Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 5

1. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 5
2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2.

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.5. Выпуклые оболочки (продолжение)
2.6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств.

3.

2.5. Выпуклые оболочки (продолжение)
Из доказанной теоремы 12 (Каратеодори)
вытекает важное следствие.
Теорема 13.
компактно.
Доказательство.
шара
U Ì R n компактно. Тогда и множество coU
Пусть множество
{
Из ограниченности множества
}
O ( 0, R ) = u Î R n u £ R ,
coU .
Докажем его замкнутость. Пусть
доказать
точек
v Î coU .
v
следует существование
содержащего множество
Выпуклость шара влечет за собой вложение
ограниченность множества
U
coU Ì O ( 0, R ) ,
U.
которое означает
– предельная точка множества
coU .
Надо
По определению предельной точки существует последовательность
{ uk } , uk Î coU
таких, что
lim uk = v.
k ®¥
По теореме 12 для всех номеров
a ik , i = 1,L n + 1
такие, что
k = 1, 2L
( 3)
найдутся точки
uik Î U
и числа

4.

}ÎU
uk = å a ik uik ,
ÎcoU
Подробно
n +1
i =1
n +1
åa
i =1
u1 =
= a11u11 +
ik
= 1, a ik ³ 0, i = 1,L n + 1, k = 1, 2,L .
uk =
u2 =
L L L L
= a12u12 +
= a1k u1k +
+L +
+a n1un1 +
+L +
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
+a nk unk +
+a n +11un +11 ,
+a n 2un 2 +
+a n +12un +12
L L L L
L L L L
+a n +1k un +1k
+a 21u21 +
+a 22u22 +
n +1
n +1
å a i1 = 1,
åa
a i1 ³ 0,
i = 1,L , n + 1,
a i 2 ³ 0,
i = 1,L , n + 1, L L L L
i =1
i =1
Компактность множества
u11 , u12 ,L , u1k ,K
U
i2
= 1,
L L L L
L L L L
+a 2 k u2 k +
+L +
n +1
å a ik = 1,
i =1
( 4)
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
L L L L
a ik ³ 0,
L L L L
i = 1,L , n + 1, L L L L
влечет за собой возможность выбора из последовательности
подпоследовательности
u1 j( 1) , u1 j( 1) ,L , u1 j( 1) ,K ® u10 Î U ,
1
2
k

5.

u2 j( 1) , u2 j( 1) ,L , u2 j( 1) ,K подпоследовательности
1
2
k
u2 j( 2) , u2 j( 2) ,L , u2 j( 2) ,K ® u20 Î U ,
из последовательности
1
и т. д., из последовательности
2
k
un+1 j( n) , un+1 j( n) ,L , un+1 j ( n) ,K
1
2
k
подпоследовательности
un +1 j( n+1) , un +1 j( n+1) ,L , un +1 j( n+1) ,K ® un +10 Î U .
1
В пространстве
n +1
В силу (4),
k
R n +1 рассмотрим компактное множество
ìæ a1 ö
ü
n +1
ïç
ï
÷
n +1
A = íç L ÷ Î R å a i = 1, a i ³ 0, i = 1,L , n + 1ý .
i =1
ïç a ÷
ï
n
+
1
è
ø
î
þ
åa
i =1
2
ik
= 1, a ik ³ 0, k = 1, 2,L ( 4 )
æ a1 j( n+1)
1
ç
ç L
ça
ç n+1 j( n+1)
1
è
ö
æ a1 j( n+1) ö
2
÷
ç
÷
÷ Î A, ç L
÷ Î A,L
÷
ça
÷
÷
ç n+1 j( n+1) ÷
2
ø
è
ø
имеют место включения
æ a1 j( n+1)
k
ç
,ç L
ç
ç a n+1 j( n+1)
k
è
ö
÷
÷ Î A,L
÷
÷
ø

6.

Тогда из последовательности
æ a1 j( n+1)
1
ç
ç L
ça
ç n+1 j( n+1)
1
è
ö æ a1 j( n+1) ö
2
÷ ç
÷
÷,ç L
÷ ,L
÷ ça
÷
÷ ç n+1 j( n+1) ÷
2
ø è
ø
æ a1 j( n+1)
k
ç
,ç L
ç
ç a n+1 j ( n+1)
k
è
выделим сходящуюся подпоследовательность
æ a1 j1* ö æ a1 j2* ö
ç
÷ ç
÷
ç L ÷ , ç L ÷ ,L
çç a
÷÷ çç a
÷÷
è n+1 j1* ø è n+1 j2* ø
Перенумеруем индексы
Тогда
æ a1 jk* ö æ a10 ö
ç
÷ ç
÷
,ç L ÷ ® ç L ÷ Î A Þ
çç a
÷÷ ç a ÷
è n+1 jk* ø è n+10 ø
ö
÷
÷ ,L Î A
÷
÷
ø
n +1
åa
i =1
i0
a i 0 ³ 0,
i = 1,L , n + 1.
j1* = 1, j2* = 2,L , jk* = k ,L
u11 , u12 ,L , u1k ,K ® u10 Î U ,
u21 , u22 ,L , u2 k ,K ® u20 Î U ,
L L L L L L L L L L L L
un +11 , un +12 ,L , un +1k ,K ® un +10 Î U ,
=1
( 5)

7.

æ a11 ö æ a12 ö
ç
÷ ç
÷
ç L ÷ , ç L ÷ ,L
ça ÷ ça ÷
è n+11 ø è n+12 ø
æ a1k ö æ a10 ö
ç
÷ ç
÷
,ç L ÷ ® ç L ÷ Î A Þ
ça ÷ ça ÷
è n+1k ø è n+10 ø
a11 , a12 ,L , a1k ,K ® a10 ,
Действительно, в силу (5)
n +1
v = lim uk
k ®¥
v Î coU .
( 5)
lim uik = ui 0
k ®¥
åaik uik
i =1
n +1
}
a ik uik =
å
v = lim uk = lim
k ®¥
k ®¥
( 3) .
i =1
Теорема доказана.
åa
i =1
a 21 , a 22 ,L , a 2 k ,K ® a 20 ,
L L L L L L L L L L L L
a n +11 , a n +12 ,L , a n +1k ,K ® a n +10 ,
Вычислим предел в (3)
n +1
i =1
k ®¥
)(
k ®¥
k ®¥
)
( 6)
v Î coU
lim a ik = a i 0
ai 0
ui 0
6
4
7
4
8
6
4
7
48
n +1
å lim a ik × lim uik =
(
=1
a i 0 ³ 0,
i = 1,L , n + 1.
Надо доказать, что
и (6)
i0
( 6)
имеем
}ÎU ( 6)
å ai 0 ui 0 Þ
n +1
i =1

8.

Упражнение 1.
Тогда и множество
Решение.
Доказать Теорему 13 «Пусть множество U
coU
Пусть
v
компактно.» (в части замкнутости) при
v Î coU .
n = 1.
coU ,
uk Î coU , lim uk = v. Требуется
– предельная точка множества
и для последовательности точек
доказать, что
Ì R n компактно.
{u k }
выполнено
k ®¥
По теореме 11 для всех номеров
k = 1,2
найдутся точки
a1k , a 2 k такие, что
uk = a1k u1k + a 2 k u2 k , a1k + a 2 k = 1, a1k ³ 0, a 2 k ³ 0, k = 1, 2,L .
u1k , u2 k Î U
и числа
( 7)
Распишем равенство (7) подробно
u1 =
uk =
u2 =
= a11u11 +
LL LL
= a12u12 + L L L L
= a1k u1k +
L LLL
LL LL
+a 21u21 ,
+a 22u22 ,
+a 2 k u2 k ,
L LL L
Компактность множества
u11 , u12 ,L , u1k ,K
U
LL LL
влечет за собой возможность выбора из последовательности
подпоследовательности
u1 j( 1) , u1 j( 1) ,L , u1 j( 1) ,K ® u10 Î U ,
1
2
k

9.

u2 j( 1) , u2 j( 1) ,L , u2 j( 1) ,K
из последовательности
1
Множество
A
2
подпоследовательности
k
u2 j( 2) , u2 j( 2) ,L , u2 j( 2) ,K ® u20 Î U ,
1
2
k
здесь имеет вид
ìïæ a1 ö
üï
2
A = íç ÷ Î R a1 + a 2 = 1, a i ³ 0, i = 1, 2 ý .
ïîè a 2 ø
ïþ
В силу (7)
uk = a1k u1k + a 2 k u2 k , a1k + a 2 k = 1, a1k ³ 0, a 2 k ³ 0, k = 1, 2,L .
имеют место включения
æ a1 j( 2)
ç 1
ç a 2 j ( 2)
è 1
ö
÷ Î A,
÷
ø
æ a1 j ( 2 )
ç 2
ç a 2 j ( 2)
è 2
ö
÷ Î A, L
÷
ø
æ a1 j ( 2 )
k
,ç
ç a 2 j ( 2)
è k
ö
÷ Î A, L
÷
ø
Тогда из последовательности
æ a1 j ( 2 ) ö æ a 1 j ( 2 )
ç 1 ÷,ç 2
ç a 2 j ( 2) ÷ ç a 2 j ( 2)
è 1 ø è 2
ö
÷ ,L
÷
ø
æ a1 j ( 2 )
k
,ç
ç a 2 j ( 2)
è k
ö
÷ Î A,L
÷
ø
( 7)

10.

выделим сходящуюся подпоследовательность
æ a1 j1* ö æ a1 j2* ö
ç
÷,ç
÷ ,L
ç a 2 j* ÷ ç a 2 j* ÷
è 1ø è 2ø
a10 + a 20 = 1,
æ a1 jk* ö
æ a10 ö
÷ Î A,L ® ç
,ç
Î A Þa ³ 0, a ³ 0.
÷
10
20
ç a 2 j* ÷
a 20 ø
è
è kø
j1* = 1, j2* = 2,L , jk* = k ,L
Перенумеруем индексы
Тогда
u11 , u12 ,L , u1k ,K ® u10 Î U ,
u21 , u22 ,L , u2 k ,K ® u20 Î U ,
æ a11 ö æ a12 ö
ç ÷,ç
÷ ,L
è a 21 ø è a 22 ø
Вычислим предел в
в силу
æ a13 ö æ a10 ö
,ç
÷®ç
÷Î A ®
è a 23 ø è a 20 ø
v = lim u j Надо доказать, что v Î coU .
k ®¥
lim u1k = u10 , lim u2 k = u20
k ®¥
a10 + a 20 = 1
a10 ³ 0, a 20 ³ 0.
k ®¥
и
Действительно,
lim a ik = a i 0
k ®¥
имеем

11.

v = lim
k ®¥
a1k u1 k +a 2 k u2 k
uk
= lim ( a1k u1k + a 2 k u2 k ) =
k ®¥
æ a10 ö æ u10 ö æ a20 ö æ u20 ö
= ç lim a1k ÷ × ç lim u1k ÷ + ç lim a 2 k ÷ × ç lim u2 k ÷ =
è k ®¥ ø è k ®¥ ø è k ®¥
ø è k ®¥ ø
ÎU
ÎU
= a10 u10 + a20 u20
Теорема доказана.
a10 ³0,a20 ³0,
a10 + a20 =1
Î
coU .

12.

2.6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств.
Теорема 14.
Замыкание и внутренность выпуклых множеств выпуклы.
Доказательство. Пусть множество
U Ì R n выпукло и
По определению внутренних точек существует число
{ vi } +e ×O ( 0,1)
v1 , v2 Î int U .
e > 0, что выполнены вложения
64 7 48
O ( vi , e ) Ì U , i = 1, 2 Þ { vi } + e × O ( 0,1) Ì U , i = 1, 2.
Тогда из выпуклости множества
U
для любого
a Î 0,1
выводим
ÌU
ÌU
64 47
4 48
6447
448
a éë{ v1} + e O ( 0,1) ùû + ( 1 - a ) éë{ v2 } + e O ( 0,1) ùû Ì U Þ
a v1 + (1-a ) vТеорема
6 4 {44
7 4 24} 48 6 4 47:( a4+ b4)U×U7=aU4+ b4U , 4- выпукло
48
a { v1} + ( 1 - a ) { v2 } + e O ( 0,1) + ( 1 - a ) e O ( 0,1) Ì U Þ
{ a v1 + (1 - a )v2 } + e ( a + 1 - a ) O ( 0,1) Ì U Þ
v1 + (1-a ) v2 ,e )
6 4 4 O4( a4
7 4 4 4 48
{ a v1 + (1 - a )v2 } + O ( 0, e ) Ì U Þ
O ( a v1 + (1 - a )v2 , e ) Ì U Þ a v1 + (1 - a )v2 Î int U

13.

Таким образом, произвольная выпуклая комбинация точек v1 , v2
этому множеству, что и доказывает его выпуклость.
Рассмотрим множество U
-
замыкание множества
U.
Если
Î int U
принадлежит
v1 , v2 Î U ,
то по
определению предельных точек существуют последовательности точек
{ u1k } ® v1 , u1k ÎU , { u2 k } ® v2 , u2 k ÎU ,
В силу выпуклости множества
выполнено включение
U
для всех номеров k
= 1,2, и чисел
a Î 0,1
}ÎU
}ÎU
a u1k + ( 1 - a ) u2 k Î U .
С другой стороны
6 7v1 8
6 7v2 8
lim éëa u1k + ( 1 - a ) u2 k ùû = a lim u1k + ( 1 - a ) lim u2 k = a v1 + ( 1 - a ) v2 Þ
k ®¥
k ®¥
k ®¥
{ au
1k
и
Тогда
a v1 + ( 1 - a ) v2 -
Теорема доказана.
+ ( 1 - a ) u2 k } ® a v1 + ( 1 - a ) v2
предельная точка множества U
Þ a v1 + ( 1 - a ) v2 Î U .