример

1
1
x
3
v 3v 0 dv dx ln v x v e
3v
3
3x
v e
e u 3e u 3e
3x
u e c
3x
6x
3x
z e (e c) e
3x
y
3x
3
6x
ce
z e (e c)
x
3x
1
3
3x

5.

§9. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
(2)
называется уравнением в полных дифференциалах, если
его левая часть является полным дифференциалом некоторой
функции u(x , y) , т.е. если
M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) .
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет
вид
u(x , y) = C .
Задачи:
1) научиться определять, когда выражение
M(x , y)dx + N(x , y)dy
является полным дифференциалом;
2) научиться находить функцию u(x , y), зная ее полный дифференциал.
5

6.

ТЕОРЕМА 2.
Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в
области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные
частные производные
M
y
и
N
.
x
Для того чтобы выражение
M(x , y)dx + N(x , y)dy
представляло собой полный дифференциал некоторой
функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех
точках области D выполнялось условие
M N
.
y
x
6

7.

Способы нахождения функции u(x , y):
1) используя алгоритм, предложенный в доказательстве теоремы 2;
2) используя одну из следующих формул:
u ( x, y )
x
y
x0
y0 x const
N ( x, y )dy
M ( x, y0 )dx
u ( x, y)
x
y
x0 y const
y0
( x, y )dx N ( x0 , y)dy
M
где (x0 ,y0) – любая точка области D непрерывности функций
M(x , y), N(x , y).
7

8.

3) методом интегрируемых комбинаций.
Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в
M(x , y)dx + N(x , y)dy
выражения, являющиеся дифференциалами известных функций («интегрируемые комбинации») и привести его таким
образом к виду du(x , y) .
ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:
n 1
x
,
x n dx d
n
1
dx
d ln | x | ,
x
xdy ydx d (xy ) ,
x
ydx xdy
d .
2
y
y
8

9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(2xy 5)dx (3y 2 x 2 )dy 0
P( x; y ) 2xy 5; Q( x; y ) 3y 2 x 2
Проверим выполнение условий (3):
P
(2xy 5) y 2x
y
P Q
y
x
Q
(3 y 2 x 2 ) x 2 x
x
Уравнение является уравнением в полных
дифференциалах.
Условия (4) здесь будут выглядеть так:
u
2xy 5;
x
u
3y 2 x 2
y

10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

u( x; y ) (2 xy 5)dx ( y ) 2y xdx 5 dx ( y )
u( x; y ) x 2 y 5 x ( y )
Q (x;y)
Продифференцируем полученную функцию по y:
u
2
x y 5 x ( y ) y x 2 ( y ) 3y 2 x 2
y
3
2 ( y ) 3 y 2dy
y
C
( y ) 3y
Подставим найденную функцию φ(y) в выражение для u(x; y)
u( x; y ) x 2 y 5 x y 3 C
Общим интегралом является:
x 2 y 5x y 3 C